Może to i wygląda na ładnie poukładany stos cyferek,
ale dla matematyka to stos skarbów.
Matematycy indyjscy zwali go "schodami na górę Meru".
Irańscy "trójkątem Chajjama".
W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.
Świat zachodni zna go jako trójkąt Pascala,
od nazwiska francuskiego matematyka Błażeja Pascala,
co wydaje się ciut nieuczciwe, skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.
Sporo za to odkrył.
Co takiego fascynuje w trójkącie matematyków na całym świecie?
Pełno w nim wzorów i tajemnic.
Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.
Zacznij od jedynki z zerami po obu stronach.
Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.
Powtórz tę operację. I jeszcze raz.
Po kilku powtórzeniach otrzymasz coś takiego,
chociaż w zasadzie trójkąt Pascala ciągnie się w nieskończoność.
Każdy jego rząd zawiera tak zwane współczynniki dwumianu Newtona
czyli (x+y)^n,
gdzie n to numer rzędu,
liczony od zera.
Więc jeśli weźmiemy n = 2 i rozpiszemy wzór,
wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).
Współczynniki, czyli liczby przy zmiennych,
odpowiadają liczbom w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.
Przy n =3 wzór rozwija się tak.
Dzięki trójkątowi można łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.
Ale to dopiero początek.
Spróbuj na przykład zsumować liczby w jednym rzędzie,
a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.
Albo potraktuj każdą liczbę jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.
Czyli w drugim rzędzie: (1x1) + (2x10) + (1x100).
To wynosi 121, czyli 11^2.
Spójrz, co będzie, kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.
Po przeliczeniu wychodzi 1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.
Są też zastosowania w geometrii.
Spójrz na rzędy po bokach.
Dwa pierwsze są nieciekawe: jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,
czyli liczby naturalne.
Ale następny rząd zawiera liczby trójkątne:
kiedy weźmiesz tyle kropek,
możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.
W następnym rzędzie są liczby piramidalne,
czyli ilość kul, z których można ułożyć czworościan.
Teraz zaciemnij wszystkie liczby nieparzyste.
Na małym trójkącie nie wygląda to ciekawie,
ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,
zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.
Trójkąt jest nie tylko matematycznym dziełem sztuki,
ale też użytecznym narzędziem
szczególnie przy obliczeniach prawdopodobieństwa i tych,
które należą do dziedziny kombinatoryki.
Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci
i ciekawi cię prawdopodobieństwo
wymarzonego układu trzech dziewczynek i dwóch chłopców.
Możesz to przedstawić dwumianem:
(dziewczynka + chłopiec) ^5.
A więc spójrzmy na rząd piąty,
którego pierwsza liczba odpowiada pięciu dziewczynkom,
a ostatnia - pięciu chłopcom.
Trzecia liczba to ta, której szukamy.
Dziesięć szans spośród wszystkich w rzędzie, to znaczy
10/32, czyli 31,25%.
A może losowo wybierasz pięć osób do gry w koszykówkę
spośród dwanaściorga kolegów
i chcesz wiedzieć, ile można utworzyć grup po pięć osób?
W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową kombinacją ze zbioru 12-elementowego,
i oblicza tym oto wzorem,
ale równie dobrze można wziąć szósty element z dwunastego rzędu trójkąta
i gotowe.
Wzory w trójkącie Pascala świadczą o elegancji,
z jaką splatają się wątki w tkaninie matematyki.
Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.
Całkiem niedawno matematycy odkryli, jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta
na takie wielomiany.
Co jeszcze odkryjemy?
To już twoje zadanie.