WEBVTT

00:00:07.193 --> 00:00:10.440
Może to i wygląda
na ładnie poukładany stos cyferek,

00:00:10.440 --> 00:00:13.646
ale dla matematyka to stos skarbów.

00:00:13.646 --> 00:00:18.124
Matematycy indyjscy
zwali go "schodami na górę Meru".

00:00:18.124 --> 00:00:21.701
Irańscy "trójkątem Chajjama".

00:00:21.701 --> 00:00:25.108
W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.

00:00:25.108 --> 00:00:28.033
Świat zachodni
zna go jako trójkąt Pascala,

00:00:28.033 --> 00:00:30.825
od nazwiska francuskiego
matematyka Błażeja Pascala,

00:00:30.825 --> 00:00:34.794
co wydaje się ciut nieuczciwe,
skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.

00:00:34.794 --> 00:00:36.986
Sporo za to odkrył.

00:00:36.986 --> 00:00:41.930
Co takiego fascynuje w trójkącie 
matematyków na całym świecie?

00:00:41.930 --> 00:00:45.404
Pełno w nim wzorów i tajemnic.

00:00:45.404 --> 00:00:49.078
Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.

00:00:49.078 --> 00:00:53.967
Zacznij od jedynki
z zerami po obu stronach.

00:00:53.967 --> 00:00:58.032
Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

00:00:58.032 --> 00:01:01.766
Powtórz tę operację. I jeszcze raz.

00:01:01.766 --> 00:01:05.334
Po kilku powtórzeniach
otrzymasz coś takiego,

00:01:05.334 --> 00:01:09.185
chociaż w zasadzie trójkąt Pascala
ciągnie się w nieskończoność.

00:01:09.185 --> 00:01:15.094
Każdy jego rząd zawiera
tak zwane współczynniki dwumianu Newtona

00:01:15.094 --> 00:01:18.098
czyli (x+y)^n,

00:01:18.098 --> 00:01:21.027
gdzie n to numer rzędu,

00:01:21.027 --> 00:01:23.426
liczony od zera.

00:01:23.426 --> 00:01:26.382
Więc jeśli weźmiemy n = 2
i rozpiszemy wzór,

00:01:26.382 --> 00:01:30.347
wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:30.347 --> 00:01:33.943
Współczynniki,
czyli liczby przy zmiennych,

00:01:33.943 --> 00:01:38.187
odpowiadają liczbom
w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.

00:01:38.187 --> 00:01:43.256
Przy n =3 wzór rozwija się tak.

00:01:43.256 --> 00:01:48.163
Dzięki trójkątowi można
łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.

00:01:48.163 --> 00:01:49.907
Ale to dopiero początek.

00:01:49.907 --> 00:01:53.137
Spróbuj na przykład zsumować 
liczby w jednym rzędzie,

00:01:53.137 --> 00:01:56.039
a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

00:01:56.039 --> 00:02:00.851
Albo potraktuj każdą liczbę 
jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.

00:02:00.851 --> 00:02:07.455
Czyli w drugim rzędzie:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.455 --> 00:02:11.601
To wynosi 121, czyli 11^2.

00:02:11.601 --> 00:02:15.572
Spójrz, co będzie,
kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.

00:02:15.572 --> 00:02:24.576
Po przeliczeniu wychodzi
1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.

00:02:24.576 --> 00:02:27.560
Są też zastosowania w geometrii.

00:02:27.560 --> 00:02:29.331
Spójrz na rzędy po bokach.

00:02:29.331 --> 00:02:34.117
Dwa pierwsze są nieciekawe:
jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
czyli liczby naturalne.

00:02:36.656 --> 00:02:40.517
Ale następny rząd
zawiera liczby trójkątne:

00:02:40.517 --> 00:02:42.783
kiedy weźmiesz tyle kropek,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.

00:02:46.389 --> 00:02:49.227
W następnym rzędzie są liczby piramidalne,

00:02:49.227 --> 00:02:54.372
czyli ilość kul, z których 
można ułożyć czworościan.

00:02:54.372 --> 00:02:57.996
Teraz zaciemnij 
wszystkie liczby nieparzyste.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
Na małym trójkącie
nie wygląda to ciekawie,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,

00:03:03.298 --> 00:03:07.259
zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.

00:03:07.259 --> 00:03:10.756
Trójkąt jest nie tylko
matematycznym dziełem sztuki,

00:03:10.756 --> 00:03:12.522
ale też użytecznym narzędziem

00:03:12.522 --> 00:03:15.201
szczególnie przy obliczeniach 
prawdopodobieństwa i tych,

00:03:15.201 --> 00:03:18.046
które należą do dziedziny kombinatoryki.

00:03:18.046 --> 00:03:20.454
Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci

00:03:20.454 --> 00:03:22.510
i ciekawi cię prawdopodobieństwo

00:03:22.510 --> 00:03:26.250
wymarzonego układu
trzech dziewczynek i dwóch chłopców.

00:03:26.250 --> 00:03:28.388
Możesz to przedstawić dwumianem:

00:03:28.388 --> 00:03:31.606
(dziewczynka + chłopiec) ^5.

00:03:31.606 --> 00:03:33.660
A więc spójrzmy na rząd piąty,

00:03:33.660 --> 00:03:36.791
którego pierwsza liczba
odpowiada pięciu dziewczynkom,

00:03:36.791 --> 00:03:39.769
a ostatnia - pięciu chłopcom.

00:03:39.769 --> 00:03:42.692
Trzecia liczba to ta, której szukamy.

00:03:42.692 --> 00:03:46.322
Dziesięć szans spośród
wszystkich w rzędzie, to znaczy

00:03:46.322 --> 00:03:50.950
10/32, czyli 31,25%.

00:03:50.950 --> 00:03:55.076
A może losowo wybierasz 
pięć osób do gry w koszykówkę

00:03:55.076 --> 00:03:57.004
spośród dwanaściorga kolegów

00:03:57.004 --> 00:03:59.722
i chcesz wiedzieć, 
ile można utworzyć grup po pięć osób?

00:03:59.722 --> 00:04:04.882
W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową
kombinacją ze zbioru 12-elementowego,

00:04:04.882 --> 00:04:07.237
i oblicza tym oto wzorem,

00:04:07.237 --> 00:04:11.518
ale równie dobrze można wziąć szósty
element z dwunastego rzędu trójkąta

00:04:11.518 --> 00:04:12.983
i gotowe.

00:04:12.983 --> 00:04:16.209
Wzory w trójkącie Pascala 
świadczą o elegancji,

00:04:16.209 --> 00:04:19.017
z jaką splatają się wątki 
w tkaninie matematyki.

00:04:19.017 --> 00:04:23.081
Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.

00:04:23.081 --> 00:04:27.422
Całkiem niedawno matematycy odkryli,
jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta

00:04:27.422 --> 00:04:29.769
na takie wielomiany.

00:04:29.769 --> 00:04:31.758
Co jeszcze odkryjemy?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
To już twoje zadanie.