0:00:07.193,0:00:10.440
Może to i wygląda[br]na ładnie poukładany stos cyferek,

0:00:10.440,0:00:13.646
ale dla matematyka to stos skarbów.

0:00:13.646,0:00:18.124
Matematycy indyjscy[br]zwali go "schodami na górę Meru".

0:00:18.124,0:00:21.701
Irańscy "trójkątem Chajjama".

0:00:21.701,0:00:25.108
W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.

0:00:25.108,0:00:28.033
Świat zachodni[br]zna go jako trójkąt Pascala,

0:00:28.033,0:00:30.825
od nazwiska francuskiego[br]matematyka Błażeja Pascala,

0:00:30.825,0:00:34.794
co wydaje się ciut nieuczciwe,[br]skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.

0:00:34.794,0:00:36.986
Sporo za to odkrył.

0:00:36.986,0:00:41.930
Co takiego fascynuje w trójkącie [br]matematyków na całym świecie?

0:00:41.930,0:00:45.404
Pełno w nim wzorów i tajemnic.

0:00:45.404,0:00:49.078
Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.

0:00:49.078,0:00:53.967
Zacznij od jedynki[br]z zerami po obu stronach.

0:00:53.967,0:00:58.032
Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

0:00:58.032,0:01:01.766
Powtórz tę operację. I jeszcze raz.

0:01:01.766,0:01:05.334
Po kilku powtórzeniach[br]otrzymasz coś takiego,

0:01:05.334,0:01:09.185
chociaż w zasadzie trójkąt Pascala[br]ciągnie się w nieskończoność.

0:01:09.185,0:01:15.094
Każdy jego rząd zawiera[br]tak zwane współczynniki dwumianu Newtona

0:01:15.094,0:01:18.098
czyli (x+y)^n,

0:01:18.098,0:01:21.027
gdzie n to numer rzędu,

0:01:21.027,0:01:23.426
liczony od zera.

0:01:23.426,0:01:26.382
Więc jeśli weźmiemy n = 2[br]i rozpiszemy wzór,

0:01:26.382,0:01:30.347
wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:30.347,0:01:33.943
Współczynniki,[br]czyli liczby przy zmiennych,

0:01:33.943,0:01:38.187
odpowiadają liczbom[br]w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.

0:01:38.187,0:01:43.256
Przy n =3 wzór rozwija się tak.

0:01:43.256,0:01:48.163
Dzięki trójkątowi można[br]łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.

0:01:48.163,0:01:49.907
Ale to dopiero początek.

0:01:49.907,0:01:53.137
Spróbuj na przykład zsumować [br]liczby w jednym rzędzie,

0:01:53.137,0:01:56.039
a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

0:01:56.039,0:02:00.851
Albo potraktuj każdą liczbę [br]jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.

0:02:00.851,0:02:07.455
Czyli w drugim rzędzie:[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.455,0:02:11.601
To wynosi 121, czyli 11^2.

0:02:11.601,0:02:15.572
Spójrz, co będzie,[br]kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.

0:02:15.572,0:02:24.576
Po przeliczeniu wychodzi[br]1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.

0:02:24.576,0:02:27.560
Są też zastosowania w geometrii.

0:02:27.560,0:02:29.331
Spójrz na rzędy po bokach.

0:02:29.331,0:02:34.117
Dwa pierwsze są nieciekawe:[br]jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,

0:02:34.117,0:02:36.656
czyli liczby naturalne.

0:02:36.656,0:02:40.517
Ale następny rząd[br]zawiera liczby trójkątne:

0:02:40.517,0:02:42.783
kiedy weźmiesz tyle kropek,

0:02:42.783,0:02:46.389
możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.

0:02:46.389,0:02:49.227
W następnym rzędzie są liczby piramidalne,

0:02:49.227,0:02:54.372
czyli ilość kul, z których [br]można ułożyć czworościan.

0:02:54.372,0:02:57.996
Teraz zaciemnij [br]wszystkie liczby nieparzyste.

0:02:57.996,0:03:00.881
Na małym trójkącie[br]nie wygląda to ciekawie,

0:03:00.881,0:03:03.298
ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,

0:03:03.298,0:03:07.259
zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.

0:03:07.259,0:03:10.756
Trójkąt jest nie tylko[br]matematycznym dziełem sztuki,

0:03:10.756,0:03:12.522
ale też użytecznym narzędziem

0:03:12.522,0:03:15.201
szczególnie przy obliczeniach [br]prawdopodobieństwa i tych,

0:03:15.201,0:03:18.046
które należą do dziedziny kombinatoryki.

0:03:18.046,0:03:20.454
Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci

0:03:20.454,0:03:22.510
i ciekawi cię prawdopodobieństwo

0:03:22.510,0:03:26.250
wymarzonego układu[br]trzech dziewczynek i dwóch chłopców.

0:03:26.250,0:03:28.388
Możesz to przedstawić dwumianem:

0:03:28.388,0:03:31.606
(dziewczynka + chłopiec) ^5.

0:03:31.606,0:03:33.660
A więc spójrzmy na rząd piąty,

0:03:33.660,0:03:36.791
którego pierwsza liczba[br]odpowiada pięciu dziewczynkom,

0:03:36.791,0:03:39.769
a ostatnia - pięciu chłopcom.

0:03:39.769,0:03:42.692
Trzecia liczba to ta, której szukamy.

0:03:42.692,0:03:46.322
Dziesięć szans spośród[br]wszystkich w rzędzie, to znaczy

0:03:46.322,0:03:50.950
10/32, czyli 31,25%.

0:03:50.950,0:03:55.076
A może losowo wybierasz [br]pięć osób do gry w koszykówkę

0:03:55.076,0:03:57.004
spośród dwanaściorga kolegów

0:03:57.004,0:03:59.722
i chcesz wiedzieć, [br]ile można utworzyć grup po pięć osób?

0:03:59.722,0:04:04.882
W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową[br]kombinacją ze zbioru 12-elementowego,

0:04:04.882,0:04:07.237
i oblicza tym oto wzorem,

0:04:07.237,0:04:11.518
ale równie dobrze można wziąć szósty[br]element z dwunastego rzędu trójkąta

0:04:11.518,0:04:12.983
i gotowe.

0:04:12.983,0:04:16.209
Wzory w trójkącie Pascala [br]świadczą o elegancji,

0:04:16.209,0:04:19.017
z jaką splatają się wątki [br]w tkaninie matematyki.

0:04:19.017,0:04:23.081
Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.

0:04:23.081,0:04:27.422
Całkiem niedawno matematycy odkryli,[br]jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta

0:04:27.422,0:04:29.769
na takie wielomiany.

0:04:29.769,0:04:31.758
Co jeszcze odkryjemy?

0:04:31.758,0:04:34.097
To już twoje zadanie.