파스칼의 삼각형에 숨어있는 수학적 비밀들 l 와이디 모하메드 라테미(Wajdi Mohamed Ratemi)

처음에는 단순히 깔끔히 배열된 숫자들의 무더기로 보일 수도 있는 파스칼의 삼각형은 사실 수학적으로 귀중한 발견입니다. 그렇다면 이 삼각형의 어떤 점이 전 세계의 수학자들의 호기심을 자극하였을까요? 와이디 모하메드 라테미씨는 파스칼의 삼각형이 어떤 형태와 비밀로 가득 차 있는지를 보여줍니다.

강연: 와이디 모하메드 라테미
영상: 헨릭 멜그린

이것은 깔끔하게 배열된 숫자들의
더미로 보일 지도 모르겠지만

사실 이것은 수학적으로
매우 귀중한 보물덩어리입니다.

인도의 수학자들은 이것을
'메루산의 계단'이라는 이름으로 불렀고,

이란에서는 '카얌 삼각형'이라고
불렀습니다.

그리고 중국 사람들은 이것을
'양휘의 삼각형'이라고 불렀죠.

서양에서는 '파스칼의 삼각형'이라는
이름으로 알려져 있습니다.

프랑스의 수학자 블레이즈 파스칼의
이름에서 따온 것이죠.

다른 이들 보다 늦게 참여한 그의 이름이
쓰인다는게 불공평해 보일 수도 있지만

그래도 그가 많은 기여를
했다는 것은 사실입니다

그렇다면 도대체
이 삼각형의 어떤 면이

세계 곳곳 수학자들의
호기심을 끈 것일까요?

그것은 이 삼각형이 규칙과 비밀로
가득 차 있기 때문입니다.

먼저, 이 삼각형은 어떠한
규칙으로 만들어집니다.

1로 시작해서 그 양 옆에
보이지 않는 0이 있다고 상상해보세요.

그것들을 둘씩 짝을 지어 더하면,
다음 행이 만들어 질 것입니다.

이제, 계속 해보죠.
반복하고 또 반복하면

계속 하다가
이 정도에서 끝낼 수 있지만,

실제 파스칼의 삼각형은
무한히 계속됩니다.

자, 이제 삼각형의 각 줄은

(x+y)^n 형태로 나타 날 수 있는
이항 확장식의 계수와 일치합니다.

여기서 n은 행의 번호를 의미하지요.

숫자는 0에서부터 시작합니다.

만약 n을 2로 두고
이 식을 전개한다면,

(x^2) + 2xy + (y^2)이라는
식이 나오게 됩니다.

우리가 계수라고 부르는
변수 앞의 위치한 숫자들은

파스칼의 삼각형의 그 줄에 있는
숫자들과 완벽히 일치합니다.

n에 3을 집어 넣고 식을 풀어도
똑같이 이런 결과가 나오지요.

따라서 이 삼각형은 이런 계수들을 찾는
빠르고 쉬운 방법입니다.

하지만 이게 다가 아닙니다.

예를 들어서,
각 열의 숫자를 다 더해보면,

그러면 모든 줄의 숫자들의 합이
2의 n승 형태로 나타나게 됩니다.

이번에는, 한 줄 안의 숫자를 차례대로

100의 자리수, 10의 자리수,
1의 자리수라고 생각해보죠.

즉, 2번 행은 (1x1) + (2x10) + (1x100)가
된다고 봅시다.

위 식을 계산하면 121이 나옵니다.
11을 제곱한 값이네요.

여섯 번째 줄을 같은 방식으로 하면
무슨 일이 일어날지 볼까요.

이 숫자들의 합은 11의 6제곱인
1,771,561이며 이 패턴은 반복됩니다.

또한 기하학적인 활용들도 가능합니다.

대각선들을 한 번 살펴볼까요.

처음 두 줄은 그다지 흥미롭지 않습니다.
첫 줄은 모두 1이고,

다음 줄은 모두 양의 정수로
자연수라고도 불리지요.

하지만 그 다음 대각선의 수들은
삼각수라고 불립니다.

여러분이 그 수만큼 원을
차례로 그리면

정삼각형의 모양을
만들 수 있기 때문입니다.

다음 대각선은 사면체수들 입니다.

아까와 마찬가지로,
이 숫자만큼 공들을 쌓으면

정사면체를 만들 수 있기 때문입니다.

아니면 이것은 어떤가요?
모든 홀수들을 가려보세요.

그 삼각형이 작을 때는
별 것 아닌 것 같아 보이지만

수천 개의 행을 더하면

사이펀스키의 삼각형이라고 불리는
프랙탈도형이 나오게 됩니다.

이 삼각형은 단지 수학적인
예술작품이 아닙니다.

이것이 특히 유용하게 쓰이는 분야는

확률이나 조합과 관련된
계산의 부분입니다.

여러분이 5명의 아이를 원하고

세명의 딸과 두 명의 아들로 이루어진

이상적인 가족을 가질 확률을
알고 싶어 한다고 가정해봅시다.

이항정리를 이용하면

이 것은 (딸(x) +아들(y))의
5제곱에 해당합니다.

그럼 다섯 번째 행을 봅시다.

이 줄에서 첫 번째 수는
다섯명의 딸이 나올 경우의 수이며

마지막은 다섯명의 아들이 나올
경우의 수 입니다.

그리고 세 번째 수가 바로
세명의 딸이 나올 경우의 수이지요.

이 10이라는 값을그 줄의
모든 경우의 수의 합으로 나누면

10/32, 즉 31.25%가 됩니다.

이번에는 열두 명의 친구들 중

무작위로 다섯명을 뽑아
농구팀을 구성하면

얼마나 많은 팀이
나올 수 있는지 볼까요?

이 문제를 조합으로 설명하면
열두 개 중 다섯 개를 뽑는 경우이며

이러한 공식으로 계산할 수도 있으나

그냥 파스칼의 삼각형 12번째 행의
6번 째 숫자를 보면

간단하게 답을 알 수 있지요.

파스칼의 삼각형의 패턴을 통해서

우리는 수학이 매우 정교하게 구성되고
짜여진 형태라는 것을 알 수 있습니다.

그리고 지금까지도 이 삼각형의
새로운 비밀들이 발견되고 있습니다.

예를 들면, 최근들어 수학자들은
꾸준한 연구를 한 결과

이런 종류의 다항식을 전개하는 방법을
발견하기도 했습니다.

다음에는 또 무엇을 찾을 수 있을까요?

글쎄요. 그건 여러분에게 달려있습니다.