WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:10.650
이것은 깔끔하게 배열된 숫자들의
더미로 보일 지도 모르겠지만

00:00:10.650 --> 00:00:14.226
사실 이것은 수학적으로 
매우 귀중한 보물덩어리입니다.

00:00:14.226 --> 00:00:18.264
인도의 수학자들은 이것을 
'메루산의 계단'이라는 이름으로 불렀고,

00:00:18.264 --> 00:00:21.131
이란에서는 '카얌 삼각형'이라고
불렀습니다.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
그리고 중국 사람들은 이것을 
'양휘의 삼각형'이라고 불렀죠.

00:00:23.738 --> 00:00:27.803
서양에서는 '파스칼의 삼각형'이라는 
이름으로 알려져 있습니다.

00:00:27.803 --> 00:00:31.085
프랑스의 수학자 블레이즈 파스칼의 
이름에서 따온 것이죠.

00:00:31.085 --> 00:00:35.064
다른 이들 보다 늦게 참여한 그의 이름이
쓰인다는게 불공평해 보일 수도 있지만

00:00:35.064 --> 00:00:37.476
그래도 그가 많은 기여를 
했다는 것은 사실입니다

00:00:37.476 --> 00:00:39.270
그렇다면 도대체 
이 삼각형의 어떤 면이

00:00:39.270 --> 00:00:42.270
세계 곳곳 수학자들의 
호기심을 끈 것일까요?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
그것은 이 삼각형이 규칙과 비밀로 
가득 차 있기 때문입니다.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
먼저, 이 삼각형은 어떠한 
규칙으로 만들어집니다.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
1로 시작해서 그 양 옆에 
보이지 않는 0이 있다고 상상해보세요.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
그것들을 둘씩 짝을 지어 더하면, 
다음 행이 만들어 질 것입니다.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
이제, 계속 해보죠. 
반복하고 또 반복하면

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
계속 하다가 
이 정도에서 끝낼 수 있지만,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
실제 파스칼의 삼각형은 
무한히 계속됩니다.

00:01:09.325 --> 00:01:11.794
자, 이제 삼각형의 각 줄은

00:01:11.794 --> 00:01:18.914
(x+y)^n 형태로 나타 날 수 있는 
이항 확장식의 계수와 일치합니다.

00:01:18.914 --> 00:01:20.746
여기서 n은 행의 번호를 의미하지요.

00:01:20.746 --> 00:01:23.746
숫자는 0에서부터 시작합니다.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
만약 n을 2로 두고 
이 식을 전개한다면,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2)이라는 
식이 나오게 됩니다.

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
우리가 계수라고 부르는 
변수 앞의 위치한 숫자들은

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
파스칼의 삼각형의 그 줄에 있는 
숫자들과 완벽히 일치합니다.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
n에 3을 집어 넣고 식을 풀어도 
똑같이 이런 결과가 나오지요.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
따라서 이 삼각형은 이런 계수들을 찾는 
빠르고 쉬운 방법입니다.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
하지만 이게 다가 아닙니다.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
예를 들어서, 
각 열의 숫자를 다 더해보면,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
그러면 모든 줄의 숫자들의 합이 
2의 n승 형태로 나타나게 됩니다.

00:01:56.039 --> 00:01:59.575
이번에는, 한 줄 안의 숫자를 차례대로

00:01:59.575 --> 00:02:02.125
100의 자리수, 10의 자리수, 
1의 자리수라고 생각해보죠.

00:02:02.125 --> 00:02:07.845
즉, 2번 행은 (1x1) + (2x10) + (1x100)가
된다고 봅시다.

00:02:07.845 --> 00:02:12.111
위 식을 계산하면 121이 나옵니다. 
11을 제곱한 값이네요.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
여섯 번째 줄을 같은 방식으로 하면
무슨 일이 일어날지 볼까요.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
이 숫자들의 합은 11의 6제곱인 
1,771,561이며 이 패턴은 반복됩니다.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
또한 기하학적인 활용들도 가능합니다.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
대각선들을 한 번 살펴볼까요.

00:02:29.691 --> 00:02:32.707
처음 두 줄은 그다지 흥미롭지 않습니다.
첫 줄은 모두 1이고,

00:02:32.707 --> 00:02:36.656
다음 줄은 모두 양의 정수로
자연수라고도 불리지요.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
하지만 그 다음 대각선의 수들은 
삼각수라고 불립니다.

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
여러분이 그 수만큼 원을 
차례로 그리면

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
정삼각형의 모양을 
만들 수 있기 때문입니다.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
다음 대각선은 사면체수들 입니다.

00:02:49.307 --> 00:02:52.862
아까와 마찬가지로, 
이 숫자만큼 공들을 쌓으면

00:02:52.862 --> 00:02:54.622
정사면체를 만들 수 있기 때문입니다.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
아니면 이것은 어떤가요?
모든 홀수들을 가려보세요.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
그 삼각형이 작을 때는 
별 것 아닌 것 같아 보이지만

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
수천 개의 행을 더하면

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
사이펀스키의 삼각형이라고 불리는
프랙탈도형이 나오게 됩니다.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
이 삼각형은 단지 수학적인 
예술작품이 아닙니다.

00:03:10.756 --> 00:03:12.246
이것이 특히 유용하게 쓰이는 분야는

00:03:12.246 --> 00:03:18.575
확률이나 조합과 관련된 
계산의 부분입니다.

00:03:18.575 --> 00:03:20.454
여러분이 5명의 아이를 원하고

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
세명의 딸과 두 명의 아들로 이루어진


00:03:22.270 --> 00:03:26.590
이상적인 가족을 가질 확률을
알고 싶어 한다고 가정해봅시다.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
이항정리를 이용하면

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
이 것은 (딸(x) +아들(y))의 
5제곱에 해당합니다.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
그럼 다섯 번째 행을 봅시다.

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
이 줄에서 첫 번째 수는 
다섯명의 딸이 나올 경우의 수이며

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
마지막은 다섯명의 아들이 나올
경우의 수 입니다.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
그리고 세 번째 수가 바로 
세명의 딸이 나올 경우의 수이지요.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
이 10이라는 값을그 줄의 
모든 경우의 수의 합으로 나누면

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
10/32, 즉 31.25%가 됩니다.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
이번에는 열두 명의 친구들 중

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
무작위로 다섯명을 뽑아 
농구팀을 구성하면

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
얼마나 많은 팀이 
나올 수 있는지 볼까요?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
이 문제를 조합으로 설명하면
열두 개 중 다섯 개를 뽑는 경우이며

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
이러한 공식으로 계산할 수도 있으나

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
그냥 파스칼의 삼각형 12번째 행의
6번 째 숫자를 보면

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
간단하게 답을 알 수 있지요.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
파스칼의 삼각형의 패턴을 통해서

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
우리는 수학이 매우 정교하게 구성되고
짜여진 형태라는 것을 알 수 있습니다.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
그리고 지금까지도 이 삼각형의
새로운 비밀들이 발견되고 있습니다.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
예를 들면, 최근들어 수학자들은
꾸준한 연구를 한 결과

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
이런 종류의 다항식을 전개하는 방법을
발견하기도 했습니다.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
다음에는 또 무엇을 찾을 수 있을까요?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
글쎄요. 그건 여러분에게 달려있습니다.