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파스칼의 삼각형에 숨어있는 수학적 비밀들 l 와이디 모하메드 라테미(Wajdi Mohamed Ratemi)

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    이것은 깔끔하게 배열된 숫자들의
    더미로 보일 지도 모르겠지만
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    사실 이것은 수학적으로
    매우 귀중한 보물덩어리입니다.
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    인도의 수학자들은 이것을
    '메루산의 계단'이라는 이름으로 불렀고,
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    이란에서는 '카얌 삼각형'이라고
    불렀습니다.
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    그리고 중국 사람들은 이것을
    '양휘의 삼각형'이라고 불렀죠.
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    서양에서는 '파스칼의 삼각형'이라는
    이름으로 알려져 있습니다.
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    프랑스의 수학자 블레이즈 파스칼의
    이름에서 따온 것이죠.
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    다른 이들 보다 늦게 참여한 그의 이름이
    쓰인다는게 불공평해 보일 수도 있지만
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    그래도 그가 많은 기여를
    했다는 것은 사실입니다
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    그렇다면 도대체
    이 삼각형의 어떤 면이
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    세계 곳곳 수학자들의
    호기심을 끈 것일까요?
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    그것은 이 삼각형이 규칙과 비밀로
    가득 차 있기 때문입니다.
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    먼저, 이 삼각형은 어떠한
    규칙으로 만들어집니다.
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    1로 시작해서 그 양 옆에
    보이지 않는 0이 있다고 상상해보세요.
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    그것들을 둘씩 짝을 지어 더하면,
    다음 행이 만들어 질 것입니다.
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    이제, 계속 해보죠.
    반복하고 또 반복하면
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    계속 하다가
    이 정도에서 끝낼 수 있지만,
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    실제 파스칼의 삼각형은
    무한히 계속됩니다.
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    자, 이제 삼각형의 각 줄은
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    (x+y)^n 형태로 나타 날 수 있는
    이항 확장식의 계수와 일치합니다.
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    여기서 n은 행의 번호를 의미하지요.
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    숫자는 0에서부터 시작합니다.
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    만약 n을 2로 두고
    이 식을 전개한다면,
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    (x^2) + 2xy + (y^2)이라는
    식이 나오게 됩니다.
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    우리가 계수라고 부르는
    변수 앞의 위치한 숫자들은
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    파스칼의 삼각형의 그 줄에 있는
    숫자들과 완벽히 일치합니다.
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    n에 3을 집어 넣고 식을 풀어도
    똑같이 이런 결과가 나오지요.
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    따라서 이 삼각형은 이런 계수들을 찾는
    빠르고 쉬운 방법입니다.
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    하지만 이게 다가 아닙니다.
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    예를 들어서,
    각 열의 숫자를 다 더해보면,
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    그러면 모든 줄의 숫자들의 합이
    2의 n승 형태로 나타나게 됩니다.
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    이번에는, 한 줄 안의 숫자를 차례대로
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    100의 자리수, 10의 자리수,
    1의 자리수라고 생각해보죠.
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    즉, 2번 행은 (1x1) + (2x10) + (1x100)가
    된다고 봅시다.
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    위 식을 계산하면 121이 나옵니다.
    11을 제곱한 값이네요.
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    여섯 번째 줄을 같은 방식으로 하면
    무슨 일이 일어날지 볼까요.
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    이 숫자들의 합은 11의 6제곱인
    1,771,561이며 이 패턴은 반복됩니다.
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    또한 기하학적인 활용들도 가능합니다.
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    대각선들을 한 번 살펴볼까요.
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    처음 두 줄은 그다지 흥미롭지 않습니다.
    첫 줄은 모두 1이고,
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    다음 줄은 모두 양의 정수로
    자연수라고도 불리지요.
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    하지만 그 다음 대각선의 수들은
    삼각수라고 불립니다.
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    여러분이 그 수만큼 원을
    차례로 그리면
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    정삼각형의 모양을
    만들 수 있기 때문입니다.
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    다음 대각선은 사면체수들 입니다.
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    아까와 마찬가지로,
    이 숫자만큼 공들을 쌓으면
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    정사면체를 만들 수 있기 때문입니다.
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    아니면 이것은 어떤가요?
    모든 홀수들을 가려보세요.
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    그 삼각형이 작을 때는
    별 것 아닌 것 같아 보이지만
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    수천 개의 행을 더하면
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    사이펀스키의 삼각형이라고 불리는
    프랙탈도형이 나오게 됩니다.
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    이 삼각형은 단지 수학적인
    예술작품이 아닙니다.
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    이것이 특히 유용하게 쓰이는 분야는
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    확률이나 조합과 관련된
    계산의 부분입니다.
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    여러분이 5명의 아이를 원하고
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    세명의 딸과 두 명의 아들로 이루어진
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    이상적인 가족을 가질 확률을
    알고 싶어 한다고 가정해봅시다.
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    이항정리를 이용하면
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    이 것은 (딸(x) +아들(y))의
    5제곱에 해당합니다.
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    그럼 다섯 번째 행을 봅시다.
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    이 줄에서 첫 번째 수는
    다섯명의 딸이 나올 경우의 수이며
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    마지막은 다섯명의 아들이 나올
    경우의 수 입니다.
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    그리고 세 번째 수가 바로
    세명의 딸이 나올 경우의 수이지요.
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    이 10이라는 값을그 줄의
    모든 경우의 수의 합으로 나누면
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    10/32, 즉 31.25%가 됩니다.
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    이번에는 열두 명의 친구들 중
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    무작위로 다섯명을 뽑아
    농구팀을 구성하면
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    얼마나 많은 팀이
    나올 수 있는지 볼까요?
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    이 문제를 조합으로 설명하면
    열두 개 중 다섯 개를 뽑는 경우이며
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    이러한 공식으로 계산할 수도 있으나
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    그냥 파스칼의 삼각형 12번째 행의
    6번 째 숫자를 보면
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    간단하게 답을 알 수 있지요.
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    파스칼의 삼각형의 패턴을 통해서
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    우리는 수학이 매우 정교하게 구성되고
    짜여진 형태라는 것을 알 수 있습니다.
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    그리고 지금까지도 이 삼각형의
    새로운 비밀들이 발견되고 있습니다.
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    예를 들면, 최근들어 수학자들은
    꾸준한 연구를 한 결과
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    이런 종류의 다항식을 전개하는 방법을
    발견하기도 했습니다.
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    다음에는 또 무엇을 찾을 수 있을까요?
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    글쎄요. 그건 여러분에게 달려있습니다.
Title:
파스칼의 삼각형에 숨어있는 수학적 비밀들 l 와이디 모하메드 라테미(Wajdi Mohamed Ratemi)
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

처음에는 단순히 깔끔히 배열된 숫자들의 무더기로 보일 수도 있는 파스칼의 삼각형은 사실 수학적으로 귀중한 발견입니다. 그렇다면 이 삼각형의 어떤 점이 전 세계의 수학자들의 호기심을 자극하였을까요? 와이디 모하메드 라테미씨는 파스칼의 삼각형이 어떤 형태와 비밀로 가득 차 있는지를 보여줍니다.

강연: 와이디 모하메드 라테미
영상: 헨릭 멜그린

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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

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