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パスカルの三角形に潜む数学の秘密－ ワディ・モハメッド・ラテミ

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    これは整然と並んだ数字の山にしか
    見えないかもしれませんが
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    実は 数学の至宝なのです
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    インドの数学者はこれを 須弥山の階段
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    イランでは ハイヤームの三角形
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    中国では 楊輝の三角と呼んでいました
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    西洋では フランスの数学者
    ブレーズ・パスカルにちなみ
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    パスカルの三角形として知られています
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    後からこの輪に加わったのに名前がついて
    ちょっとずるい気もしますが
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    でも パスカルは
    それだけの貢献をしています
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    ではなぜ そんなにも数学者たちを
    魅了してきたのでしょうか？
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    それは パターンと
    秘密の宝庫だからです
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    まず何と言っても
    生成パターンがあります
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    まず１とその両側を囲む
    目には見えない０から始めます
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    その２つを足して
    次の行を生成します
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    そして これを繰り返していきます
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    さらに続けていけば
    このように―
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    パスカルの三角形は無限に続きます
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    この各行は(x+y)^nという形で表される
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    二項展開の係数に対応しています
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    ここで n は列の数を表し
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    ０から数え始めます
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    n=２で展開すると
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    (x^2) + 2xy + (y^2)となります
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    係数 つまり変数の前にある数は
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    パスカルの三角形のその列の数字と
    同じになっています
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    n=3 も同様で
    このように展開します
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    このように全ての係数を探すのに
    この三角形は手軽な方法です
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    しかし これだけではありません
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    例えば 各行の数字を足していくと
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    次々に ２の累乗が得られます
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    任意の行で 各数字を
    十進法展開にあてはめてみると
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    例えば ２行目の場合
    (1x1) + (2x10) + (1x100)で
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    これは121ですから
    11の二乗です
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    ６行目で同じことを行うと
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    合計は1,771,561で
    これは 11^6です
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    幾何学的な応用もあります
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    この対角線を見てみましょう
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    最初の２列は 単なる１の羅列ですが
    次は正の整数で
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    自然数としても知られています
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    しかし 次の対角線の数は
    三角数と呼ばれています
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    それは 点をいくつも積み上げていくと
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    この数の正三角形の形に
    積み上げられるからです
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    次の対角線は正四面体数と呼ばれています
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    先程と同じように
    正四面体に積み重なるからです
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    今度は奇数に影を
    付けていったらどうでしょうか
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    三角形が小さい時は
    大したことはありませんが
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    何千もの列になってくると
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    シェルピンスキーの三角形という
    フラクタルが得られます
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    この三角形は
    数学の賜物であるだけでなく
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    なかでも とりわけ
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    確率や組み合わせの領域の計算では
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    大変便利なものです
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    例えば あなたが子供を
    ５人欲しいと思ったとして
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    理想の家族である
    女の子３人と男の子２人になる
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    確率を知りたいと思ったとしましょう
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    ２項展開で表すと
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    女の子+男の子の五乗です
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    では ５列目を見てみましょう
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    最初の数字は女の子５人
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    最後の数字は男の子が５人の場合です
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    ３番目の数字を求めます
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    すべての可能性の内10ですから
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    10/32
    つまり 31.25% です
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    または 無作為に12人の友人の中から
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    ５人をバスケットボールの選手に
    選ぶとしましょう
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    ５人のグループは
    幾通り考えられるでしょうか？
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    組み合わせでは
    12 C 5
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    この方程式を使って計算するか
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    三角形の12列目の
    ６つ目の要素を見ればいいのです
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    すると 答えが出ます
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    パスカルの三角形のパターンは
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    数学の織りなす美しさの証なのです
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    そして 今なお
    新たな秘密が途切れることはありません
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    例えば 最近では
    こういった種類の多項式の
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    展開方法が発見されました
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    この次は何が見つかるのでしょうか？
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    それは あなた次第です
Title:
パスカルの三角形に潜む数学の秘密－ ワディ・モハメッド・ラテミ
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

パスカルの三角形は、ただ数字を積み上げただけのように見えるかもしれませんが、実は数学の至宝なのです。なぜそんなに数学者たちを魅了してきたのでしょうか？ ワディ・モハメッド・ラテミがパスカルの三角形に潜むパターンと秘密を紹介します。
講師: ワディ・モハメッド・ラテミ
アニメーション: ヘンリック・マルムグレン

レッスンの全編はこちら: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Japanese subtitles

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