WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
これは整然と並んだ数字の山にしか
見えないかもしれませんが

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
実は 数学の至宝なのです

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
インドの数学者はこれを 須弥山の階段

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
イランでは ハイヤームの三角形

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
中国では 楊輝の三角と呼んでいました

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
西洋では フランスの数学者
ブレーズ・パスカルにちなみ

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
パスカルの三角形として知られています

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
後からこの輪に加わったのに名前がついて
ちょっとずるい気もしますが

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
でも パスカルは
それだけの貢献をしています

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
ではなぜ そんなにも数学者たちを
魅了してきたのでしょうか？

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
それは パターンと
秘密の宝庫だからです

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
まず何と言っても
生成パターンがあります

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
まず１とその両側を囲む
目には見えない０から始めます

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
その２つを足して
次の行を生成します

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
そして これを繰り返していきます

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
さらに続けていけば 
このように―

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
パスカルの三角形は無限に続きます

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
この各行は(x+y)^nという形で表される

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
二項展開の係数に対応しています

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
ここで n は列の数を表し

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
０から数え始めます

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
n=２で展開すると

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2)となります

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
係数 つまり変数の前にある数は

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
パスカルの三角形のその列の数字と
同じになっています

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
n=3 も同様で
このように展開します

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
このように全ての係数を探すのに
この三角形は手軽な方法です

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
しかし これだけではありません

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
例えば 各行の数字を足していくと

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
次々に ２の累乗が得られます

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
任意の行で 各数字を
十進法展開にあてはめてみると

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
例えば ２行目の場合
(1x1) + (2x10) + (1x100)で

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
これは121ですから
11の二乗です

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
６行目で同じことを行うと

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
合計は1,771,561で
これは 11^6です

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
幾何学的な応用もあります

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
この対角線を見てみましょう

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
最初の２列は 単なる１の羅列ですが
次は正の整数で

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
自然数としても知られています

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
しかし 次の対角線の数は
三角数と呼ばれています

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
それは 点をいくつも積み上げていくと

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
この数の正三角形の形に
積み上げられるからです

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
次の対角線は正四面体数と呼ばれています

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
先程と同じように
正四面体に積み重なるからです

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
今度は奇数に影を
付けていったらどうでしょうか

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
三角形が小さい時は
大したことはありませんが

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
何千もの列になってくると

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
シェルピンスキーの三角形という
フラクタルが得られます

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
この三角形は
数学の賜物であるだけでなく

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
なかでも とりわけ

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
確率や組み合わせの領域の計算では

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
大変便利なものです

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
例えば あなたが子供を
５人欲しいと思ったとして

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
理想の家族である
女の子３人と男の子２人になる

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
確率を知りたいと思ったとしましょう

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
２項展開で表すと

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
女の子+男の子の五乗です

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
では ５列目を見てみましょう

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
最初の数字は女の子５人

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
最後の数字は男の子が５人の場合です

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
３番目の数字を求めます

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
すべての可能性の内10ですから

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
10/32
つまり 31.25% です

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
または 無作為に12人の友人の中から

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
５人をバスケットボールの選手に
選ぶとしましょう

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
５人のグループは
幾通り考えられるでしょうか？

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
組み合わせでは
12 C 5

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
この方程式を使って計算するか

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
三角形の12列目の
６つ目の要素を見ればいいのです

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
すると 答えが出ます

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
パスカルの三角形のパターンは

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
数学の織りなす美しさの証なのです

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
そして 今なお
新たな秘密が途切れることはありません

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
例えば 最近では
こういった種類の多項式の

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
展開方法が発見されました

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
この次は何が見つかるのでしょうか？

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
それは あなた次第です