0:00:07.603,0:00:11.000 これは整然と並んだ数字の山にしか[br]見えないかもしれませんが 0:00:11.000,0:00:14.506 実は 数学の至宝なのです 0:00:14.506,0:00:18.654 インドの数学者はこれを 須弥山の階段 0:00:18.654,0:00:21.131 イランでは ハイヤームの三角形 0:00:21.131,0:00:23.738 中国では 楊輝の三角と呼んでいました 0:00:23.738,0:00:28.033 西洋では フランスの数学者[br]ブレーズ・パスカルにちなみ 0:00:28.033,0:00:31.085 パスカルの三角形として知られています 0:00:31.085,0:00:35.234 後からこの輪に加わったのに名前がついて[br]ちょっとずるい気もしますが 0:00:35.234,0:00:37.476 でも パスカルは[br]それだけの貢献をしています 0:00:37.476,0:00:42.270 ではなぜ そんなにも数学者たちを[br]魅了してきたのでしょうか? 0:00:42.270,0:00:46.124 それは パターンと[br]秘密の宝庫だからです 0:00:46.124,0:00:49.428 まず何と言っても[br]生成パターンがあります 0:00:49.428,0:00:54.477 まず1とその両側を囲む[br]目には見えない0から始めます 0:00:54.477,0:00:58.592 その2つを足して[br]次の行を生成します 0:00:58.592,0:01:02.066 そして これを繰り返していきます 0:01:02.066,0:01:05.784 さらに続けていけば [br]このように― 0:01:05.784,0:01:09.325 パスカルの三角形は無限に続きます 0:01:09.325,0:01:14.914 この各行は(x+y)^nという形で表される 0:01:14.914,0:01:18.898 二項展開の係数に対応しています 0:01:18.898,0:01:21.307 ここで n は列の数を表し 0:01:21.307,0:01:23.746 0から数え始めます 0:01:23.746,0:01:26.552 n=2で展開すると 0:01:26.552,0:01:31.107 (x^2) + 2xy + (y^2)となります 0:01:31.107,0:01:34.023 係数 つまり変数の前にある数は 0:01:34.023,0:01:38.397 パスカルの三角形のその列の数字と[br]同じになっています 0:01:38.397,0:01:43.256 n=3 も同様で[br]このように展開します 0:01:43.256,0:01:48.493 このように全ての係数を探すのに[br]この三角形は手軽な方法です 0:01:48.493,0:01:50.037 しかし これだけではありません 0:01:50.037,0:01:52.897 例えば 各行の数字を足していくと 0:01:52.897,0:01:56.039 次々に 2の累乗が得られます 0:01:56.039,0:02:01.221 任意の行で 各数字を[br]十進法展開にあてはめてみると 0:02:01.221,0:02:07.835 例えば 2行目の場合[br](1x1) + (2x10) + (1x100)で 0:02:07.835,0:02:12.111 これは121ですから[br]11の二乗です 0:02:12.111,0:02:15.872 6行目で同じことを行うと 0:02:15.872,0:02:25.136 合計は1,771,561で[br]これは 11^6です 0:02:25.136,0:02:27.890 幾何学的な応用もあります 0:02:27.890,0:02:29.691 この対角線を見てみましょう 0:02:29.691,0:02:34.117 最初の2列は 単なる1の羅列ですが[br]次は正の整数で 0:02:34.117,0:02:36.656 自然数としても知られています 0:02:36.656,0:02:40.707 しかし 次の対角線の数は[br]三角数と呼ばれています 0:02:40.707,0:02:42.783 それは 点をいくつも積み上げていくと 0:02:42.783,0:02:46.389 この数の正三角形の形に[br]積み上げられるからです 0:02:46.389,0:02:49.307 次の対角線は正四面体数と呼ばれています 0:02:49.307,0:02:54.622 先程と同じように[br]正四面体に積み重なるからです 0:02:54.622,0:02:57.996 今度は奇数に影を[br]付けていったらどうでしょうか 0:02:57.996,0:03:00.881 三角形が小さい時は[br]大したことはありませんが 0:03:00.881,0:03:03.298 何千もの列になってくると 0:03:03.298,0:03:07.439 シェルピンスキーの三角形という[br]フラクタルが得られます 0:03:07.439,0:03:10.756 この三角形は[br]数学の賜物であるだけでなく 0:03:10.756,0:03:12.742 なかでも とりわけ 0:03:12.742,0:03:15.481 確率や組み合わせの領域の計算では 0:03:15.481,0:03:18.566 大変便利なものです 0:03:18.566,0:03:20.454 例えば あなたが子供を[br]5人欲しいと思ったとして 0:03:20.454,0:03:22.270 理想の家族である[br]女の子3人と男の子2人になる 0:03:22.270,0:03:26.590 確率を知りたいと思ったとしましょう 0:03:26.590,0:03:28.388 2項展開で表すと 0:03:28.388,0:03:32.116 女の子+男の子の五乗です 0:03:32.116,0:03:33.660 では 5列目を見てみましょう 0:03:33.660,0:03:37.131 最初の数字は女の子5人 0:03:37.131,0:03:39.929 最後の数字は男の子が5人の場合です 0:03:39.929,0:03:42.692 3番目の数字を求めます 0:03:42.692,0:03:46.642 すべての可能性の内10ですから 0:03:46.642,0:03:51.490 10/32[br]つまり 31.25% です 0:03:51.490,0:03:55.316 または 無作為に12人の友人の中から 0:03:55.316,0:03:57.084 5人をバスケットボールの選手に[br]選ぶとしましょう 0:03:57.084,0:04:00.102 5人のグループは[br]幾通り考えられるでしょうか? 0:04:00.102,0:04:05.062 組み合わせでは[br]12 C 5 0:04:05.062,0:04:07.237 この方程式を使って計算するか 0:04:07.237,0:04:11.708 三角形の12列目の[br]6つ目の要素を見ればいいのです 0:04:11.708,0:04:13.383 すると 答えが出ます 0:04:13.383,0:04:15.079 パスカルの三角形のパターンは 0:04:15.079,0:04:19.387 数学の織りなす美しさの証なのです 0:04:19.387,0:04:23.271 そして 今なお[br]新たな秘密が途切れることはありません 0:04:23.271,0:04:27.422 例えば 最近では[br]こういった種類の多項式の 0:04:27.422,0:04:30.019 展開方法が発見されました 0:04:30.019,0:04:31.758 この次は何が見つかるのでしょうか? 0:04:31.758,0:04:34.097 それは あなた次第です