1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
これは整然と並んだ数字の山にしか
見えないかもしれませんが

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
実は 数学の至宝なのです

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
インドの数学者はこれを 須弥山の階段

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
イランでは ハイヤームの三角形

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
中国では 楊輝の三角と呼んでいました

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
西洋では フランスの数学者
ブレーズ・パスカルにちなみ

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
パスカルの三角形として知られています

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
後からこの輪に加わったのに名前がついて
ちょっとずるい気もしますが

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
でも パスカルは
それだけの貢献をしています

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
ではなぜ そんなにも数学者たちを
魅了してきたのでしょうか？

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
それは パターンと
秘密の宝庫だからです

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
まず何と言っても
生成パターンがあります

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
まず１とその両側を囲む
目には見えない０から始めます

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
その２つを足して
次の行を生成します

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
そして これを繰り返していきます

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
さらに続けていけば 
このように―

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
パスカルの三角形は無限に続きます

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
この各行は(x+y)^nという形で表される

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
二項展開の係数に対応しています

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
ここで n は列の数を表し

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
０から数え始めます

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
n=２で展開すると

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
(x^2) + 2xy + (y^2)となります

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
係数 つまり変数の前にある数は

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
パスカルの三角形のその列の数字と
同じになっています

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
n=3 も同様で
このように展開します

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
このように全ての係数を探すのに
この三角形は手軽な方法です

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
しかし これだけではありません

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
例えば 各行の数字を足していくと

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
次々に ２の累乗が得られます

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
任意の行で 各数字を
十進法展開にあてはめてみると

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
例えば ２行目の場合
(1x1) + (2x10) + (1x100)で

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
これは121ですから
11の二乗です

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
６行目で同じことを行うと

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
合計は1,771,561で
これは 11^6です

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
幾何学的な応用もあります

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
この対角線を見てみましょう

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
最初の２列は 単なる１の羅列ですが
次は正の整数で

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
自然数としても知られています

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
しかし 次の対角線の数は
三角数と呼ばれています

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
それは 点をいくつも積み上げていくと

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
この数の正三角形の形に
積み上げられるからです

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
次の対角線は正四面体数と呼ばれています

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
先程と同じように
正四面体に積み重なるからです

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
今度は奇数に影を
付けていったらどうでしょうか

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
三角形が小さい時は
大したことはありませんが

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
何千もの列になってくると

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
シェルピンスキーの三角形という
フラクタルが得られます

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
この三角形は
数学の賜物であるだけでなく

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
なかでも とりわけ

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
確率や組み合わせの領域の計算では

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
大変便利なものです

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
例えば あなたが子供を
５人欲しいと思ったとして

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
理想の家族である
女の子３人と男の子２人になる

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
確率を知りたいと思ったとしましょう

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
２項展開で表すと

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
女の子+男の子の五乗です

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
では ５列目を見てみましょう

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
最初の数字は女の子５人

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
最後の数字は男の子が５人の場合です

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
３番目の数字を求めます

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
すべての可能性の内10ですから

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
10/32
つまり 31.25% です

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
または 無作為に12人の友人の中から

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
５人をバスケットボールの選手に
選ぶとしましょう

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
５人のグループは
幾通り考えられるでしょうか？

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
組み合わせでは
12 C 5

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
この方程式を使って計算するか

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
三角形の12列目の
６つ目の要素を見ればいいのです

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
すると 答えが出ます

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
パスカルの三角形のパターンは

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
数学の織りなす美しさの証なのです

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
そして 今なお
新たな秘密が途切れることはありません

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
例えば 最近では
こういった種類の多項式の

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
展開方法が発見されました

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
この次は何が見つかるのでしょうか？

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
それは あなた次第です