これは整然と並んだ数字の山にしか 見えないかもしれませんが
実は 数学の至宝なのです
インドの数学者はこれを 須弥山の階段
イランでは ハイヤームの三角形
中国では 楊輝の三角と呼んでいました
西洋では フランスの数学者 ブレーズ・パスカルにちなみ
パスカルの三角形として知られています
後からこの輪に加わったのに名前がついて ちょっとずるい気もしますが
でも パスカルは それだけの貢献をしています
ではなぜ そんなにも数学者たちを 魅了してきたのでしょうか？
それは パターンと 秘密の宝庫だからです
まず何と言っても 生成パターンがあります
まず１とその両側を囲む 目には見えない０から始めます
その２つを足して 次の行を生成します
そして これを繰り返していきます
さらに続けていけば このように―
パスカルの三角形は無限に続きます
この各行は(x+y)^nという形で表される
二項展開の係数に対応しています
ここで n は列の数を表し
０から数え始めます
n=２で展開すると
(x^2) + 2xy + (y^2)となります
係数 つまり変数の前にある数は
パスカルの三角形のその列の数字と 同じになっています
n=3 も同様で このように展開します
このように全ての係数を探すのに この三角形は手軽な方法です
しかし これだけではありません
例えば 各行の数字を足していくと
次々に ２の累乗が得られます
任意の行で 各数字を 十進法展開にあてはめてみると
例えば ２行目の場合 (1x1) + (2x10) + (1x100)で
これは121ですから 11の二乗です
６行目で同じことを行うと
合計は1,771,561で これは 11^6です
幾何学的な応用もあります
この対角線を見てみましょう
最初の２列は 単なる１の羅列ですが 次は正の整数で
自然数としても知られています
しかし 次の対角線の数は 三角数と呼ばれています
それは 点をいくつも積み上げていくと
この数の正三角形の形に 積み上げられるからです
次の対角線は正四面体数と呼ばれています
先程と同じように 正四面体に積み重なるからです
今度は奇数に影を 付けていったらどうでしょうか
三角形が小さい時は 大したことはありませんが
何千もの列になってくると
シェルピンスキーの三角形という フラクタルが得られます
この三角形は 数学の賜物であるだけでなく
なかでも とりわけ
確率や組み合わせの領域の計算では
大変便利なものです
例えば あなたが子供を ５人欲しいと思ったとして
理想の家族である 女の子３人と男の子２人になる
確率を知りたいと思ったとしましょう
２項展開で表すと
女の子+男の子の五乗です
では ５列目を見てみましょう
最初の数字は女の子５人
最後の数字は男の子が５人の場合です
３番目の数字を求めます
すべての可能性の内10ですから
10/32 つまり 31.25% です
または 無作為に12人の友人の中から
５人をバスケットボールの選手に 選ぶとしましょう
５人のグループは 幾通り考えられるでしょうか？
組み合わせでは 12 C 5
この方程式を使って計算するか
三角形の12列目の ６つ目の要素を見ればいいのです
すると 答えが出ます
パスカルの三角形のパターンは
数学の織りなす美しさの証なのです
そして 今なお 新たな秘密が途切れることはありません
例えば 最近では こういった種類の多項式の
展開方法が発見されました
この次は何が見つかるのでしょうか？
それは あなた次第です