I segreti matematici del Triangolo di Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

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Il triangolo di Pascal, che a prima vista sembra solo una pila ordinata di numeri, è in realtà un vero tesoro della matematica. Ma perché ha sempre affascinato tanto i matematici di tutto il mondo? Wajdi Mohamed Ratemi ci spiega perché il Triangolo di Pascal è pieno zeppo di schemi e segreti.

Questa potrebbe sembrare
una pila ordinata di numeri,

ma in realtà è un vero tesoro matematico.

I matematici indiani la chiamano
la Scalinata del Monte Meru.

In Iran è il Triangolo di Khayyam.

E in Cina è il Triangolo di Yang Hui.

In gran parte dell'occidente
è noto come Triangolo di Pascal

dal nome del matematico francese
Blaise Pascal.

Ad essere sinceri Pascal
è arrivato in ritardo rispetto agli altri,

ma ha comunque contribuito molto.

Ma cos'è che ha affascinato così tanto
i matematici di tutto il mondo?

Per farla breve,
è zeppo di schemi e segreti.

Innanzitutto si costruisce
con un algoritmo.

Inizia con un uno, e accanto a esso
immagina due zeri invisibili.

Somma i numeri a coppie
per generare la riga dopo.

Ora rifai la stessa cosa più volte.

Continua così
e troverai qualcosa di simile,

ma in realtà il Triangolo di Pascal
va avanti all'infinito.

In ogni riga ci sono i cosiddetti
coefficienti di un'espansione binomiale

della forma (x+y)^n,

dove n è il numero della riga,

e contiamo le righe a partire da zero.

Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione:

(x^2) + 2xy + (y^2).

I coefficienti, cioè i numeri
che vedi davanti alle variabili,

sono i numeri nella riga corrispondente
del Triangolo di Pascal.

La stessa cosa è vera per n=3,
che si espande così.

Il Triangolo è un modo semplice e rapido
per scoprire tutti questi coefficienti.

Ma c'è di più.

Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga

ottieni una dopo l'altra le potenze di 2.

Oppure tratta i numeri di una riga
come parte di un'espansione decimale.

Praticamente, la riga numero due diventa:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Ottieni 121, che è proprio 11^2.

E guarda che succede se fai lo stesso
con la riga numero sei:

ottieni 1 771 561,
cioè 11^6, e così via.

Ci sono anche applicazioni
nel campo della geometria.

Guarda le diagonali.

Le prime due non sono interessanti:
tutti uno, e poi gli interi positivi,

noti anche come numeri naturali.

Ma i numeri della diagonale successiva
si chiamano numeri triangolari

perché se prendi questo numero di punti

puoi disporli a formare
un triangolo equilatero.

La diagonale successiva contiene
i numeri tetraedrici

perché con questo numero di sfere
si può costruire un tetraedro.

E ancora: prova ad annerire
tutti i numeri dispari.

Non succede nulla di interessante
se il triangolo è piccolo,

ma se aggiungi migliaia di righe,

ottieni un frattale
chiamato Triangolo di Sierpiński.

Questo triangolo non solo
è un capolavoro matematico.

È anche piuttosto utile,

soprattutto nel calcolo delle probabilità

e nel calcolo combinatorio in generale.

Mettiamo che tu voglia cinque figli,

e voglia sapere quanto è probabile

realizzare la famiglia dei tuoi sogni
con tre femmine e due maschi.

In termini di espansione binomiale

ciò corrisponde a
femmine più maschi alla quinta.

Quindi guardiamo la riga cinque,

in cui il primo numero
corrisponde a 5 femmine,

e l'ultimo numero a cinque maschi.

Il terzo numero è quello che ci interessa.

Quindi dieci, sul totale
di tutte le possibilità della riga,

cioè 10/32, ossia il 31,25%.

O, volendo una squadra di pallacanestro
composta scegliendo a caso 5 giocatori

da un gruppo di 12 amici,

quanti sono i possibili gruppi da cinque?

Nel calcolo combinatorio questo problema
si esprime come dodici sopra cinque,

e si può calcolare con questa formula,

oppure basta guardare il sesto elemento
della dodicesima riga del triangolo

per ottenere la risposta.

Le proprietà del Triangolo di Pascal

dimostrano quanto la matematica
sia elegantemente interconnessa.

E ancora oggi il triangolo
rivela segreti sempre nuovi.

Ad esempio, i matematici
hanno da poco scoperto come estenderlo

ai polinomi di questo tipo.

Chissà cosa scopriremo ancora?

Beh, questo dipende da te.