Questa potrebbe sembrare una pila ordinata di numeri,
ma in realtà è un vero tesoro matematico.
I matematici indiani la chiamano la Scalinata del Monte Meru.
In Iran è il Triangolo di Khayyam.
E in Cina è il Triangolo di Yang Hui.
In gran parte dell'occidente è noto come Triangolo di Pascal
dal nome del matematico francese Blaise Pascal.
Ad essere sinceri Pascal è arrivato in ritardo rispetto agli altri,
ma ha comunque contribuito molto.
Ma cos'è che ha affascinato così tanto i matematici di tutto il mondo?
Per farla breve, è zeppo di schemi e segreti.
Innanzitutto si costruisce con un algoritmo.
Inizia con un uno, e accanto a esso immagina due zeri invisibili.
Somma i numeri a coppie per generare la riga dopo.
Ora rifai la stessa cosa più volte.
Continua così e troverai qualcosa di simile,
ma in realtà il Triangolo di Pascal va avanti all'infinito.
In ogni riga ci sono i cosiddetti coefficienti di un'espansione binomiale
della forma (x+y)^n,
dove n è il numero della riga,
e contiamo le righe a partire da zero.
Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione:
(x^2) + 2xy + (y^2).
I coefficienti, cioè i numeri che vedi davanti alle variabili,
sono i numeri nella riga corrispondente del Triangolo di Pascal.
La stessa cosa è vera per n=3, che si espande così.
Il Triangolo è un modo semplice e rapido per scoprire tutti questi coefficienti.
Ma c'è di più.
Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga
ottieni una dopo l'altra le potenze di 2.
Oppure tratta i numeri di una riga come parte di un'espansione decimale.
Praticamente, la riga numero due diventa: (1x1) + (2x10) + (1x100).
Ottieni 121, che è proprio 11^2.
E guarda che succede se fai lo stesso con la riga numero sei:
ottieni 1 771 561, cioè 11^6, e così via.
Ci sono anche applicazioni nel campo della geometria.
Guarda le diagonali.
Le prime due non sono interessanti: tutti uno, e poi gli interi positivi,
noti anche come numeri naturali.
Ma i numeri della diagonale successiva si chiamano numeri triangolari
perché se prendi questo numero di punti
puoi disporli a formare un triangolo equilatero.
La diagonale successiva contiene i numeri tetraedrici
perché con questo numero di sfere si può costruire un tetraedro.
E ancora: prova ad annerire tutti i numeri dispari.
Non succede nulla di interessante se il triangolo è piccolo,
ma se aggiungi migliaia di righe,
ottieni un frattale chiamato Triangolo di Sierpiński.
Questo triangolo non solo è un capolavoro matematico.
È anche piuttosto utile,
soprattutto nel calcolo delle probabilità
e nel calcolo combinatorio in generale.
Mettiamo che tu voglia cinque figli,
e voglia sapere quanto è probabile
realizzare la famiglia dei tuoi sogni con tre femmine e due maschi.
In termini di espansione binomiale
ciò corrisponde a femmine più maschi alla quinta.
Quindi guardiamo la riga cinque,
in cui il primo numero corrisponde a 5 femmine,
e l'ultimo numero a cinque maschi.
Il terzo numero è quello che ci interessa.
Quindi dieci, sul totale di tutte le possibilità della riga,
cioè 10/32, ossia il 31,25%.
O, volendo una squadra di pallacanestro composta scegliendo a caso 5 giocatori
da un gruppo di 12 amici,
quanti sono i possibili gruppi da cinque?
Nel calcolo combinatorio questo problema si esprime come dodici sopra cinque,
e si può calcolare con questa formula,
oppure basta guardare il sesto elemento della dodicesima riga del triangolo
per ottenere la risposta.
Le proprietà del Triangolo di Pascal
dimostrano quanto la matematica sia elegantemente interconnessa.
E ancora oggi il triangolo rivela segreti sempre nuovi.
Ad esempio, i matematici hanno da poco scoperto come estenderlo
ai polinomi di questo tipo.
Chissà cosa scopriremo ancora?
Beh, questo dipende da te.