1
00:00:07,583 --> 00:00:11,000
Questa potrebbe sembrare 
una pila ordinata di numeri,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
ma in realtà è un vero tesoro matematico.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
I matematici indiani la chiamano
la Scalinata del Monte Meru.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
In Iran è il Triangolo di Khayyam.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
E in Cina è il Triangolo di Yang Hui.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
In gran parte dell'occidente
è noto come Triangolo di Pascal

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
dal nome del matematico francese
Blaise Pascal.

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
Ad essere sinceri Pascal
è arrivato in ritardo rispetto agli altri,

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
ma ha comunque contribuito molto.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
Ma cos'è che ha affascinato così tanto
i matematici di tutto il mondo?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Per farla breve,
è zeppo di schemi e segreti.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Innanzitutto si costruisce
con un algoritmo.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Inizia con un uno, e accanto a esso
immagina due zeri invisibili.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Somma i numeri a coppie
per generare la riga dopo.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Ora rifai la stessa cosa più volte.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
Continua così
e troverai qualcosa di simile,

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
ma in realtà il Triangolo di Pascal
va avanti all'infinito.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
In ogni riga ci sono i cosiddetti
coefficienti di un'espansione binomiale

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
della forma (x+y)^n,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
dove n è il numero della riga,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
e contiamo le righe a partire da zero.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione:

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
(x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,073
I coefficienti, cioè i numeri
che vedi davanti alle variabili,

25
00:01:34,073 --> 00:01:38,397
sono i numeri nella riga corrispondente
del Triangolo di Pascal.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
La stessa cosa è vera per n=3,
che si espande così.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
Il Triangolo è un modo semplice e rapido
per scoprire tutti questi coefficienti.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Ma c'è di più.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
ottieni una dopo l'altra le potenze di 2.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Oppure tratta i numeri di una riga
come parte di un'espansione decimale.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
Praticamente, la riga numero due diventa:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
Ottieni 121, che è proprio 11^2.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
E guarda che succede se fai lo stesso
con la riga numero sei:

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
ottieni 1 771 561,
cioè 11^6, e così via.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Ci sono anche applicazioni
nel campo della geometria.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Guarda le diagonali.

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
Le prime due non sono interessanti:
tutti uno, e poi gli interi positivi,

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
noti anche come numeri naturali.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Ma i numeri della diagonale successiva
si chiamano numeri triangolari

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
perché se prendi questo numero di punti

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
puoi disporli a formare
un triangolo equilatero.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
La diagonale successiva contiene
i numeri tetraedrici

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
perché con questo numero di sfere
si può costruire un tetraedro.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
E ancora: prova ad annerire
tutti i numeri dispari.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Non succede nulla di interessante
se il triangolo è piccolo,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
ma se aggiungi migliaia di righe,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
ottieni un frattale
chiamato Triangolo di Sierpiński.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Questo triangolo non solo
è un capolavoro matematico.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
È anche piuttosto utile,

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
soprattutto nel calcolo delle probabilità

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
e nel calcolo combinatorio in generale.

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
Mettiamo che tu voglia cinque figli,

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
e voglia sapere quanto è probabile

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
realizzare la famiglia dei tuoi sogni
con tre femmine e due maschi.

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
In termini di espansione binomiale

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
ciò corrisponde a
femmine più maschi alla quinta.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
Quindi guardiamo la riga cinque,

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
in cui il primo numero
corrisponde a 5 femmine,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
e l'ultimo numero a cinque maschi.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Il terzo numero è quello che ci interessa.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
Quindi dieci, sul totale
di tutte le possibilità della riga,

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
cioè 10/32, ossia il 31,25%.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
O, volendo una squadra di pallacanestro
composta scegliendo a caso 5 giocatori

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
da un gruppo di 12 amici,

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
quanti sono i possibili gruppi da cinque?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
Nel calcolo combinatorio questo problema
si esprime come dodici sopra cinque,

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
e si può calcolare con questa formula,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
oppure basta guardare il sesto elemento
della dodicesima riga del triangolo

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
per ottenere la risposta.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,109
Le proprietà del Triangolo di Pascal

72
00:04:15,109 --> 00:04:19,387
dimostrano quanto la matematica
sia elegantemente interconnessa.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
E ancora oggi il triangolo
rivela segreti sempre nuovi.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
Ad esempio, i matematici
hanno da poco scoperto come estenderlo

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
ai polinomi di questo tipo.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,857
Chissà cosa scopriremo ancora?

77
00:04:31,857 --> 00:04:34,807
Beh, questo dipende da te.