0:00:07.583,0:00:11.000 Questa potrebbe sembrare [br]una pila ordinata di numeri, 0:00:11.000,0:00:14.506 ma in realtà è un vero tesoro matematico. 0:00:14.506,0:00:18.654 I matematici indiani la chiamano[br]la Scalinata del Monte Meru. 0:00:18.654,0:00:21.131 In Iran è il Triangolo di Khayyam. 0:00:21.131,0:00:23.738 E in Cina è il Triangolo di Yang Hui. 0:00:23.738,0:00:28.033 In gran parte dell'occidente[br]è noto come Triangolo di Pascal 0:00:28.033,0:00:31.085 dal nome del matematico francese[br]Blaise Pascal. 0:00:31.085,0:00:35.234 Ad essere sinceri Pascal[br]è arrivato in ritardo rispetto agli altri, 0:00:35.234,0:00:37.476 ma ha comunque contribuito molto. 0:00:37.476,0:00:42.270 Ma cos'è che ha affascinato così tanto[br]i matematici di tutto il mondo? 0:00:42.270,0:00:46.124 Per farla breve,[br]è zeppo di schemi e segreti. 0:00:46.124,0:00:49.428 Innanzitutto si costruisce[br]con un algoritmo. 0:00:49.428,0:00:54.477 Inizia con un uno, e accanto a esso[br]immagina due zeri invisibili. 0:00:54.477,0:00:58.592 Somma i numeri a coppie[br]per generare la riga dopo. 0:00:58.592,0:01:02.066 Ora rifai la stessa cosa più volte. 0:01:02.066,0:01:05.784 Continua così[br]e troverai qualcosa di simile, 0:01:05.784,0:01:09.325 ma in realtà il Triangolo di Pascal[br]va avanti all'infinito. 0:01:09.325,0:01:14.914 In ogni riga ci sono i cosiddetti[br]coefficienti di un'espansione binomiale 0:01:14.914,0:01:18.898 della forma (x+y)^n, 0:01:18.898,0:01:21.307 dove n è il numero della riga, 0:01:21.307,0:01:23.746 e contiamo le righe a partire da zero. 0:01:23.746,0:01:26.552 Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione: 0:01:26.552,0:01:31.107 (x^2) + 2xy + (y^2). 0:01:31.107,0:01:34.073 I coefficienti, cioè i numeri[br]che vedi davanti alle variabili, 0:01:34.073,0:01:38.397 sono i numeri nella riga corrispondente[br]del Triangolo di Pascal. 0:01:38.397,0:01:43.256 La stessa cosa è vera per n=3,[br]che si espande così. 0:01:43.256,0:01:48.493 Il Triangolo è un modo semplice e rapido[br]per scoprire tutti questi coefficienti. 0:01:48.493,0:01:50.037 Ma c'è di più. 0:01:50.037,0:01:52.897 Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga 0:01:52.897,0:01:56.039 ottieni una dopo l'altra le potenze di 2. 0:01:56.039,0:02:01.221 Oppure tratta i numeri di una riga[br]come parte di un'espansione decimale. 0:02:01.221,0:02:07.835 Praticamente, la riga numero due diventa:[br](1x1) + (2x10) + (1x100). 0:02:07.835,0:02:12.111 Ottieni 121, che è proprio 11^2. 0:02:12.111,0:02:15.872 E guarda che succede se fai lo stesso[br]con la riga numero sei: 0:02:15.872,0:02:25.136 ottieni 1 771 561,[br]cioè 11^6, e così via. 0:02:25.136,0:02:27.890 Ci sono anche applicazioni[br]nel campo della geometria. 0:02:27.890,0:02:29.691 Guarda le diagonali. 0:02:29.691,0:02:34.117 Le prime due non sono interessanti:[br]tutti uno, e poi gli interi positivi, 0:02:34.117,0:02:36.656 noti anche come numeri naturali. 0:02:36.656,0:02:40.707 Ma i numeri della diagonale successiva[br]si chiamano numeri triangolari 0:02:40.707,0:02:42.783 perché se prendi questo numero di punti 0:02:42.783,0:02:46.389 puoi disporli a formare[br]un triangolo equilatero. 0:02:46.389,0:02:49.307 La diagonale successiva contiene[br]i numeri tetraedrici 0:02:49.307,0:02:54.622 perché con questo numero di sfere[br]si può costruire un tetraedro. 0:02:54.622,0:02:57.996 E ancora: prova ad annerire[br]tutti i numeri dispari. 0:02:57.996,0:03:00.881 Non succede nulla di interessante[br]se il triangolo è piccolo, 0:03:00.881,0:03:03.298 ma se aggiungi migliaia di righe, 0:03:03.298,0:03:07.439 ottieni un frattale[br]chiamato Triangolo di Sierpiński. 0:03:07.439,0:03:10.756 Questo triangolo non solo[br]è un capolavoro matematico. 0:03:10.756,0:03:12.742 È anche piuttosto utile, 0:03:12.742,0:03:15.481 soprattutto nel calcolo delle probabilità 0:03:15.481,0:03:18.566 e nel calcolo combinatorio in generale. 0:03:18.566,0:03:20.454 Mettiamo che tu voglia cinque figli, 0:03:20.454,0:03:22.270 e voglia sapere quanto è probabile 0:03:22.270,0:03:26.590 realizzare la famiglia dei tuoi sogni[br]con tre femmine e due maschi. 0:03:26.590,0:03:28.388 In termini di espansione binomiale 0:03:28.388,0:03:32.116 ciò corrisponde a[br]femmine più maschi alla quinta. 0:03:32.116,0:03:33.660 Quindi guardiamo la riga cinque, 0:03:33.660,0:03:37.131 in cui il primo numero[br]corrisponde a 5 femmine, 0:03:37.131,0:03:39.929 e l'ultimo numero a cinque maschi. 0:03:39.929,0:03:42.692 Il terzo numero è quello che ci interessa. 0:03:42.692,0:03:46.642 Quindi dieci, sul totale[br]di tutte le possibilità della riga, 0:03:46.642,0:03:51.490 cioè 10/32, ossia il 31,25%. 0:03:51.490,0:03:55.316 O, volendo una squadra di pallacanestro[br]composta scegliendo a caso 5 giocatori 0:03:55.316,0:03:57.084 da un gruppo di 12 amici, 0:03:57.084,0:04:00.102 quanti sono i possibili gruppi da cinque? 0:04:00.102,0:04:05.062 Nel calcolo combinatorio questo problema[br]si esprime come dodici sopra cinque, 0:04:05.062,0:04:07.237 e si può calcolare con questa formula, 0:04:07.237,0:04:11.708 oppure basta guardare il sesto elemento[br]della dodicesima riga del triangolo 0:04:11.708,0:04:13.383 per ottenere la risposta. 0:04:13.383,0:04:15.109 Le proprietà del Triangolo di Pascal 0:04:15.109,0:04:19.387 dimostrano quanto la matematica[br]sia elegantemente interconnessa. 0:04:19.387,0:04:23.271 E ancora oggi il triangolo[br]rivela segreti sempre nuovi. 0:04:23.271,0:04:27.422 Ad esempio, i matematici[br]hanno da poco scoperto come estenderlo 0:04:27.422,0:04:30.019 ai polinomi di questo tipo. 0:04:30.019,0:04:31.857 Chissà cosa scopriremo ancora? 0:04:31.857,0:04:34.807 Beh, questo dipende da te.