WEBVTT 00:00:07.583 --> 00:00:11.000 Questa potrebbe sembrare una pila ordinata di numeri, 00:00:11.000 --> 00:00:14.506 ma in realtà è un vero tesoro matematico. 00:00:14.506 --> 00:00:18.654 I matematici indiani la chiamano la Scalinata del Monte Meru. 00:00:18.654 --> 00:00:21.131 In Iran è il Triangolo di Khayyam. 00:00:21.131 --> 00:00:23.738 E in Cina è il Triangolo di Yang Hui. 00:00:23.738 --> 00:00:28.033 In gran parte dell'occidente è noto come Triangolo di Pascal 00:00:28.033 --> 00:00:31.085 dal nome del matematico francese Blaise Pascal. 00:00:31.085 --> 00:00:35.234 Ad essere sinceri Pascal è arrivato in ritardo rispetto agli altri, 00:00:35.234 --> 00:00:37.476 ma ha comunque contribuito molto. 00:00:37.476 --> 00:00:42.270 Ma cos'è che ha affascinato così tanto i matematici di tutto il mondo? 00:00:42.270 --> 00:00:46.124 Per farla breve, è zeppo di schemi e segreti. 00:00:46.124 --> 00:00:49.428 Innanzitutto si costruisce con un algoritmo. 00:00:49.428 --> 00:00:54.477 Inizia con un uno, e accanto a esso immagina due zeri invisibili. 00:00:54.477 --> 00:00:58.592 Somma i numeri a coppie per generare la riga dopo. 00:00:58.592 --> 00:01:02.066 Ora rifai la stessa cosa più volte. 00:01:02.066 --> 00:01:05.784 Continua così e troverai qualcosa di simile, 00:01:05.784 --> 00:01:09.325 ma in realtà il Triangolo di Pascal va avanti all'infinito. 00:01:09.325 --> 00:01:14.914 In ogni riga ci sono i cosiddetti coefficienti di un'espansione binomiale 00:01:14.914 --> 00:01:18.898 della forma (x+y)^n, 00:01:18.898 --> 00:01:21.307 dove n è il numero della riga, 00:01:21.307 --> 00:01:23.746 e contiamo le righe a partire da zero. 00:01:23.746 --> 00:01:26.552 Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione: 00:01:26.552 --> 00:01:31.107 (x^2) + 2xy + (y^2). 00:01:31.107 --> 00:01:34.073 I coefficienti, cioè i numeri che vedi davanti alle variabili, 00:01:34.073 --> 00:01:38.397 sono i numeri nella riga corrispondente del Triangolo di Pascal. 00:01:38.397 --> 00:01:43.256 La stessa cosa è vera per n=3, che si espande così. 00:01:43.256 --> 00:01:48.493 Il Triangolo è un modo semplice e rapido per scoprire tutti questi coefficienti. 00:01:48.493 --> 00:01:50.037 Ma c'è di più. 00:01:50.037 --> 00:01:52.897 Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga 00:01:52.897 --> 00:01:56.039 ottieni una dopo l'altra le potenze di 2. 00:01:56.039 --> 00:02:01.221 Oppure tratta i numeri di una riga come parte di un'espansione decimale. 00:02:01.221 --> 00:02:07.835 Praticamente, la riga numero due diventa: (1x1) + (2x10) + (1x100). 00:02:07.835 --> 00:02:12.111 Ottieni 121, che è proprio 11^2. 00:02:12.111 --> 00:02:15.872 E guarda che succede se fai lo stesso con la riga numero sei: 00:02:15.872 --> 00:02:25.136 ottieni 1 771 561, cioè 11^6, e così via. 00:02:25.136 --> 00:02:27.890 Ci sono anche applicazioni nel campo della geometria. 00:02:27.890 --> 00:02:29.691 Guarda le diagonali. 00:02:29.691 --> 00:02:34.117 Le prime due non sono interessanti: tutti uno, e poi gli interi positivi, 00:02:34.117 --> 00:02:36.656 noti anche come numeri naturali. 00:02:36.656 --> 00:02:40.707 Ma i numeri della diagonale successiva si chiamano numeri triangolari 00:02:40.707 --> 00:02:42.783 perché se prendi questo numero di punti 00:02:42.783 --> 00:02:46.389 puoi disporli a formare un triangolo equilatero. 00:02:46.389 --> 00:02:49.307 La diagonale successiva contiene i numeri tetraedrici 00:02:49.307 --> 00:02:54.622 perché con questo numero di sfere si può costruire un tetraedro. 00:02:54.622 --> 00:02:57.996 E ancora: prova ad annerire tutti i numeri dispari. 00:02:57.996 --> 00:03:00.881 Non succede nulla di interessante se il triangolo è piccolo, 00:03:00.881 --> 00:03:03.298 ma se aggiungi migliaia di righe, 00:03:03.298 --> 00:03:07.439 ottieni un frattale chiamato Triangolo di Sierpiński. 00:03:07.439 --> 00:03:10.756 Questo triangolo non solo è un capolavoro matematico. 00:03:10.756 --> 00:03:12.742 È anche piuttosto utile, 00:03:12.742 --> 00:03:15.481 soprattutto nel calcolo delle probabilità 00:03:15.481 --> 00:03:18.566 e nel calcolo combinatorio in generale. 00:03:18.566 --> 00:03:20.454 Mettiamo che tu voglia cinque figli, 00:03:20.454 --> 00:03:22.270 e voglia sapere quanto è probabile 00:03:22.270 --> 00:03:26.590 realizzare la famiglia dei tuoi sogni con tre femmine e due maschi. 00:03:26.590 --> 00:03:28.388 In termini di espansione binomiale 00:03:28.388 --> 00:03:32.116 ciò corrisponde a femmine più maschi alla quinta. 00:03:32.116 --> 00:03:33.660 Quindi guardiamo la riga cinque, 00:03:33.660 --> 00:03:37.131 in cui il primo numero corrisponde a 5 femmine, 00:03:37.131 --> 00:03:39.929 e l'ultimo numero a cinque maschi. 00:03:39.929 --> 00:03:42.692 Il terzo numero è quello che ci interessa. 00:03:42.692 --> 00:03:46.642 Quindi dieci, sul totale di tutte le possibilità della riga, 00:03:46.642 --> 00:03:51.490 cioè 10/32, ossia il 31,25%. 00:03:51.490 --> 00:03:55.316 O, volendo una squadra di pallacanestro composta scegliendo a caso 5 giocatori 00:03:55.316 --> 00:03:57.084 da un gruppo di 12 amici, 00:03:57.084 --> 00:04:00.102 quanti sono i possibili gruppi da cinque? 00:04:00.102 --> 00:04:05.062 Nel calcolo combinatorio questo problema si esprime come dodici sopra cinque, 00:04:05.062 --> 00:04:07.237 e si può calcolare con questa formula, 00:04:07.237 --> 00:04:11.708 oppure basta guardare il sesto elemento della dodicesima riga del triangolo 00:04:11.708 --> 00:04:13.383 per ottenere la risposta. 00:04:13.383 --> 00:04:15.109 Le proprietà del Triangolo di Pascal 00:04:15.109 --> 00:04:19.387 dimostrano quanto la matematica sia elegantemente interconnessa. 00:04:19.387 --> 00:04:23.271 E ancora oggi il triangolo rivela segreti sempre nuovi. 00:04:23.271 --> 00:04:27.422 Ad esempio, i matematici hanno da poco scoperto come estenderlo 00:04:27.422 --> 00:04:30.019 ai polinomi di questo tipo. 00:04:30.019 --> 00:04:31.857 Chissà cosa scopriremo ancora? 00:04:31.857 --> 00:04:34.807 Beh, questo dipende da te.