A Pascal-háromszög titkai – Wajdi Mohamed Ratemi
-
0:08 - 0:11Talán egy csinosan elrendezett
számkupacnak látszik, -
0:11 - 0:15de valójában egy matematikai ékszerdoboz.
-
0:15 - 0:19Indiai matematikusok
a Meru-hegy lépcsőjének nevezték. -
0:19 - 0:21Iránban Hajjám-háromszög a neve,
-
0:21 - 0:24Kínában pedig Yang Hui háromszög.
-
0:24 - 0:28A nyugati világban többnyire
Pascal-háromszögként ismeretes: -
0:28 - 0:31Blaise Pascal francia
matematikusról nevezték el, -
0:31 - 0:35némiképp méltatlanul, mert
nyilvánvalóan nem tőle származik, -
0:35 - 0:37bár jócskán hozzátett ő is.
-
0:37 - 0:42Mi olyan figyelemre méltó benne,
ami foglalkoztatja a matematikusokat? -
0:42 - 0:46Röviden: telis-tele van
sémákkal és titkokkal. -
0:46 - 0:49Mindenekelőtt a szabály,
amely alapján megalkotjuk. -
0:49 - 0:54Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára
egy-egy láthatatlan nullát képzelünk. -
0:54 - 0:59Adjuk össze a szomszédos számpárokat,
és így keletkezik a következő sor. -
0:59 - 1:02Ezt ismételjük újra meg újra.
-
1:02 - 1:06Tovább folytatva végül
valami ilyesféléhez jutunk, -
1:06 - 1:09bár a Pascal-háromszög
a végtelenségig folytatódik. -
1:09 - 1:15Minden sor az (x+y)^n kifejezés
kifejtésében szereplő -
1:15 - 1:19binomiális együtthatóknak felel meg,
-
1:19 - 1:21-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.
-
1:21 - 1:24A legfelső sor a nulladik.
-
1:24 - 1:27Az n=2-re kifejtve
-
1:27 - 1:31az eredmény: x² + 2xy + y²
-
1:31 - 1:34Az együtthatók, vagyis
a változók előtti számok -
1:34 - 1:38megegyeznek a Pascal-háromszög
második sorában található számokkal. -
1:38 - 1:43Ugyanezt találjuk n=3 esetén is,
ami kifejtve ezt adja. -
1:43 - 1:48Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen
megtalálhatjuk az együtthatókat. -
1:48 - 1:50De ennél többet is tud.
-
1:50 - 1:53Pl. ha az egy sorban lévő
számokat összeadjuk, -
1:53 - 1:56megkapjuk egymás után a 2 hatványait.
-
1:56 - 2:01Vagy egy sorban tekintsünk minden számot
a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának. -
2:01 - 2:08Vagyis, a 2. sor
(1x1) + (2x10) + (1x100). -
2:08 - 2:12Akkor ez 121, ami 11².
-
2:12 - 2:16Nézzük meg, mi történik,
ha ugyanezt tesszük a 6. sorral! -
2:16 - 2:25Az eredmény 1 771 561,
ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább. -
2:25 - 2:28A háromszögnek mértani alkalmazása is van.
-
2:28 - 2:30Nézzük a ferde vonalakat!
-
2:30 - 2:34Az első csupa egyesből áll,
a következő a pozitív egész számokból, -
2:34 - 2:37természetes számoknak is hívjuk őket,
ezek nem nagyon érdekesek. -
2:37 - 2:41A következő vonal mentén vannak
a háromszögszámok. Így nevezzük őket, -
2:41 - 2:43mert ennyi pontból kirakhatunk
-
2:43 - 2:46egy egyenlő oldalú háromszöget.
-
2:46 - 2:49A következő vonal
a tetraéderszámokat tartalmazza, -
2:49 - 2:55mert hasonlóképpen, a gömbökből
tetraédert építhetünk föl. -
2:55 - 2:58Vagy nézzük ezt: színezzük ki
a páratlan számokat! -
2:58 - 3:01Ha a háromszög kicsi,
az ábra nem nagyon mutatós, -
3:01 - 3:03de ha több ezer sorból áll,
-
3:03 - 3:07a Sierpiński-háromszögnek
nevezett fraktálhoz jutunk. -
3:07 - 3:11Ez a háromszög nemcsak
matematikai művészi alkotás, -
3:11 - 3:13hanem nagyon hasznos,
-
3:13 - 3:15különösen a valószínűségszámításban
-
3:15 - 3:18és a kombinatorikában.
-
3:18 - 3:20Tegyük föl,
hogy valaki 5 gyereket szeretne, -
3:20 - 3:22és tudni akarja, mi a valószínűsége,
-
3:22 - 3:26hogy az álomcsaládban
három lány és két fiú lesz? -
3:26 - 3:28A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:
-
3:28 - 3:32lány + fiú az 5. hatványon.
-
3:32 - 3:34Megnézzük az 5. sort,
-
3:34 - 3:37ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,
-
3:37 - 3:40és az utolsó pedig az 5 fiúnak.
-
3:40 - 3:43Mi a 3. számot keressük.
-
3:43 - 3:4710 osztva a sorban lévő
összes lehetőség összegével, -
3:47 - 3:51így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.
-
3:51 - 3:55Hányféleképpen választhatunk ki
-
3:55 - 3:57véletlenszerűen 12 barát közül
-
3:57 - 4:00egy öttagú kosárlabdacsapatot?
-
4:00 - 4:05Kombinatorikai fogalmakkal élve,
ez 12 alatt az 5. -
4:05 - 4:07és ezzel a képlettel számolható ki,
-
4:07 - 4:12vagy csupán rápillantunk
a háromszög 12. sorának 6. elemére, -
4:12 - 4:13és ott a válasz.
-
4:13 - 4:15A Pascal-háromszög mintázatai
-
4:15 - 4:19a matematika elegánsan egymásba fonódott
szerkezetének ékesszóló bizonyítéka. -
4:19 - 4:23A háromszög mind a mai napig
egyre újabb és újabb titkokat tár föl. -
4:23 - 4:27Pl. a matematikusok csak nemrég
fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni -
4:27 - 4:30az ilyen típusú polinomokra.
-
4:30 - 4:32Mi lehet a következő fölfedezés?
-
4:32 - 4:34Nos, ez tőlünk függ.
- Title:
- A Pascal-háromszög titkai – Wajdi Mohamed Ratemi
- Speaker:
- Wajdi Mohamed Ratemi
- Description:
-
A teljes leckét lásd: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi
A Pascal-háromszög lehet, hogy első ránézésre csupán csinosan elrendezett számkupacnak látszik, de valójában matematikai kincsesbánya. Mi olyan figyelemre méltó benne, ami foglalkoztatja a világ matematikusait? Wajdi Mohamed Ratemi bemutatja, hogy a Pascal-háromszög telis-tele van mintázatokkal és titkokkal.
Lecke: Wajdi Mohamed Ratemi, animáció: Henrik Malmgren.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:50
Csaba Lóki approved Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Csaba Lóki edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes accepted Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
Maria Ruzsane Cseresnyes edited Hungarian subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle |