1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Talán egy csinosan elrendezett
számkupacnak látszik,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
de valójában egy matematikai ékszerdoboz.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Indiai matematikusok 
a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
Iránban Hajjám-háromszög a neve,

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
Kínában pedig Yang Hui háromszög.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
A nyugati világban többnyire 
Pascal-háromszögként ismeretes:

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
Blaise Pascal francia 
matematikusról nevezték el,

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
némiképp méltatlanul, mert 
nyilvánvalóan nem tőle származik,

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
bár jócskán hozzátett ő is.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
Mi olyan figyelemre méltó benne, 
ami foglalkoztatja a matematikusokat?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Röviden: telis-tele van 
sémákkal és titkokkal.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Mindenekelőtt a szabály, 
amely alapján megalkotjuk.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára 
egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Adjuk össze a szomszédos számpárokat, 
és így keletkezik a következő sor. 


15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Ezt ismételjük újra meg újra.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
Tovább folytatva végül
valami ilyesféléhez jutunk,

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
bár a Pascal-háromszög 
a végtelenségig folytatódik.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Minden sor az (x+y)^n kifejezés 
kifejtésében szereplő

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
binomiális együtthatóknak felel meg,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
A legfelső sor a nulladik.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Az n=2-re kifejtve

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
az eredmény: x² + 2xy + y²

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Az együtthatók, vagyis 
a változók előtti számok

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
megegyeznek a Pascal-háromszög 
második sorában található számokkal.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, 
ami kifejtve ezt adja.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen 
megtalálhatjuk az együtthatókat.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
De ennél többet is tud.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Pl. ha az egy sorban lévő 
számokat összeadjuk,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
megkapjuk egymás után a 2 hatványait.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Vagy egy sorban tekintsünk minden számot 
a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
Vagyis, a 2. sor
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
Akkor ez 121, ami 11².

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
Nézzük meg, mi történik, 
ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
Az eredmény 1 771 561,
ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,780
A háromszögnek mértani alkalmazása is van.

37
00:02:27,780 --> 00:02:29,691
Nézzük a ferde vonalakat!

38
00:02:29,691 --> 00:02:33,937
Az első csupa egyesből áll, 
a következő a pozitív egész számokból,

39
00:02:33,937 --> 00:02:37,026
természetes számoknak is hívjuk őket,
ezek nem nagyon érdekesek.

40
00:02:37,026 --> 00:02:40,707
A következő vonal mentén vannak 
a háromszögszámok. Így nevezzük őket,

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
mert ennyi pontból kirakhatunk

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
egy egyenlő oldalú háromszöget.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
A következő vonal 
a tetraéderszámokat tartalmazza,

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
mert hasonlóképpen, a gömbökből
tetraédert építhetünk föl.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
Vagy nézzük ezt: színezzük ki 
a páratlan számokat!

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Ha a háromszög kicsi,
az ábra nem nagyon mutatós,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
de ha több ezer sorból áll,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
a Sierpiński-háromszögnek 
nevezett fraktálhoz jutunk.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Ez a háromszög nemcsak 
matematikai művészi alkotás,

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
hanem nagyon hasznos,

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
különösen a valószínűségszámításban 


52
00:03:15,481 --> 00:03:18,356
és a kombinatorikában.

53
00:03:18,356 --> 00:03:20,454
Tegyük föl, 
hogy valaki 5 gyereket szeretne,

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
és tudni akarja, mi a valószínűsége,

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,430
hogy az álomcsaládban 
három lány és két fiú lesz?

56
00:03:26,430 --> 00:03:28,388
A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
lány + fiú az 5. hatványon.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
Megnézzük az 5. sort,

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
és az utolsó pedig az 5 fiúnak.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Mi a 3. számot keressük.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
10 osztva a sorban lévő 
összes lehetőség összegével,

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Hányféleképpen választhatunk ki 



65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
véletlenszerűen 12 barát közül

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
egy öttagú kosárlabdacsapatot?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
Kombinatorikai fogalmakkal élve, 
ez 12 alatt az 5.

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
és ezzel a képlettel számolható ki,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
vagy csupán rápillantunk 
a háromszög 12. sorának 6. elemére,

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
és ott a válasz.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
A Pascal-háromszög mintázatai

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
a matematika elegánsan egymásba fonódott
szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
A háromszög mind a mai napig 
egyre újabb és újabb titkokat tár föl.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
Pl. a matematikusok csak nemrég 
fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
az ilyen típusú polinomokra.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
Mi lehet a következő fölfedezés?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
Nos, ez tőlünk függ.