0:00:07.603,0:00:11.000
Talán egy csinosan elrendezett[br]számkupacnak látszik,

0:00:11.000,0:00:14.506
de valójában egy matematikai ékszerdoboz.

0:00:14.506,0:00:18.654
Indiai matematikusok [br]a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.

0:00:18.654,0:00:21.131
Iránban Hajjám-háromszög a neve,

0:00:21.131,0:00:23.738
Kínában pedig Yang Hui háromszög.

0:00:23.738,0:00:28.033
A nyugati világban többnyire [br]Pascal-háromszögként ismeretes:

0:00:28.033,0:00:31.085
Blaise Pascal francia [br]matematikusról nevezték el,

0:00:31.085,0:00:35.234
némiképp méltatlanul, mert [br]nyilvánvalóan nem tőle származik,

0:00:35.234,0:00:37.476
bár jócskán hozzátett ő is.

0:00:37.476,0:00:42.270
Mi olyan figyelemre méltó benne, [br]ami foglalkoztatja a matematikusokat?

0:00:42.270,0:00:46.124
Röviden: telis-tele van [br]sémákkal és titkokkal.

0:00:46.124,0:00:49.428
Mindenekelőtt a szabály, [br]amely alapján megalkotjuk.

0:00:49.428,0:00:54.477
Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára [br]egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.

0:00:54.477,0:00:58.592
Adjuk össze a szomszédos számpárokat, [br]és így keletkezik a következő sor. [br]

0:00:58.592,0:01:02.066
Ezt ismételjük újra meg újra.

0:01:02.066,0:01:05.784
Tovább folytatva végül[br]valami ilyesféléhez jutunk,

0:01:05.784,0:01:09.325
bár a Pascal-háromszög [br]a végtelenségig folytatódik.

0:01:09.325,0:01:14.914
Minden sor az (x+y)^n kifejezés [br]kifejtésében szereplő

0:01:14.914,0:01:18.898
binomiális együtthatóknak felel meg,

0:01:18.898,0:01:21.307
-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.

0:01:21.307,0:01:23.746
A legfelső sor a nulladik.

0:01:23.746,0:01:26.552
Az n=2-re kifejtve

0:01:26.552,0:01:31.107
az eredmény: x² + 2xy + y²

0:01:31.107,0:01:34.023
Az együtthatók, vagyis [br]a változók előtti számok

0:01:34.023,0:01:38.397
megegyeznek a Pascal-háromszög [br]második sorában található számokkal.

0:01:38.397,0:01:43.256
Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, [br]ami kifejtve ezt adja.

0:01:43.256,0:01:48.493
Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen [br]megtalálhatjuk az együtthatókat.

0:01:48.493,0:01:50.037
De ennél többet is tud.

0:01:50.037,0:01:52.897
Pl. ha az egy sorban lévő [br]számokat összeadjuk,

0:01:52.897,0:01:56.039
megkapjuk egymás után a 2 hatványait.

0:01:56.039,0:02:01.221
Vagy egy sorban tekintsünk minden számot [br]a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.

0:02:01.221,0:02:07.835
Vagyis, a 2. sor[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:12.111
Akkor ez 121, ami 11².

0:02:12.111,0:02:15.872
Nézzük meg, mi történik, [br]ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!

0:02:15.872,0:02:25.136
Az eredmény 1 771 561,[br]ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.

0:02:25.136,0:02:27.780
A háromszögnek mértani alkalmazása is van.

0:02:27.780,0:02:29.691
Nézzük a ferde vonalakat!

0:02:29.691,0:02:33.937
Az első csupa egyesből áll, [br]a következő a pozitív egész számokból,

0:02:33.937,0:02:37.026
természetes számoknak is hívjuk őket,[br]ezek nem nagyon érdekesek.

0:02:37.026,0:02:40.707
A következő vonal mentén vannak [br]a háromszögszámok. Így nevezzük őket,

0:02:40.707,0:02:42.783
mert ennyi pontból kirakhatunk

0:02:42.783,0:02:46.389
egy egyenlő oldalú háromszöget.

0:02:46.389,0:02:49.307
A következő vonal [br]a tetraéderszámokat tartalmazza,

0:02:49.307,0:02:54.622
mert hasonlóképpen, a gömbökből[br]tetraédert építhetünk föl.

0:02:54.622,0:02:57.996
Vagy nézzük ezt: színezzük ki [br]a páratlan számokat!

0:02:57.996,0:03:00.881
Ha a háromszög kicsi,[br]az ábra nem nagyon mutatós,

0:03:00.881,0:03:03.298
de ha több ezer sorból áll,

0:03:03.298,0:03:07.439
a Sierpiński-háromszögnek [br]nevezett fraktálhoz jutunk.

0:03:07.439,0:03:10.756
Ez a háromszög nemcsak [br]matematikai művészi alkotás,

0:03:10.756,0:03:12.742
hanem nagyon hasznos,

0:03:12.742,0:03:15.481
különösen a valószínűségszámításban [br]

0:03:15.481,0:03:18.356
és a kombinatorikában.

0:03:18.356,0:03:20.454
Tegyük föl, [br]hogy valaki 5 gyereket szeretne,

0:03:20.454,0:03:22.270
és tudni akarja, mi a valószínűsége,

0:03:22.270,0:03:26.430
hogy az álomcsaládban [br]három lány és két fiú lesz?

0:03:26.430,0:03:28.388
A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:

0:03:28.388,0:03:32.116
lány + fiú az 5. hatványon.

0:03:32.116,0:03:33.660
Megnézzük az 5. sort,

0:03:33.660,0:03:37.131
ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,

0:03:37.131,0:03:39.929
és az utolsó pedig az 5 fiúnak.

0:03:39.929,0:03:42.692
Mi a 3. számot keressük.

0:03:42.692,0:03:46.642
10 osztva a sorban lévő [br]összes lehetőség összegével,

0:03:46.642,0:03:51.490
így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.

0:03:51.490,0:03:55.316
Hányféleképpen választhatunk ki [br][br]

0:03:55.316,0:03:57.084
véletlenszerűen 12 barát közül

0:03:57.084,0:04:00.102
egy öttagú kosárlabdacsapatot?

0:04:00.102,0:04:05.062
Kombinatorikai fogalmakkal élve, [br]ez 12 alatt az 5.

0:04:05.062,0:04:07.237
és ezzel a képlettel számolható ki,

0:04:07.237,0:04:11.708
vagy csupán rápillantunk [br]a háromszög 12. sorának 6. elemére,

0:04:11.708,0:04:13.383
és ott a válasz.

0:04:13.383,0:04:15.079
A Pascal-háromszög mintázatai

0:04:15.079,0:04:19.387
a matematika elegánsan egymásba fonódott[br]szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.

0:04:19.387,0:04:23.271
A háromszög mind a mai napig [br]egyre újabb és újabb titkokat tár föl.

0:04:23.271,0:04:27.422
Pl. a matematikusok csak nemrég [br]fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni

0:04:27.422,0:04:30.019
az ilyen típusú polinomokra.

0:04:30.019,0:04:31.758
Mi lehet a következő fölfedezés?

0:04:31.758,0:04:34.097
Nos, ez tőlünk függ.