WEBVTT 00:00:07.603 --> 00:00:11.000 Talán egy csinosan elrendezett számkupacnak látszik, 00:00:11.000 --> 00:00:14.506 de valójában egy matematikai ékszerdoboz. 00:00:14.506 --> 00:00:18.654 Indiai matematikusok a Meru-hegy lépcsőjének nevezték. 00:00:18.654 --> 00:00:21.131 Iránban Hajjám-háromszög a neve, 00:00:21.131 --> 00:00:23.738 Kínában pedig Yang Hui háromszög. 00:00:23.738 --> 00:00:28.033 A nyugati világban többnyire Pascal-háromszögként ismeretes: 00:00:28.033 --> 00:00:31.085 Blaise Pascal francia matematikusról nevezték el, 00:00:31.085 --> 00:00:35.234 némiképp méltatlanul, mert nyilvánvalóan nem tőle származik, 00:00:35.234 --> 00:00:37.476 bár jócskán hozzátett ő is. 00:00:37.476 --> 00:00:42.270 Mi olyan figyelemre méltó benne, ami foglalkoztatja a matematikusokat? 00:00:42.270 --> 00:00:46.124 Röviden: telis-tele van sémákkal és titkokkal. 00:00:46.124 --> 00:00:49.428 Mindenekelőtt a szabály, amely alapján megalkotjuk. 00:00:49.428 --> 00:00:54.477 Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára egy-egy láthatatlan nullát képzelünk. 00:00:54.477 --> 00:00:58.592 Adjuk össze a szomszédos számpárokat, és így keletkezik a következő sor. 00:00:58.592 --> 00:01:02.066 Ezt ismételjük újra meg újra. 00:01:02.066 --> 00:01:05.784 Tovább folytatva végül valami ilyesféléhez jutunk, 00:01:05.784 --> 00:01:09.325 bár a Pascal-háromszög a végtelenségig folytatódik. 00:01:09.325 --> 00:01:14.914 Minden sor az (x+y)^n kifejezés kifejtésében szereplő 00:01:14.914 --> 00:01:18.898 binomiális együtthatóknak felel meg, 00:01:18.898 --> 00:01:21.307 -- itt az n a kérdéses sor sorszáma. 00:01:21.307 --> 00:01:23.746 A legfelső sor a nulladik. 00:01:23.746 --> 00:01:26.552 Az n=2-re kifejtve 00:01:26.552 --> 00:01:31.107 az eredmény: x² + 2xy + y² 00:01:31.107 --> 00:01:34.023 Az együtthatók, vagyis a változók előtti számok 00:01:34.023 --> 00:01:38.397 megegyeznek a Pascal-háromszög második sorában található számokkal. 00:01:38.397 --> 00:01:43.256 Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, ami kifejtve ezt adja. 00:01:43.256 --> 00:01:48.493 Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen megtalálhatjuk az együtthatókat. 00:01:48.493 --> 00:01:50.037 De ennél többet is tud. 00:01:50.037 --> 00:01:52.897 Pl. ha az egy sorban lévő számokat összeadjuk, 00:01:52.897 --> 00:01:56.039 megkapjuk egymás után a 2 hatványait. 00:01:56.039 --> 00:02:01.221 Vagy egy sorban tekintsünk minden számot a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának. 00:02:01.221 --> 00:02:07.835 Vagyis, a 2. sor (1x1) + (2x10) + (1x100). 00:02:07.835 --> 00:02:12.111 Akkor ez 121, ami 11². 00:02:12.111 --> 00:02:15.872 Nézzük meg, mi történik, ha ugyanezt tesszük a 6. sorral! 00:02:15.872 --> 00:02:25.136 Az eredmény 1 771 561, ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább. 00:02:25.136 --> 00:02:27.780 A háromszögnek mértani alkalmazása is van. 00:02:27.780 --> 00:02:29.691 Nézzük a ferde vonalakat! 00:02:29.691 --> 00:02:33.937 Az első csupa egyesből áll, a következő a pozitív egész számokból, 00:02:33.937 --> 00:02:37.026 természetes számoknak is hívjuk őket, ezek nem nagyon érdekesek. 00:02:37.026 --> 00:02:40.707 A következő vonal mentén vannak a háromszögszámok. Így nevezzük őket, 00:02:40.707 --> 00:02:42.783 mert ennyi pontból kirakhatunk 00:02:42.783 --> 00:02:46.389 egy egyenlő oldalú háromszöget. 00:02:46.389 --> 00:02:49.307 A következő vonal a tetraéderszámokat tartalmazza, 00:02:49.307 --> 00:02:54.622 mert hasonlóképpen, a gömbökből tetraédert építhetünk föl. 00:02:54.622 --> 00:02:57.996 Vagy nézzük ezt: színezzük ki a páratlan számokat! 00:02:57.996 --> 00:03:00.881 Ha a háromszög kicsi, az ábra nem nagyon mutatós, 00:03:00.881 --> 00:03:03.298 de ha több ezer sorból áll, 00:03:03.298 --> 00:03:07.439 a Sierpiński-háromszögnek nevezett fraktálhoz jutunk. 00:03:07.439 --> 00:03:10.756 Ez a háromszög nemcsak matematikai művészi alkotás, 00:03:10.756 --> 00:03:12.742 hanem nagyon hasznos, 00:03:12.742 --> 00:03:15.481 különösen a valószínűségszámításban 00:03:15.481 --> 00:03:18.356 és a kombinatorikában. 00:03:18.356 --> 00:03:20.454 Tegyük föl, hogy valaki 5 gyereket szeretne, 00:03:20.454 --> 00:03:22.270 és tudni akarja, mi a valószínűsége, 00:03:22.270 --> 00:03:26.430 hogy az álomcsaládban három lány és két fiú lesz? 00:03:26.430 --> 00:03:28.388 A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő: 00:03:28.388 --> 00:03:32.116 lány + fiú az 5. hatványon. 00:03:32.116 --> 00:03:33.660 Megnézzük az 5. sort, 00:03:33.660 --> 00:03:37.131 ahol az első szám megfelel az 5 lánynak, 00:03:37.131 --> 00:03:39.929 és az utolsó pedig az 5 fiúnak. 00:03:39.929 --> 00:03:42.692 Mi a 3. számot keressük. 00:03:42.692 --> 00:03:46.642 10 osztva a sorban lévő összes lehetőség összegével, 00:03:46.642 --> 00:03:51.490 így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk. 00:03:51.490 --> 00:03:55.316 Hányféleképpen választhatunk ki 00:03:55.316 --> 00:03:57.084 véletlenszerűen 12 barát közül 00:03:57.084 --> 00:04:00.102 egy öttagú kosárlabdacsapatot? 00:04:00.102 --> 00:04:05.062 Kombinatorikai fogalmakkal élve, ez 12 alatt az 5. 00:04:05.062 --> 00:04:07.237 és ezzel a képlettel számolható ki, 00:04:07.237 --> 00:04:11.708 vagy csupán rápillantunk a háromszög 12. sorának 6. elemére, 00:04:11.708 --> 00:04:13.383 és ott a válasz. 00:04:13.383 --> 00:04:15.079 A Pascal-háromszög mintázatai 00:04:15.079 --> 00:04:19.387 a matematika elegánsan egymásba fonódott szerkezetének ékesszóló bizonyítéka. 00:04:19.387 --> 00:04:23.271 A háromszög mind a mai napig egyre újabb és újabb titkokat tár föl. 00:04:23.271 --> 00:04:27.422 Pl. a matematikusok csak nemrég fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni 00:04:27.422 --> 00:04:30.019 az ilyen típusú polinomokra. 00:04:30.019 --> 00:04:31.758 Mi lehet a következő fölfedezés? 00:04:31.758 --> 00:04:34.097 Nos, ez tőlünk függ.