Talán egy csinosan elrendezett számkupacnak látszik,
de valójában egy matematikai ékszerdoboz.
Indiai matematikusok a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.
Iránban Hajjám-háromszög a neve,
Kínában pedig Yang Hui háromszög.
A nyugati világban többnyire Pascal-háromszögként ismeretes:
Blaise Pascal francia matematikusról nevezték el,
némiképp méltatlanul, mert nyilvánvalóan nem tőle származik,
bár jócskán hozzátett ő is.
Mi olyan figyelemre méltó benne, ami foglalkoztatja a matematikusokat?
Röviden: telis-tele van sémákkal és titkokkal.
Mindenekelőtt a szabály, amely alapján megalkotjuk.
Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.
Adjuk össze a szomszédos számpárokat, és így keletkezik a következő sor.
Ezt ismételjük újra meg újra.
Tovább folytatva végül valami ilyesféléhez jutunk,
bár a Pascal-háromszög a végtelenségig folytatódik.
Minden sor az (x+y)^n kifejezés kifejtésében szereplő
binomiális együtthatóknak felel meg,
-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.
A legfelső sor a nulladik.
Az n=2-re kifejtve
az eredmény: x² + 2xy + y²
Az együtthatók, vagyis a változók előtti számok
megegyeznek a Pascal-háromszög második sorában található számokkal.
Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, ami kifejtve ezt adja.
Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen megtalálhatjuk az együtthatókat.
De ennél többet is tud.
Pl. ha az egy sorban lévő számokat összeadjuk,
megkapjuk egymás után a 2 hatványait.
Vagy egy sorban tekintsünk minden számot a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.
Vagyis, a 2. sor (1x1) + (2x10) + (1x100).
Akkor ez 121, ami 11².
Nézzük meg, mi történik, ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!
Az eredmény 1 771 561, ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.
A háromszögnek mértani alkalmazása is van.
Nézzük a ferde vonalakat!
Az első csupa egyesből áll, a következő a pozitív egész számokból,
természetes számoknak is hívjuk őket, ezek nem nagyon érdekesek.
A következő vonal mentén vannak a háromszögszámok. Így nevezzük őket,
mert ennyi pontból kirakhatunk
egy egyenlő oldalú háromszöget.
A következő vonal a tetraéderszámokat tartalmazza,
mert hasonlóképpen, a gömbökből tetraédert építhetünk föl.
Vagy nézzük ezt: színezzük ki a páratlan számokat!
Ha a háromszög kicsi, az ábra nem nagyon mutatós,
de ha több ezer sorból áll,
a Sierpiński-háromszögnek nevezett fraktálhoz jutunk.
Ez a háromszög nemcsak matematikai művészi alkotás,
hanem nagyon hasznos,
különösen a valószínűségszámításban
és a kombinatorikában.
Tegyük föl, hogy valaki 5 gyereket szeretne,
és tudni akarja, mi a valószínűsége,
hogy az álomcsaládban három lány és két fiú lesz?
A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:
lány + fiú az 5. hatványon.
Megnézzük az 5. sort,
ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,
és az utolsó pedig az 5 fiúnak.
Mi a 3. számot keressük.
10 osztva a sorban lévő összes lehetőség összegével,
így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.
Hányféleképpen választhatunk ki
véletlenszerűen 12 barát közül
egy öttagú kosárlabdacsapatot?
Kombinatorikai fogalmakkal élve, ez 12 alatt az 5.
és ezzel a képlettel számolható ki,
vagy csupán rápillantunk a háromszög 12. sorának 6. elemére,
és ott a válasz.
A Pascal-háromszög mintázatai
a matematika elegánsan egymásba fonódott szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.
A háromszög mind a mai napig egyre újabb és újabb titkokat tár föl.
Pl. a matematikusok csak nemrég fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni
az ilyen típusú polinomokra.
Mi lehet a következő fölfedezés?
Nos, ez tőlünk függ.