Return to Video

A Pascal-háromszög titkai – Wajdi Mohamed Ratemi

  • 0:08 - 0:11
    Talán egy csinosan elrendezett
    számkupacnak látszik,
  • 0:11 - 0:15
    de valójában egy matematikai ékszerdoboz.
  • 0:15 - 0:19
    Indiai matematikusok
    a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.
  • 0:19 - 0:21
    Iránban Hajjám-háromszög a neve,
  • 0:21 - 0:24
    Kínában pedig Yang Hui háromszög.
  • 0:24 - 0:28
    A nyugati világban többnyire
    Pascal-háromszögként ismeretes:
  • 0:28 - 0:31
    Blaise Pascal francia
    matematikusról nevezték el,
  • 0:31 - 0:35
    némiképp méltatlanul, mert
    nyilvánvalóan nem tőle származik,
  • 0:35 - 0:37
    bár jócskán hozzátett ő is.
  • 0:37 - 0:42
    Mi olyan figyelemre méltó benne,
    ami foglalkoztatja a matematikusokat?
  • 0:42 - 0:46
    Röviden: telis-tele van
    sémákkal és titkokkal.
  • 0:46 - 0:49
    Mindenekelőtt a szabály,
    amely alapján megalkotjuk.
  • 0:49 - 0:54
    Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára
    egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.
  • 0:54 - 0:59
    Adjuk össze a szomszédos számpárokat,
    és így keletkezik a következő sor.
  • 0:59 - 1:02
    Ezt ismételjük újra meg újra.
  • 1:02 - 1:06
    Tovább folytatva végül
    valami ilyesféléhez jutunk,
  • 1:06 - 1:09
    bár a Pascal-háromszög
    a végtelenségig folytatódik.
  • 1:09 - 1:15
    Minden sor az (x+y)^n kifejezés
    kifejtésében szereplő
  • 1:15 - 1:19
    binomiális együtthatóknak felel meg,
  • 1:19 - 1:21
    -- itt az n a kérdéses sor sorszáma.
  • 1:21 - 1:24
    A legfelső sor a nulladik.
  • 1:24 - 1:27
    Az n=2-re kifejtve
  • 1:27 - 1:31
    az eredmény: x² + 2xy + y²
  • 1:31 - 1:34
    Az együtthatók, vagyis
    a változók előtti számok
  • 1:34 - 1:38
    megegyeznek a Pascal-háromszög
    második sorában található számokkal.
  • 1:38 - 1:43
    Ugyanezt találjuk n=3 esetén is,
    ami kifejtve ezt adja.
  • 1:43 - 1:48
    Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen
    megtalálhatjuk az együtthatókat.
  • 1:48 - 1:50
    De ennél többet is tud.
  • 1:50 - 1:53
    Pl. ha az egy sorban lévő
    számokat összeadjuk,
  • 1:53 - 1:56
    megkapjuk egymás után a 2 hatványait.
  • 1:56 - 2:01
    Vagy egy sorban tekintsünk minden számot
    a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.
  • 2:01 - 2:08
    Vagyis, a 2. sor
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:08 - 2:12
    Akkor ez 121, ami 11².
  • 2:12 - 2:16
    Nézzük meg, mi történik,
    ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!
  • 2:16 - 2:25
    Az eredmény 1 771 561,
    ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.
  • 2:25 - 2:28
    A háromszögnek mértani alkalmazása is van.
  • 2:28 - 2:30
    Nézzük a ferde vonalakat!
  • 2:30 - 2:34
    Az első csupa egyesből áll,
    a következő a pozitív egész számokból,
  • 2:34 - 2:37
    természetes számoknak is hívjuk őket,
    ezek nem nagyon érdekesek.
  • 2:37 - 2:41
    A következő vonal mentén vannak
    a háromszögszámok. Így nevezzük őket,
  • 2:41 - 2:43
    mert ennyi pontból kirakhatunk
  • 2:43 - 2:46
    egy egyenlő oldalú háromszöget.
  • 2:46 - 2:49
    A következő vonal
    a tetraéderszámokat tartalmazza,
  • 2:49 - 2:55
    mert hasonlóképpen, a gömbökből
    tetraédert építhetünk föl.
  • 2:55 - 2:58
    Vagy nézzük ezt: színezzük ki
    a páratlan számokat!
  • 2:58 - 3:01
    Ha a háromszög kicsi,
    az ábra nem nagyon mutatós,
  • 3:01 - 3:03
    de ha több ezer sorból áll,
  • 3:03 - 3:07
    a Sierpiński-háromszögnek
    nevezett fraktálhoz jutunk.
  • 3:07 - 3:11
    Ez a háromszög nemcsak
    matematikai művészi alkotás,
  • 3:11 - 3:13
    hanem nagyon hasznos,
  • 3:13 - 3:15
    különösen a valószínűségszámításban
  • 3:15 - 3:18
    és a kombinatorikában.
  • 3:18 - 3:20
    Tegyük föl,
    hogy valaki 5 gyereket szeretne,
  • 3:20 - 3:22
    és tudni akarja, mi a valószínűsége,
  • 3:22 - 3:26
    hogy az álomcsaládban
    három lány és két fiú lesz?
  • 3:26 - 3:28
    A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:
  • 3:28 - 3:32
    lány + fiú az 5. hatványon.
  • 3:32 - 3:34
    Megnézzük az 5. sort,
  • 3:34 - 3:37
    ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,
  • 3:37 - 3:40
    és az utolsó pedig az 5 fiúnak.
  • 3:40 - 3:43
    Mi a 3. számot keressük.
  • 3:43 - 3:47
    10 osztva a sorban lévő
    összes lehetőség összegével,
  • 3:47 - 3:51
    így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.
  • 3:51 - 3:55
    Hányféleképpen választhatunk ki

  • 3:55 - 3:57
    véletlenszerűen 12 barát közül
  • 3:57 - 4:00
    egy öttagú kosárlabdacsapatot?
  • 4:00 - 4:05
    Kombinatorikai fogalmakkal élve,
    ez 12 alatt az 5.
  • 4:05 - 4:07
    és ezzel a képlettel számolható ki,
  • 4:07 - 4:12
    vagy csupán rápillantunk
    a háromszög 12. sorának 6. elemére,
  • 4:12 - 4:13
    és ott a válasz.
  • 4:13 - 4:15
    A Pascal-háromszög mintázatai
  • 4:15 - 4:19
    a matematika elegánsan egymásba fonódott
    szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.
  • 4:19 - 4:23
    A háromszög mind a mai napig
    egyre újabb és újabb titkokat tár föl.
  • 4:23 - 4:27
    Pl. a matematikusok csak nemrég
    fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni
  • 4:27 - 4:30
    az ilyen típusú polinomokra.
  • 4:30 - 4:32
    Mi lehet a következő fölfedezés?
  • 4:32 - 4:34
    Nos, ez tőlünk függ.
Title:
A Pascal-háromszög titkai – Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

A teljes leckét lásd: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

A Pascal-háromszög lehet, hogy első ránézésre csupán csinosan elrendezett számkupacnak látszik, de valójában matematikai kincsesbánya. Mi olyan figyelemre méltó benne, ami foglalkoztatja a világ matematikusait? Wajdi Mohamed Ratemi bemutatja, hogy a Pascal-háromszög telis-tele van mintázatokkal és titkokkal.

Lecke: Wajdi Mohamed Ratemi, animáció: Henrik Malmgren.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Hungarian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.