Matematičke tajne Pascalovog trokuta - Wajdi Mohamed Ratemi

Pogledajte cijelu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Pascalov trokut, koji na prvi pogled izgleda samo kao uredno složen stog brojeva, zapravo je matematičko skriveno blago. Ali što u vezi njega je toliko intrigiralo matematičare diljem svijeta? Wajdi Mohamed Ratemi pokazat će kako je Pascalov trokut pun uzoraka i tajni.

Lekcija Wajdi Mohamed Ratemi, animacija Henrik Malmgren.

Ovo možda izgleda
samo kao uredno složen stog brojeva,

ali zapravo je
matematičko skriveno blago.

Indijski matematičari zvali su ga
Stepenice planine Meru.

U Iranu, to je Khayyamov trokut,

a u Kini, Yang Huijev trokut.

Većini zapadnog svijeta
poznat je kao Pascalov trokut

po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,

što je ipak malo nepravedno,
jer očito nije izmislio ništa novo,

ali ipak je i on dao svoj doprinos.

Ali zašto je toliko zaokupljao
matematičare diljem svijeta?

Ukratko,
pun je obrazaca i tajni.

Prvo i najvažnije,
uzorak koji ga generira.

Počnite s jedinicom i zamislite
nevidljive nule s obje strane jedinice.

Zbrojite po dva broja,
i generirat ćete slijedeći red.

Sada ponavljajte postupak.

Nastavite i dobit ćete
nešto poput ovog,

iako se Pascalov trokut
nastavlja u beskonačnost.

Svaki red odgovara nečemu naziva
binomni koeficijenti

raspisa (x+y)^n,

gdje je n broj reda,

ako krećemo brojiti od nule.

Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,

dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).

Koeficijenti,
ili brojevi ispred varijabli,

jednaki su brojevima u odgovarajućem
redu Pascalovog trokuta.

Isto možete vidjeti i za n=3,
što se raspisuje ovako.

Trokut je dakle brz i jednostavan način
za pronalaženje koeficijenata.

Ali to nije sve.

Na primjer, zbrojite
brojeve u svakom redu,

i dobit ćete uzastopne potencije od dva.

Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj
kao dio decimalnog zapisa.

Drugim riječima, drugi red je
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Rješenje je 121, što je 11^2.

Pogledajte što će se dogoditi
kada napravite isto u šestom redu.

Rješenje je 1 771 561,
što je 11^6, i tako dalje.

Postoje i geometrijske primjene.

Pogledajte dijagonale.

Prve dvije nisu posebno zanimljive:
samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;

poznatiji kao prirodni brojevi.

Ali brojevi u slijedećoj dijagonali
zovu se trokutasti brojevi

jer ako uzmete toliko točkica,

možete ih naslagati
u jednakostranične trokute.

Slijedeća dijagonala
ima tetraedne brojeve

jer se navedeni broj sfera
može naslagati u tetraedar.

Ili primjerice:
zasjenčajte sve neparne brojeve.

To nije posebno zanimljivo
kada je trokut mali,

ali ako se dodaje tisuće redova,

dobije se Sierpinskijev fraktal.

Ovaj trokut nije samo
matematičko umjetničko djelo.

On je i koristan,

posebice u područjima
vjerojatnosti i računanju

u području kombinatorike.

Ako primjerice želite imati
petero djece

i želite znati koja je vjerojatnost

da dobijete kako ste sanjali:
tri djevojčice i dva dječaka.

U zapisu pomoću potencije binoma,

to odgovara
djevojčici + dječaku na petu potenciju.

Pa pogledajmo peti red,

gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,

a posljednji pet dječaka.

Mi tražimo treći broj.

Deset kroz zbroj
svih mogućnosti u tom redu.

pa je to, 10/32, ili 31.25%.

Ili, ako nasumično izabirete
peteročlanu košarkašku momčad

iz skupine od 12 prijatelja,

koliko mogućih grupa
od pet osoba postoji?

Jezikom kombinatorike, ovaj problem
izražen je kao 12 povrh 5,

i računa se pomoću ove formule,

ili jednostavno možete pogledati
šesti element dvanaestog reda u trokutu

i dobit ćete odgovor.

Obrasci u Pascalovom trokutu

dokaz su elegantnog
ispreplitanja djelova matematike.

Sve njegove tajne još nisu otkrivene.

Na primjer, matematičari su nedavno
otkrili način kako ga proširiti

na ovu vrstu polinoma.

Što ćemo naći slijedeće?

To je na vama.