1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Ovo možda izgleda 
samo kao uredno složen stog brojeva,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
ali zapravo je
matematičko skriveno blago.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Indijski matematičari zvali su ga
Stepenice planine Meru.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
U Iranu, to je Khayyamov trokut,

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
a u Kini, Yang Huijev trokut.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
Većini zapadnog svijeta
poznat je kao Pascalov trokut

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
što je ipak malo nepravedno,
jer očito nije izmislio ništa novo,

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
ali ipak je i on dao svoj doprinos.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
Ali zašto je toliko zaokupljao 
matematičare diljem svijeta?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Ukratko,
pun je obrazaca i tajni.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Prvo i najvažnije, 
uzorak koji ga generira.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Počnite s jedinicom i zamislite
nevidljive nule s obje strane jedinice.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Zbrojite po dva broja,
i generirat ćete slijedeći red.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Sada ponavljajte postupak.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
Nastavite i dobit ćete
nešto poput ovog,

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
iako se Pascalov trokut
nastavlja u beskonačnost.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Svaki red odgovara nečemu naziva
binomni koeficijenti

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
raspisa (x+y)^n,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
gdje je n broj reda,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
ako krećemo brojiti od nule.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Koeficijenti,
ili brojevi ispred varijabli,

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
jednaki su brojevima u odgovarajućem
redu Pascalovog trokuta.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
Isto možete vidjeti i za n=3,
što se raspisuje ovako.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
Trokut je dakle brz i jednostavan način
za pronalaženje koeficijenata.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Ali to nije sve.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Na primjer, zbrojite
brojeve u svakom redu,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
i dobit ćete uzastopne potencije od dva.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj
kao dio decimalnog zapisa.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
Drugim riječima, drugi red je
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
Rješenje je 121, što je 11^2.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
Pogledajte što će se dogoditi
kada napravite isto u šestom redu.

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
Rješenje je 1 771 561,
što je 11^6, i tako dalje.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Postoje i geometrijske primjene.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Pogledajte dijagonale.

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
Prve dvije nisu posebno zanimljive:
samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
poznatiji kao prirodni brojevi.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Ali brojevi u slijedećoj dijagonali
zovu se trokutasti brojevi

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
jer ako uzmete toliko točkica,

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
možete ih naslagati
u jednakostranične trokute.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
Slijedeća dijagonala
ima tetraedne brojeve

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
jer se navedeni broj sfera
može naslagati u tetraedar.


45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
Ili primjerice:
zasjenčajte sve neparne brojeve.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
To nije posebno zanimljivo
kada je trokut mali,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
ali ako se dodaje tisuće redova,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
dobije se Sierpinskijev fraktal.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Ovaj trokut nije samo
matematičko umjetničko djelo.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
On je i koristan,

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
posebice u područjima
vjerojatnosti i računanju

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
u području kombinatorike.

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
Ako primjerice želite imati
petero djece

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
i želite znati koja je vjerojatnost

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
da dobijete kako ste sanjali:
tri djevojčice i dva dječaka.


56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
U zapisu pomoću potencije binoma,

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
to odgovara
djevojčici + dječaku na petu potenciju.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
Pa pogledajmo peti red,

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
a posljednji pet dječaka.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Mi tražimo treći broj.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
Deset kroz zbroj
svih mogućnosti u tom redu.

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
pa je to, 10/32, ili 31.25%.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Ili, ako nasumično izabirete
peteročlanu košarkašku momčad

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
iz skupine od 12 prijatelja,

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
koliko mogućih grupa
od pet osoba postoji?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
Jezikom kombinatorike, ovaj problem
izražen je kao 12 povrh 5,

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
i računa se pomoću ove formule,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
ili jednostavno možete pogledati
šesti element dvanaestog reda u trokutu

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
i dobit ćete odgovor.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
Obrasci u Pascalovom trokutu

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
dokaz su elegantnog 
ispreplitanja djelova matematike.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
Sve njegove tajne još nisu otkrivene.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
Na primjer, matematičari su nedavno 
otkrili način kako ga proširiti

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
na ovu vrstu polinoma.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
Što ćemo naći slijedeće?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
To je na vama.