0:00:07.603,0:00:11.000
Ovo možda izgleda [br]samo kao uredno složen stog brojeva,

0:00:11.000,0:00:14.506
ali zapravo je[br]matematičko skriveno blago.

0:00:14.506,0:00:18.654
Indijski matematičari zvali su ga[br]Stepenice planine Meru.

0:00:18.654,0:00:21.131
U Iranu, to je Khayyamov trokut,

0:00:21.131,0:00:23.738
a u Kini, Yang Huijev trokut.

0:00:23.738,0:00:28.033
Većini zapadnog svijeta[br]poznat je kao Pascalov trokut

0:00:28.033,0:00:31.085
po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,

0:00:31.085,0:00:35.234
što je ipak malo nepravedno,[br]jer očito nije izmislio ništa novo,

0:00:35.234,0:00:37.476
ali ipak je i on dao svoj doprinos.

0:00:37.476,0:00:42.270
Ali zašto je toliko zaokupljao [br]matematičare diljem svijeta?

0:00:42.270,0:00:46.124
Ukratko,[br]pun je obrazaca i tajni.

0:00:46.124,0:00:49.428
Prvo i najvažnije, [br]uzorak koji ga generira.

0:00:49.428,0:00:54.477
Počnite s jedinicom i zamislite[br]nevidljive nule s obje strane jedinice.

0:00:54.477,0:00:58.592
Zbrojite po dva broja,[br]i generirat ćete slijedeći red.

0:00:58.592,0:01:02.066
Sada ponavljajte postupak.

0:01:02.066,0:01:05.784
Nastavite i dobit ćete[br]nešto poput ovog,

0:01:05.784,0:01:09.325
iako se Pascalov trokut[br]nastavlja u beskonačnost.

0:01:09.325,0:01:14.914
Svaki red odgovara nečemu naziva[br]binomni koeficijenti

0:01:14.914,0:01:18.898
raspisa (x+y)^n,

0:01:18.898,0:01:21.307
gdje je n broj reda,

0:01:21.307,0:01:23.746
ako krećemo brojiti od nule.

0:01:23.746,0:01:26.552
Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,

0:01:26.552,0:01:31.107
dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).

0:01:31.107,0:01:34.023
Koeficijenti,[br]ili brojevi ispred varijabli,

0:01:34.023,0:01:38.397
jednaki su brojevima u odgovarajućem[br]redu Pascalovog trokuta.

0:01:38.397,0:01:43.256
Isto možete vidjeti i za n=3,[br]što se raspisuje ovako.

0:01:43.256,0:01:48.493
Trokut je dakle brz i jednostavan način[br]za pronalaženje koeficijenata.

0:01:48.493,0:01:50.037
Ali to nije sve.

0:01:50.037,0:01:52.897
Na primjer, zbrojite[br]brojeve u svakom redu,

0:01:52.897,0:01:56.039
i dobit ćete uzastopne potencije od dva.

0:01:56.039,0:02:01.221
Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj[br]kao dio decimalnog zapisa.

0:02:01.221,0:02:07.835
Drugim riječima, drugi red je[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:12.111
Rješenje je 121, što je 11^2.

0:02:12.111,0:02:15.872
Pogledajte što će se dogoditi[br]kada napravite isto u šestom redu.

0:02:15.872,0:02:25.136
Rješenje je 1 771 561,[br]što je 11^6, i tako dalje.

0:02:25.136,0:02:27.890
Postoje i geometrijske primjene.

0:02:27.890,0:02:29.691
Pogledajte dijagonale.

0:02:29.691,0:02:34.117
Prve dvije nisu posebno zanimljive:[br]samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;

0:02:34.117,0:02:36.656
poznatiji kao prirodni brojevi.

0:02:36.656,0:02:40.707
Ali brojevi u slijedećoj dijagonali[br]zovu se trokutasti brojevi

0:02:40.707,0:02:42.783
jer ako uzmete toliko točkica,

0:02:42.783,0:02:46.389
možete ih naslagati[br]u jednakostranične trokute.

0:02:46.389,0:02:49.307
Slijedeća dijagonala[br]ima tetraedne brojeve

0:02:49.307,0:02:54.622
jer se navedeni broj sfera[br]može naslagati u tetraedar.[br]

0:02:54.622,0:02:57.996
Ili primjerice:[br]zasjenčajte sve neparne brojeve.

0:02:57.996,0:03:00.881
To nije posebno zanimljivo[br]kada je trokut mali,

0:03:00.881,0:03:03.298
ali ako se dodaje tisuće redova,

0:03:03.298,0:03:07.439
dobije se Sierpinskijev fraktal.

0:03:07.439,0:03:10.756
Ovaj trokut nije samo[br]matematičko umjetničko djelo.

0:03:10.756,0:03:12.742
On je i koristan,

0:03:12.742,0:03:15.481
posebice u područjima[br]vjerojatnosti i računanju

0:03:15.481,0:03:18.566
u području kombinatorike.

0:03:18.566,0:03:20.454
Ako primjerice želite imati[br]petero djece

0:03:20.454,0:03:22.270
i želite znati koja je vjerojatnost

0:03:22.270,0:03:26.590
da dobijete kako ste sanjali:[br]tri djevojčice i dva dječaka.[br]

0:03:26.590,0:03:28.388
U zapisu pomoću potencije binoma,

0:03:28.388,0:03:32.116
to odgovara[br]djevojčici + dječaku na petu potenciju.

0:03:32.116,0:03:33.660
Pa pogledajmo peti red,

0:03:33.660,0:03:37.131
gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,

0:03:37.131,0:03:39.929
a posljednji pet dječaka.

0:03:39.929,0:03:42.692
Mi tražimo treći broj.

0:03:42.692,0:03:46.642
Deset kroz zbroj[br]svih mogućnosti u tom redu.

0:03:46.642,0:03:51.490
pa je to, 10/32, ili 31.25%.

0:03:51.490,0:03:55.316
Ili, ako nasumično izabirete[br]peteročlanu košarkašku momčad

0:03:55.316,0:03:57.084
iz skupine od 12 prijatelja,

0:03:57.084,0:04:00.102
koliko mogućih grupa[br]od pet osoba postoji?

0:04:00.102,0:04:05.062
Jezikom kombinatorike, ovaj problem[br]izražen je kao 12 povrh 5,

0:04:05.062,0:04:07.237
i računa se pomoću ove formule,

0:04:07.237,0:04:11.708
ili jednostavno možete pogledati[br]šesti element dvanaestog reda u trokutu

0:04:11.708,0:04:13.383
i dobit ćete odgovor.

0:04:13.383,0:04:15.079
Obrasci u Pascalovom trokutu

0:04:15.079,0:04:19.387
dokaz su elegantnog [br]ispreplitanja djelova matematike.

0:04:19.387,0:04:23.271
Sve njegove tajne još nisu otkrivene.

0:04:23.271,0:04:27.422
Na primjer, matematičari su nedavno [br]otkrili način kako ga proširiti

0:04:27.422,0:04:30.019
na ovu vrstu polinoma.

0:04:30.019,0:04:31.758
Što ćemo naći slijedeće?

0:04:31.758,0:04:34.097
To je na vama.