WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Ovo možda izgleda 
samo kao uredno složen stog brojeva,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
ali zapravo je
matematičko skriveno blago.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Indijski matematičari zvali su ga
Stepenice planine Meru.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
U Iranu, to je Khayyamov trokut,

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
a u Kini, Yang Huijev trokut.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
Većini zapadnog svijeta
poznat je kao Pascalov trokut

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
što je ipak malo nepravedno,
jer očito nije izmislio ništa novo,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
ali ipak je i on dao svoj doprinos.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
Ali zašto je toliko zaokupljao 
matematičare diljem svijeta?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
Ukratko,
pun je obrazaca i tajni.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Prvo i najvažnije, 
uzorak koji ga generira.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Počnite s jedinicom i zamislite
nevidljive nule s obje strane jedinice.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Zbrojite po dva broja,
i generirat ćete slijedeći red.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Sada ponavljajte postupak.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
Nastavite i dobit ćete
nešto poput ovog,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
iako se Pascalov trokut
nastavlja u beskonačnost.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Svaki red odgovara nečemu naziva
binomni koeficijenti

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
raspisa (x+y)^n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
gdje je n broj reda,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
ako krećemo brojiti od nule.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Koeficijenti,
ili brojevi ispred varijabli,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
jednaki su brojevima u odgovarajućem
redu Pascalovog trokuta.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
Isto možete vidjeti i za n=3,
što se raspisuje ovako.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
Trokut je dakle brz i jednostavan način
za pronalaženje koeficijenata.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Ali to nije sve.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Na primjer, zbrojite
brojeve u svakom redu,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
i dobit ćete uzastopne potencije od dva.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj
kao dio decimalnog zapisa.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
Drugim riječima, drugi red je
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
Rješenje je 121, što je 11^2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
Pogledajte što će se dogoditi
kada napravite isto u šestom redu.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
Rješenje je 1 771 561,
što je 11^6, i tako dalje.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Postoje i geometrijske primjene.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Pogledajte dijagonale.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
Prve dvije nisu posebno zanimljive:
samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
poznatiji kao prirodni brojevi.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Ali brojevi u slijedećoj dijagonali
zovu se trokutasti brojevi

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
jer ako uzmete toliko točkica,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
možete ih naslagati
u jednakostranične trokute.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
Slijedeća dijagonala
ima tetraedne brojeve

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
jer se navedeni broj sfera
može naslagati u tetraedar.


00:02:54.622 --> 00:02:57.996
Ili primjerice:
zasjenčajte sve neparne brojeve.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
To nije posebno zanimljivo
kada je trokut mali,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
ali ako se dodaje tisuće redova,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
dobije se Sierpinskijev fraktal.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Ovaj trokut nije samo
matematičko umjetničko djelo.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
On je i koristan,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
posebice u područjima
vjerojatnosti i računanju

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
u području kombinatorike.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
Ako primjerice želite imati
petero djece

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
i želite znati koja je vjerojatnost

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
da dobijete kako ste sanjali:
tri djevojčice i dva dječaka.


00:03:26.590 --> 00:03:28.388
U zapisu pomoću potencije binoma,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
to odgovara
djevojčici + dječaku na petu potenciju.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
Pa pogledajmo peti red,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
a posljednji pet dječaka.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
Mi tražimo treći broj.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
Deset kroz zbroj
svih mogućnosti u tom redu.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
pa je to, 10/32, ili 31.25%.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Ili, ako nasumično izabirete
peteročlanu košarkašku momčad

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
iz skupine od 12 prijatelja,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
koliko mogućih grupa
od pet osoba postoji?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
Jezikom kombinatorike, ovaj problem
izražen je kao 12 povrh 5,

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
i računa se pomoću ove formule,

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
ili jednostavno možete pogledati
šesti element dvanaestog reda u trokutu

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
i dobit ćete odgovor.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
Obrasci u Pascalovom trokutu

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
dokaz su elegantnog 
ispreplitanja djelova matematike.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
Sve njegove tajne još nisu otkrivene.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
Na primjer, matematičari su nedavno 
otkrili način kako ga proširiti

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
na ovu vrstu polinoma.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
Što ćemo naći slijedeće?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
To je na vama.