Ovo možda izgleda samo kao uredno složen stog brojeva,
ali zapravo je matematičko skriveno blago.
Indijski matematičari zvali su ga Stepenice planine Meru.
U Iranu, to je Khayyamov trokut,
a u Kini, Yang Huijev trokut.
Većini zapadnog svijeta poznat je kao Pascalov trokut
po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,
što je ipak malo nepravedno, jer očito nije izmislio ništa novo,
ali ipak je i on dao svoj doprinos.
Ali zašto je toliko zaokupljao matematičare diljem svijeta?
Ukratko, pun je obrazaca i tajni.
Prvo i najvažnije, uzorak koji ga generira.
Počnite s jedinicom i zamislite nevidljive nule s obje strane jedinice.
Zbrojite po dva broja, i generirat ćete slijedeći red.
Sada ponavljajte postupak.
Nastavite i dobit ćete nešto poput ovog,
iako se Pascalov trokut nastavlja u beskonačnost.
Svaki red odgovara nečemu naziva binomni koeficijenti
raspisa (x+y)^n,
gdje je n broj reda,
ako krećemo brojiti od nule.
Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,
dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).
Koeficijenti, ili brojevi ispred varijabli,
jednaki su brojevima u odgovarajućem redu Pascalovog trokuta.
Isto možete vidjeti i za n=3, što se raspisuje ovako.
Trokut je dakle brz i jednostavan način za pronalaženje koeficijenata.
Ali to nije sve.
Na primjer, zbrojite brojeve u svakom redu,
i dobit ćete uzastopne potencije od dva.
Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj kao dio decimalnog zapisa.
Drugim riječima, drugi red je (1x1) + (2x10) + (1x100).
Rješenje je 121, što je 11^2.
Pogledajte što će se dogoditi kada napravite isto u šestom redu.
Rješenje je 1 771 561, što je 11^6, i tako dalje.
Postoje i geometrijske primjene.
Pogledajte dijagonale.
Prve dvije nisu posebno zanimljive: samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;
poznatiji kao prirodni brojevi.
Ali brojevi u slijedećoj dijagonali zovu se trokutasti brojevi
jer ako uzmete toliko točkica,
možete ih naslagati u jednakostranične trokute.
Slijedeća dijagonala ima tetraedne brojeve
jer se navedeni broj sfera može naslagati u tetraedar.
Ili primjerice: zasjenčajte sve neparne brojeve.
To nije posebno zanimljivo kada je trokut mali,
ali ako se dodaje tisuće redova,
dobije se Sierpinskijev fraktal.
Ovaj trokut nije samo matematičko umjetničko djelo.
On je i koristan,
posebice u područjima vjerojatnosti i računanju
u području kombinatorike.
Ako primjerice želite imati petero djece
i želite znati koja je vjerojatnost
da dobijete kako ste sanjali: tri djevojčice i dva dječaka.
U zapisu pomoću potencije binoma,
to odgovara djevojčici + dječaku na petu potenciju.
Pa pogledajmo peti red,
gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,
a posljednji pet dječaka.
Mi tražimo treći broj.
Deset kroz zbroj svih mogućnosti u tom redu.
pa je to, 10/32, ili 31.25%.
Ili, ako nasumično izabirete peteročlanu košarkašku momčad
iz skupine od 12 prijatelja,
koliko mogućih grupa od pet osoba postoji?
Jezikom kombinatorike, ovaj problem izražen je kao 12 povrh 5,
i računa se pomoću ove formule,
ili jednostavno možete pogledati šesti element dvanaestog reda u trokutu
i dobit ćete odgovor.
Obrasci u Pascalovom trokutu
dokaz su elegantnog ispreplitanja djelova matematike.
Sve njegove tajne još nisu otkrivene.
Na primjer, matematičari su nedavno otkrili način kako ga proširiti
na ovu vrstu polinoma.
Što ćemo naći slijedeće?
To je na vama.