Return to Video

הסודות המתמטיים של המשולש של פסקל - וודג'י מוחמד רטמי

  • 0:08 - 0:11
    זה אולי נראה כמו ערמה
    מסודרת היטב של מספרים,
  • 0:11 - 0:15
    אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.
  • 0:15 - 0:19
    המתמטיקאים ההודים קראו לזה
    המדרגות להר מרו.
  • 0:19 - 0:21
    באירן, זה נקרא משולש קיהיים.
  • 0:21 - 0:24
    ובסין, זה משולש יאנג הוי.
  • 0:24 - 0:28
    לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל
  • 0:28 - 0:31
    על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,
  • 0:31 - 0:35
    מה שנראה לא הוגן מאחר
    שהוא בהחלט איחר למסיבה,
  • 0:35 - 0:37
    אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.
  • 0:37 - 0:42
    אז מה בנוגע לזה כל כך
    עניין את העולם המתמטי?
  • 0:42 - 0:46
    בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.
  • 0:46 - 0:49
    ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.
  • 0:49 - 0:54
    התחילו עם אחד ודמיינו אפסים
    בלתי נראים בכל צד שלו.
  • 0:54 - 0:59
    חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.
  • 0:59 - 1:02
    עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.
  • 1:02 - 1:06
    המשיכו ותקבלו משהו כזה,
  • 1:06 - 1:09
    למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.
  • 1:09 - 1:15
    עכשיו, כל שורה מתייחסת
    למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי
  • 1:15 - 1:19
    מהצורה (x+y)^ח,
  • 1:19 - 1:21
    בה n הוא מספר השורות,
  • 1:21 - 1:24
    ואנחנו מתחילים לספור מאפס.
  • 1:24 - 1:27
    אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,
  • 1:27 - 1:31
    אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).
  • 1:31 - 1:34
    המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,
  • 1:34 - 1:38
    הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.
  • 1:38 - 1:43
    אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.
  • 1:43 - 1:48
    אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה
    לחפש את כל המקדמים האלה.
  • 1:48 - 1:50
    אבל יש הרבה יותר.
  • 1:50 - 1:53
    לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,
  • 1:53 - 1:56
    ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.
  • 1:56 - 2:01
    או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר
    כחלק מהרחבה דצימלית,
  • 2:01 - 2:08
    במילים אחרות, שורה שתיים
    היא (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:08 - 2:12
    אתם מקבלים 121, שזה 2^11.
  • 2:12 - 2:16
    והביטו במה שקורה כשאתם עושים
    את אותו הדבר לשורה השישית.
  • 2:16 - 2:25
    היא מתחברת ל 1,771,561,
    שזה 6^11, וכך הלאה.
  • 2:25 - 2:28
    יש גם אפליקציות גאומטריות.
  • 2:28 - 2:30
    הביטו באלכסון.
  • 2:30 - 2:34
    השניים הראשונים לא מאוד מעניינים:
    הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,
  • 2:34 - 2:37
    שידועים גם כמספרים טבעיים.
  • 2:37 - 2:41
    אבל המספרים באלכסון הבא
    נקראים המספרים המשולשים
  • 2:41 - 2:43
    מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,
  • 2:43 - 2:46
    אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.
  • 2:46 - 2:49
    לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים
  • 2:49 - 2:55
    מפני שבדומה, אתם יכולים לערום
    מספר כזה של ספירות בטטרהדר.
  • 2:55 - 2:58
    או מה בנוגע לזה: כסו
    את כל המספרים האי זוגיים.
  • 2:58 - 3:01
    זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,
  • 3:01 - 3:03
    אבל אם תוסיפו אלפי שורות,
  • 3:03 - 3:07
    אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.
  • 3:07 - 3:11
    המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.
  • 3:11 - 3:13
    הוא גם מאוד יעיל,
  • 3:13 - 3:15
    בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים
  • 3:15 - 3:19
    בתחום של קומבינטוריקה.
  • 3:19 - 3:20
    נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,
  • 3:20 - 3:22
    והייתם רוצים לדעת את ההסתברות
  • 3:22 - 3:27
    שתהיה לכם משפחת חלום
    של שלוש בנות ושני בנים.
  • 3:27 - 3:28
    בהרחבה בינומיאלית,
  • 3:28 - 3:32
    שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.
  • 3:32 - 3:34
    אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,
  • 3:34 - 3:37
    שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,
  • 3:37 - 3:40
    והאחרון לחמישה בנים.
  • 3:40 - 3:43
    המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.
  • 3:43 - 3:47
    עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.
  • 3:47 - 3:51
    אז 10/32, או 31.25%.
  • 3:51 - 3:55
    או, אם אתם בוחרים באקראיות
    קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים
  • 3:55 - 3:57
    מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,
  • 3:57 - 4:00
    כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?
  • 4:00 - 4:05
    במונחים קומבינטוריים,
    הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,
  • 4:05 - 4:07
    ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,
  • 4:07 - 4:12
    או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי
    של שורה שתיים עשר במשולש
  • 4:12 - 4:13
    ולקבל את התשובה.
  • 4:13 - 4:15
    התבניות של משולש פסקל
  • 4:15 - 4:19
    הן עדות לאלגנטיות שארוגה
    במארג של המתמטיקה.
  • 4:19 - 4:23
    והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.
  • 4:23 - 4:27
    לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה
    גילו דרך להרחיב אותו
  • 4:27 - 4:30
    לסוגים אלה של פולינומיאלים.
  • 4:30 - 4:32
    מה אולי נמצא בהמשך?
  • 4:32 - 4:34
    ובכן, זה תלוי בכם.
Title:
הסודות המתמטיים של המשולש של פסקל - וודג'י מוחמד רטמי
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

צפו בשיעור המלא: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

המשולש של פסקל, שראשית נראה כמו ערמה מאורגנת היטב של מספרים, הוא למעשה תיבת אוצר מתמטית. אבל מה בו כל כך עניין מתמטיקאים בכל העולם? וודג'י מוחמד רטמי מראה איך המשולש של פסקל מלא בתבניות וסודות.

שיעור מאת וודג'י מוחמד רטמי, אנימציה של הנריק מלמגרן.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.