0:00:07.603,0:00:11.000
זה אולי נראה כמו ערמה[br]מסודרת היטב של מספרים,

0:00:11.000,0:00:14.506
אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.

0:00:14.506,0:00:18.654
המתמטיקאים ההודים קראו לזה[br]המדרגות להר מרו.

0:00:18.654,0:00:21.131
באירן, זה נקרא משולש קיהיים.

0:00:21.131,0:00:23.738
ובסין, זה משולש יאנג הוי.

0:00:23.738,0:00:28.033
לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל

0:00:28.033,0:00:31.085
על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,

0:00:31.085,0:00:35.234
מה שנראה לא הוגן מאחר[br]שהוא בהחלט איחר למסיבה,

0:00:35.234,0:00:37.476
אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.

0:00:37.476,0:00:42.270
אז מה בנוגע לזה כל כך[br]עניין את העולם המתמטי?

0:00:42.270,0:00:46.124
בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.

0:00:46.124,0:00:49.428
ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.

0:00:49.428,0:00:54.477
התחילו עם אחד ודמיינו אפסים[br]בלתי נראים בכל צד שלו.

0:00:54.477,0:00:58.592
חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.

0:00:58.592,0:01:02.066
עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.

0:01:02.066,0:01:05.784
המשיכו ותקבלו משהו כזה,

0:01:05.784,0:01:09.325
למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.

0:01:09.325,0:01:14.914
עכשיו, כל שורה מתייחסת[br]למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי

0:01:14.914,0:01:18.898
מהצורה (x+y)^ח,

0:01:18.898,0:01:21.307
בה n הוא מספר השורות,

0:01:21.307,0:01:23.746
ואנחנו מתחילים לספור מאפס.

0:01:23.746,0:01:26.552
אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,

0:01:26.552,0:01:31.107
אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:31.107,0:01:34.023
המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,

0:01:34.023,0:01:38.397
הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.

0:01:38.397,0:01:43.256
אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.

0:01:43.256,0:01:48.493
אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה[br]לחפש את כל המקדמים האלה.

0:01:48.493,0:01:50.037
אבל יש הרבה יותר.

0:01:50.037,0:01:52.897
לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,

0:01:52.897,0:01:56.039
ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.

0:01:56.039,0:02:01.221
או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר[br]כחלק מהרחבה דצימלית,

0:02:01.221,0:02:07.835
במילים אחרות, שורה שתיים[br]היא (1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:12.111
אתם מקבלים 121, שזה 2^11.

0:02:12.111,0:02:15.872
והביטו במה שקורה כשאתם עושים[br]את אותו הדבר לשורה השישית.

0:02:15.872,0:02:25.136
היא מתחברת ל 1,771,561,[br]שזה 6^11, וכך הלאה.

0:02:25.136,0:02:27.890
יש גם אפליקציות גאומטריות.

0:02:27.890,0:02:29.691
הביטו באלכסון.

0:02:29.691,0:02:34.117
השניים הראשונים לא מאוד מעניינים:[br]הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,

0:02:34.117,0:02:36.656
שידועים גם כמספרים טבעיים.

0:02:36.656,0:02:40.707
אבל המספרים באלכסון הבא[br]נקראים המספרים המשולשים

0:02:40.707,0:02:42.783
מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,

0:02:42.783,0:02:46.389
אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.

0:02:46.389,0:02:49.307
לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים

0:02:49.307,0:02:54.622
מפני שבדומה, אתם יכולים לערום[br]מספר כזה של ספירות בטטרהדר.

0:02:54.622,0:02:57.996
או מה בנוגע לזה: כסו[br]את כל המספרים האי זוגיים.

0:02:57.996,0:03:00.881
זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,

0:03:00.881,0:03:03.298
אבל אם תוסיפו אלפי שורות,

0:03:03.298,0:03:07.439
אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.

0:03:07.439,0:03:10.756
המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.

0:03:10.756,0:03:12.742
הוא גם מאוד יעיל,

0:03:12.742,0:03:15.481
בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים

0:03:15.481,0:03:18.566
בתחום של קומבינטוריקה.

0:03:18.566,0:03:20.454
נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,

0:03:20.454,0:03:22.270
והייתם רוצים לדעת את ההסתברות

0:03:22.270,0:03:26.590
שתהיה לכם משפחת חלום[br]של שלוש בנות ושני בנים.

0:03:26.590,0:03:28.388
בהרחבה בינומיאלית,

0:03:28.388,0:03:32.116
שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.

0:03:32.116,0:03:33.660
אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,

0:03:33.660,0:03:37.131
שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,

0:03:37.131,0:03:39.929
והאחרון לחמישה בנים.

0:03:39.929,0:03:42.692
המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.

0:03:42.692,0:03:46.642
עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.

0:03:46.642,0:03:51.490
אז 10/32, או 31.25%.

0:03:51.490,0:03:55.316
או, אם אתם בוחרים באקראיות[br]קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים

0:03:55.316,0:03:57.084
מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,

0:03:57.084,0:04:00.102
כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?

0:04:00.102,0:04:05.062
במונחים קומבינטוריים,[br]הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,

0:04:05.062,0:04:07.237
ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,

0:04:07.237,0:04:11.708
או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי[br]של שורה שתיים עשר במשולש

0:04:11.708,0:04:13.383
ולקבל את התשובה.

0:04:13.383,0:04:15.079
התבניות של משולש פסקל

0:04:15.079,0:04:19.387
הן עדות לאלגנטיות שארוגה[br]במארג של המתמטיקה.

0:04:19.387,0:04:23.271
והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.

0:04:23.271,0:04:27.422
לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה[br]גילו דרך להרחיב אותו

0:04:27.422,0:04:30.019
לסוגים אלה של פולינומיאלים.

0:04:30.019,0:04:31.758
מה אולי נמצא בהמשך?

0:04:31.758,0:04:34.097
ובכן, זה תלוי בכם.