1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
זה אולי נראה כמו ערמה
מסודרת היטב של מספרים,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
המתמטיקאים ההודים קראו לזה
המדרגות להר מרו.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
באירן, זה נקרא משולש קיהיים.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
ובסין, זה משולש יאנג הוי.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
מה שנראה לא הוגן מאחר
שהוא בהחלט איחר למסיבה,

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
אז מה בנוגע לזה כל כך
עניין את העולם המתמטי?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
התחילו עם אחד ודמיינו אפסים
בלתי נראים בכל צד שלו.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
המשיכו ותקבלו משהו כזה,

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
עכשיו, כל שורה מתייחסת
למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
מהצורה (x+y)^ח,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
בה n הוא מספר השורות,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
ואנחנו מתחילים לספור מאפס.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה
לחפש את כל המקדמים האלה.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
אבל יש הרבה יותר.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר
כחלק מהרחבה דצימלית,

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
במילים אחרות, שורה שתיים
היא (1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
אתם מקבלים 121, שזה 2^11.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
והביטו במה שקורה כשאתם עושים
את אותו הדבר לשורה השישית.

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
היא מתחברת ל 1,771,561,
שזה 6^11, וכך הלאה.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
יש גם אפליקציות גאומטריות.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
הביטו באלכסון.

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
השניים הראשונים לא מאוד מעניינים:
הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
שידועים גם כמספרים טבעיים.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
אבל המספרים באלכסון הבא
נקראים המספרים המשולשים

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
מפני שבדומה, אתם יכולים לערום
מספר כזה של ספירות בטטרהדר.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
או מה בנוגע לזה: כסו
את כל המספרים האי זוגיים.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
אבל אם תוסיפו אלפי שורות,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
הוא גם מאוד יעיל,

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
בתחום של קומבינטוריקה.

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
והייתם רוצים לדעת את ההסתברות

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
שתהיה לכם משפחת חלום
של שלוש בנות ושני בנים.

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
בהרחבה בינומיאלית,

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
והאחרון לחמישה בנים.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
אז 10/32, או 31.25%.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
או, אם אתם בוחרים באקראיות
קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
במונחים קומבינטוריים,
הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי
של שורה שתיים עשר במשולש

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
ולקבל את התשובה.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
התבניות של משולש פסקל

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
הן עדות לאלגנטיות שארוגה
במארג של המתמטיקה.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה
גילו דרך להרחיב אותו

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
לסוגים אלה של פולינומיאלים.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
מה אולי נמצא בהמשך?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
ובכן, זה תלוי בכם.