WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
זה אולי נראה כמו ערמה
מסודרת היטב של מספרים,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
המתמטיקאים ההודים קראו לזה
המדרגות להר מרו.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
באירן, זה נקרא משולש קיהיים.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
ובסין, זה משולש יאנג הוי.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
מה שנראה לא הוגן מאחר
שהוא בהחלט איחר למסיבה,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
אז מה בנוגע לזה כל כך
עניין את העולם המתמטי?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
התחילו עם אחד ודמיינו אפסים
בלתי נראים בכל צד שלו.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
המשיכו ותקבלו משהו כזה,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
עכשיו, כל שורה מתייחסת
למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
מהצורה (x+y)^ח,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
בה n הוא מספר השורות,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
ואנחנו מתחילים לספור מאפס.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה
לחפש את כל המקדמים האלה.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
אבל יש הרבה יותר.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר
כחלק מהרחבה דצימלית,

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
במילים אחרות, שורה שתיים
היא (1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
אתם מקבלים 121, שזה 2^11.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
והביטו במה שקורה כשאתם עושים
את אותו הדבר לשורה השישית.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
היא מתחברת ל 1,771,561,
שזה 6^11, וכך הלאה.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
יש גם אפליקציות גאומטריות.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
הביטו באלכסון.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
השניים הראשונים לא מאוד מעניינים:
הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
שידועים גם כמספרים טבעיים.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
אבל המספרים באלכסון הבא
נקראים המספרים המשולשים

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
מפני שבדומה, אתם יכולים לערום
מספר כזה של ספירות בטטרהדר.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
או מה בנוגע לזה: כסו
את כל המספרים האי זוגיים.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
אבל אם תוסיפו אלפי שורות,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
הוא גם מאוד יעיל,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
בתחום של קומבינטוריקה.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
והייתם רוצים לדעת את ההסתברות

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
שתהיה לכם משפחת חלום
של שלוש בנות ושני בנים.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
בהרחבה בינומיאלית,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
והאחרון לחמישה בנים.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
אז 10/32, או 31.25%.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
או, אם אתם בוחרים באקראיות
קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
במונחים קומבינטוריים,
הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי
של שורה שתיים עשר במשולש

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
ולקבל את התשובה.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
התבניות של משולש פסקל

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
הן עדות לאלגנטיות שארוגה
במארג של המתמטיקה.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה
גילו דרך להרחיב אותו

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
לסוגים אלה של פולינומיאלים.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
מה אולי נמצא בהמשך?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
ובכן, זה תלוי בכם.