Die mathematischen Geheimnisse des Pascalschen Dreiecks - Wajdi Mohamed Ratemi

Die ganze Lektion unter: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Das Pascalsche Dreieck, das zuerst eher wie ein sauber angeordneter Stapel Zahlen aussieht, ist eine mathematische Schatzkiste. Aber was fasziniert Mathematiker aus aller Welt daran so sehr? Wajdi Mohamed Ratemi zeigt die Fülle an Mustern und Geheimnissen des Pascalschen Dreiecks.

Lektion von Wajdi Mohamed Ratemi, Animation von Henrik Malmgren.

Das sieht zwar aus wie
ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,

aber es ist eine
mathematische Schatzkiste.

Indische Mathematiker nannten es
"Stufen des Berges Meru".

Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".

In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".

In der westlichen Welt ist es meist
als Pascalsches Dreieck bekannt.

Es nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal zu benennen,

scheint etwas unfair,
da er deutlich zu spät dran war;

doch er hatte noch viel beizutragen.

Was fasziniert Mathematiker
aus aller Welt also so sehr daran?

Kurz gesagt: Es ist voller
Muster und Geheimnisse.

Zunächst ist da das Muster,
nach dem es entsteht.

Beginne mit Eins und stell dir
unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.

Addiere sie paarweise
und schon bildest du die nächste Reihe.

Das wiederholst du immer wieder.

Mach weiter, bis so etwas
Ähnliches entsteht,

auch wenn sich das Pascalsche Dreieck
eigentlich unendlich fortsetzt.

Jede Zeile entspricht den sogenannten
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes

in der Form (x+y)^n,

bei dem n die Nummer der Zeile ist

und man bei Null anfängt zu zählen.

Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,

erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).

Die Koeffizienten
oder Zahlen vor den Variablen

sind dieselben wie die Zahlen
in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.

Mit n=3 passiert das Gleiche,
was dann so aussieht.

Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten
also schnell und einfach ermitteln.

Aber da ist noch viel mehr.

Zähle etwa die Zahlen
in jeder Zeile zusammen

und du erhältst nacheinander
alle Potenzen von Zwei.

Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile
als Teil einer Dezimalentwicklung.

Anders gesagt, Zeile zwei ist
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Man erhält 121, was 11^2 entspricht.

Sieh dir an, was passiert,
wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.

Die Summe ist 1.771.561,
was 11^6 entspricht, usw.

Es gibt auch geometrische Anwendungen.

Sieh die Diagonalen an.

Die ersten beiden sind eher uninteressant:

alles Einsen, dann die positiven Zahlen,

auch als natürliche Zahlen bekannt.

Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale
nennt man Dreieckszahlen.

Denn mit dieser Anzahl Punkte

lassen sie sich als
gleichseitige Dreiecke anordnen.

Die nächste Diagonale
hat vierflächige Zahlen,

weil man ebenso viele Kugeln
als Tetraeder anordnen kann.

Oder wie wäre es damit:
Markiere alle ungeraden Zahlen.

Es sieht nach wenig aus
wenn das Dreieck klein ist,

doch wenn man tausende Zeilen addiert

erhält man ein Fraktal,
das man Sierpinski-Dreieck nennt.

Dieses Dreieck ist nicht nur
ein mathematisches Kunstwerk.

Es ist vor allem sehr nützlich,

wenn es um Wahrscheinlichkeit
und Berechnungen in der Kombinatorik geht.

Sagen wir, du willst fünf Kinder
und möchtest wissen,

wie wahrscheinlich deine Traumfamilie
von drei Mädchen und zwei Jungen ist.

Beim binomischen Lehrsatz entspricht das
"Mädchen plus Junge hoch fünf".

Schauen wir uns also Zeile fünf an,

wo die erste Zahl fünf Mädchen
und die letzte fünf Jungen entspricht

Die dritte Zahl ist, was wir suchen.

Zehn geteilt durch die Summe
aller Möglichkeiten der Zeile,

also 10/32 oder 31,25%.

Oder wenn du aus einer
Gruppe von 12 Freunden

zufällig fünf Spieler
für ein Basketballteam wählst,

wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?

Auf dem Gebiet der Kombinatorik
hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"

und ließe sich mit
dieser Formel berechnen.

Oder man sieht sich das sechste Element
von Zeile zwölf des Dreiecks an

und erhält so die Antwort.

Die Muster im Pascalschen Dreieck

sind ein Beleg für die elegant
verwobenen Strukturen der Mathematik.

Und es enthüllt
bis heute neue Geheimnisse.

So haben Mathematiker
kürzlich einen Weg gefunden,

es zu dieser Art Polynome zu erweitern.

Was finden wir wohl als Nächstes?

Nun, das liegt an dir.