WEBVTT

00:00:07.513 --> 00:00:11.020
Das sieht zwar aus wie
ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,

00:00:11.020 --> 00:00:13.976
aber es ist eine
mathematische Schatzkiste.

00:00:14.506 --> 00:00:18.204
Indische Mathematiker nannten es
"Stufen des Berges Meru".

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".

00:00:23.738 --> 00:00:27.653
In der westlichen Welt ist es meist
als Pascalsches Dreieck bekannt.

00:00:28.033 --> 00:00:31.925
Es nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal zu benennen,

00:00:31.925 --> 00:00:35.234
scheint etwas unfair,
da er deutlich zu spät dran war;

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
doch er hatte noch viel beizutragen.

00:00:37.476 --> 00:00:41.850
Was fasziniert Mathematiker
aus aller Welt also so sehr daran?

00:00:42.270 --> 00:00:45.334
Kurz gesagt: Es ist voller
Muster und Geheimnisse.

00:00:46.124 --> 00:00:49.148
Zunächst ist da das Muster,
nach dem es entsteht.

00:00:49.428 --> 00:00:53.997
Beginne mit Eins und stell dir
unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.

00:00:54.477 --> 00:00:58.222
Addiere sie paarweise
und schon bildest du die nächste Reihe.

00:00:58.592 --> 00:01:01.176
Das wiederholst du immer wieder.

00:01:02.066 --> 00:01:05.084
Mach weiter, bis so etwas
Ähnliches entsteht,

00:01:05.354 --> 00:01:09.325
auch wenn sich das Pascalsche Dreieck
eigentlich unendlich fortsetzt.

00:01:09.325 --> 00:01:14.454
Jede Zeile entspricht den sogenannten
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes

00:01:14.914 --> 00:01:18.298
in der Form (x+y)^n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
bei dem n die Nummer der Zeile ist

00:01:21.307 --> 00:01:23.546
und man bei Null anfängt zu zählen.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,

00:01:26.552 --> 00:01:30.537
erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Die Koeffizienten
oder Zahlen vor den Variablen

00:01:34.023 --> 00:01:38.107
sind dieselben wie die Zahlen
in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.

00:01:38.397 --> 00:01:42.546
Mit n=3 passiert das Gleiche,
was dann so aussieht.

00:01:43.256 --> 00:01:47.943
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten
also schnell und einfach ermitteln.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Aber da ist noch viel mehr.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Zähle etwa die Zahlen
in jeder Zeile zusammen

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
und du erhältst nacheinander
alle Potenzen von Zwei.

00:01:56.039 --> 00:02:00.781
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile
als Teil einer Dezimalentwicklung.

00:02:01.221 --> 00:02:06.405
Anders gesagt, Zeile zwei ist
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:11.591
Man erhält 121, was 11^2 entspricht.

00:02:12.111 --> 00:02:15.912
Sieh dir an, was passiert,
wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.

00:02:16.352 --> 00:02:21.816
Die Summe ist 1.771.561,
was 11^6 entspricht, usw.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Es gibt auch geometrische Anwendungen.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Sieh die Diagonalen an.

00:02:29.691 --> 00:02:31.957
Die ersten beiden sind eher uninteressant:

00:02:31.957 --> 00:02:34.117
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
auch als natürliche Zahlen bekannt.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale
nennt man Dreieckszahlen.

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
Denn mit dieser Anzahl Punkte

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
lassen sie sich als
gleichseitige Dreiecke anordnen.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
Die nächste Diagonale
hat vierflächige Zahlen,

00:02:49.307 --> 00:02:54.232
weil man ebenso viele Kugeln
als Tetraeder anordnen kann.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
Oder wie wäre es damit:
Markiere alle ungeraden Zahlen.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
Es sieht nach wenig aus
wenn das Dreieck klein ist,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
doch wenn man tausende Zeilen addiert

00:03:03.298 --> 00:03:06.829
erhält man ein Fraktal,
das man Sierpinski-Dreieck nennt.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Dieses Dreieck ist nicht nur
ein mathematisches Kunstwerk.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Es ist vor allem sehr nützlich,

00:03:12.742 --> 00:03:17.771
wenn es um Wahrscheinlichkeit
und Berechnungen in der Kombinatorik geht.

00:03:18.566 --> 00:03:21.784
Sagen wir, du willst fünf Kinder
und möchtest wissen,

00:03:21.784 --> 00:03:26.250
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie
von drei Mädchen und zwei Jungen ist.

00:03:26.598 --> 00:03:31.536
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das
"Mädchen plus Junge hoch fünf".

00:03:32.116 --> 00:03:34.260
Schauen wir uns also Zeile fünf an,

00:03:34.260 --> 00:03:39.391
wo die erste Zahl fünf Mädchen
und die letzte fünf Jungen entspricht

00:03:39.929 --> 00:03:42.352
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.

00:03:42.692 --> 00:03:46.222
Zehn geteilt durch die Summe
aller Möglichkeiten der Zeile,

00:03:46.642 --> 00:03:50.500
also 10/32 oder 31,25%.

00:03:51.490 --> 00:03:54.246
Oder wenn du aus einer
Gruppe von 12 Freunden

00:03:54.246 --> 00:03:57.454
zufällig fünf Spieler
für ein Basketballteam wählst,

00:03:57.454 --> 00:04:00.102
wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?

00:04:00.102 --> 00:04:04.492
Auf dem Gebiet der Kombinatorik
hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"

00:04:04.802 --> 00:04:07.417
und ließe sich mit
dieser Formel berechnen.

00:04:07.417 --> 00:04:11.488
Oder man sieht sich das sechste Element
von Zeile zwölf des Dreiecks an

00:04:11.488 --> 00:04:13.043
und erhält so die Antwort.

00:04:13.383 --> 00:04:15.409
Die Muster im Pascalschen Dreieck

00:04:15.409 --> 00:04:19.387
sind ein Beleg für die elegant
verwobenen Strukturen der Mathematik.

00:04:19.387 --> 00:04:22.551
Und es enthüllt
bis heute neue Geheimnisse.

00:04:23.271 --> 00:04:26.762
So haben Mathematiker
kürzlich einen Weg gefunden,

00:04:26.762 --> 00:04:30.009
es zu dieser Art Polynome zu erweitern.

00:04:30.009 --> 00:04:31.798
Was finden wir wohl als Nächstes?

00:04:31.798 --> 00:04:33.477
Nun, das liegt an dir.