Das sieht zwar aus wie ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,
aber es ist eine mathematische Schatzkiste.
Indische Mathematiker nannten es "Stufen des Berges Meru".
Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".
In der westlichen Welt ist es meist als Pascalsches Dreieck bekannt.
Es nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zu benennen,
scheint etwas unfair, da er deutlich zu spät dran war;
doch er hatte noch viel beizutragen.
Was fasziniert Mathematiker aus aller Welt also so sehr daran?
Kurz gesagt: Es ist voller Muster und Geheimnisse.
Zunächst ist da das Muster, nach dem es entsteht.
Beginne mit Eins und stell dir unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.
Addiere sie paarweise und schon bildest du die nächste Reihe.
Das wiederholst du immer wieder.
Mach weiter, bis so etwas Ähnliches entsteht,
auch wenn sich das Pascalsche Dreieck eigentlich unendlich fortsetzt.
Jede Zeile entspricht den sogenannten Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes
in der Form (x+y)^n,
bei dem n die Nummer der Zeile ist
und man bei Null anfängt zu zählen.
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,
erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).
Die Koeffizienten oder Zahlen vor den Variablen
sind dieselben wie die Zahlen in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Mit n=3 passiert das Gleiche, was dann so aussieht.
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten also schnell und einfach ermitteln.
Aber da ist noch viel mehr.
Zähle etwa die Zahlen in jeder Zeile zusammen
und du erhältst nacheinander alle Potenzen von Zwei.
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile als Teil einer Dezimalentwicklung.
Anders gesagt, Zeile zwei ist (1x1) + (2x10) + (1x100).
Man erhält 121, was 11^2 entspricht.
Sieh dir an, was passiert, wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.
Die Summe ist 1.771.561, was 11^6 entspricht, usw.
Es gibt auch geometrische Anwendungen.
Sieh die Diagonalen an.
Die ersten beiden sind eher uninteressant:
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,
auch als natürliche Zahlen bekannt.
Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale nennt man Dreieckszahlen.
Denn mit dieser Anzahl Punkte
lassen sie sich als gleichseitige Dreiecke anordnen.
Die nächste Diagonale hat vierflächige Zahlen,
weil man ebenso viele Kugeln als Tetraeder anordnen kann.
Oder wie wäre es damit: Markiere alle ungeraden Zahlen.
Es sieht nach wenig aus wenn das Dreieck klein ist,
doch wenn man tausende Zeilen addiert
erhält man ein Fraktal, das man Sierpinski-Dreieck nennt.
Dieses Dreieck ist nicht nur ein mathematisches Kunstwerk.
Es ist vor allem sehr nützlich,
wenn es um Wahrscheinlichkeit und Berechnungen in der Kombinatorik geht.
Sagen wir, du willst fünf Kinder und möchtest wissen,
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie von drei Mädchen und zwei Jungen ist.
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das "Mädchen plus Junge hoch fünf".
Schauen wir uns also Zeile fünf an,
wo die erste Zahl fünf Mädchen und die letzte fünf Jungen entspricht
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.
Zehn geteilt durch die Summe aller Möglichkeiten der Zeile,
also 10/32 oder 31,25%.
Oder wenn du aus einer Gruppe von 12 Freunden
zufällig fünf Spieler für ein Basketballteam wählst,
wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?
Auf dem Gebiet der Kombinatorik hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"
und ließe sich mit dieser Formel berechnen.
Oder man sieht sich das sechste Element von Zeile zwölf des Dreiecks an
und erhält so die Antwort.
Die Muster im Pascalschen Dreieck
sind ein Beleg für die elegant verwobenen Strukturen der Mathematik.
Und es enthüllt bis heute neue Geheimnisse.
So haben Mathematiker kürzlich einen Weg gefunden,
es zu dieser Art Polynome zu erweitern.
Was finden wir wohl als Nächstes?
Nun, das liegt an dir.