1
00:00:07,513 --> 00:00:11,020
Das sieht zwar aus wie
ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,

2
00:00:11,020 --> 00:00:13,976
aber es ist eine
mathematische Schatzkiste.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,204
Indische Mathematiker nannten es
"Stufen des Berges Meru".

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".

6
00:00:23,738 --> 00:00:27,653
In der westlichen Welt ist es meist
als Pascalsches Dreieck bekannt.

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,925
Es nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal zu benennen,

8
00:00:31,925 --> 00:00:35,234
scheint etwas unfair,
da er deutlich zu spät dran war;

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
doch er hatte noch viel beizutragen.

10
00:00:37,476 --> 00:00:41,850
Was fasziniert Mathematiker
aus aller Welt also so sehr daran?

11
00:00:42,270 --> 00:00:45,334
Kurz gesagt: Es ist voller
Muster und Geheimnisse.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,148
Zunächst ist da das Muster,
nach dem es entsteht.

13
00:00:49,428 --> 00:00:53,997
Beginne mit Eins und stell dir
unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,222
Addiere sie paarweise
und schon bildest du die nächste Reihe.

15
00:00:58,592 --> 00:01:01,176
Das wiederholst du immer wieder.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,084
Mach weiter, bis so etwas
Ähnliches entsteht,

17
00:01:05,354 --> 00:01:09,325
auch wenn sich das Pascalsche Dreieck
eigentlich unendlich fortsetzt.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,454
Jede Zeile entspricht den sogenannten
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,298
in der Form (x+y)^n,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
bei dem n die Nummer der Zeile ist

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,546
und man bei Null anfängt zu zählen.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,

23
00:01:26,552 --> 00:01:30,537
erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Die Koeffizienten
oder Zahlen vor den Variablen

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,107
sind dieselben wie die Zahlen
in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.

26
00:01:38,397 --> 00:01:42,546
Mit n=3 passiert das Gleiche,
was dann so aussieht.

27
00:01:43,256 --> 00:01:47,943
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten
also schnell und einfach ermitteln.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Aber da ist noch viel mehr.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Zähle etwa die Zahlen
in jeder Zeile zusammen

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
und du erhältst nacheinander
alle Potenzen von Zwei.

31
00:01:56,039 --> 00:02:00,781
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile
als Teil einer Dezimalentwicklung.

32
00:02:01,221 --> 00:02:06,405
Anders gesagt, Zeile zwei ist
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:11,591
Man erhält 121, was 11^2 entspricht.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,912
Sieh dir an, was passiert,
wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.

35
00:02:16,352 --> 00:02:21,816
Die Summe ist 1.771.561,
was 11^6 entspricht, usw.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Es gibt auch geometrische Anwendungen.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Sieh die Diagonalen an.

38
00:02:29,691 --> 00:02:31,957
Die ersten beiden sind eher uninteressant:

39
00:02:31,957 --> 00:02:34,117
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,

40
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
auch als natürliche Zahlen bekannt.

41
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale
nennt man Dreieckszahlen.

42
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
Denn mit dieser Anzahl Punkte

43
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
lassen sie sich als
gleichseitige Dreiecke anordnen.

44
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
Die nächste Diagonale
hat vierflächige Zahlen,

45
00:02:49,307 --> 00:02:54,232
weil man ebenso viele Kugeln
als Tetraeder anordnen kann.

46
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
Oder wie wäre es damit:
Markiere alle ungeraden Zahlen.

47
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Es sieht nach wenig aus
wenn das Dreieck klein ist,

48
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
doch wenn man tausende Zeilen addiert

49
00:03:03,298 --> 00:03:06,829
erhält man ein Fraktal,
das man Sierpinski-Dreieck nennt.

50
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Dieses Dreieck ist nicht nur
ein mathematisches Kunstwerk.

51
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
Es ist vor allem sehr nützlich,

52
00:03:12,742 --> 00:03:17,771
wenn es um Wahrscheinlichkeit
und Berechnungen in der Kombinatorik geht.

53
00:03:18,566 --> 00:03:21,784
Sagen wir, du willst fünf Kinder
und möchtest wissen,

54
00:03:21,784 --> 00:03:26,250
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie
von drei Mädchen und zwei Jungen ist.

55
00:03:26,598 --> 00:03:31,536
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das
"Mädchen plus Junge hoch fünf".

56
00:03:32,116 --> 00:03:34,260
Schauen wir uns also Zeile fünf an,

57
00:03:34,260 --> 00:03:39,391
wo die erste Zahl fünf Mädchen
und die letzte fünf Jungen entspricht

58
00:03:39,929 --> 00:03:42,352
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.

59
00:03:42,692 --> 00:03:46,222
Zehn geteilt durch die Summe
aller Möglichkeiten der Zeile,

60
00:03:46,642 --> 00:03:50,500
also 10/32 oder 31,25%.

61
00:03:51,490 --> 00:03:54,246
Oder wenn du aus einer
Gruppe von 12 Freunden

62
00:03:54,246 --> 00:03:57,454
zufällig fünf Spieler
für ein Basketballteam wählst,

63
00:03:57,454 --> 00:04:00,102
wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?

64
00:04:00,102 --> 00:04:04,492
Auf dem Gebiet der Kombinatorik
hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"

65
00:04:04,802 --> 00:04:07,417
und ließe sich mit
dieser Formel berechnen.

66
00:04:07,417 --> 00:04:11,488
Oder man sieht sich das sechste Element
von Zeile zwölf des Dreiecks an

67
00:04:11,488 --> 00:04:13,043
und erhält so die Antwort.

68
00:04:13,383 --> 00:04:15,409
Die Muster im Pascalschen Dreieck

69
00:04:15,409 --> 00:04:19,387
sind ein Beleg für die elegant
verwobenen Strukturen der Mathematik.

70
00:04:19,387 --> 00:04:22,551
Und es enthüllt
bis heute neue Geheimnisse.

71
00:04:23,271 --> 00:04:26,762
So haben Mathematiker
kürzlich einen Weg gefunden,

72
00:04:26,762 --> 00:04:30,009
es zu dieser Art Polynome zu erweitern.

73
00:04:30,009 --> 00:04:31,798
Was finden wir wohl als Nächstes?

74
00:04:31,798 --> 00:04:33,477
Nun, das liegt an dir.