0:00:07.513,0:00:11.020
Das sieht zwar aus wie[br]ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,

0:00:11.020,0:00:13.976
aber es ist eine[br]mathematische Schatzkiste.

0:00:14.506,0:00:18.204
Indische Mathematiker nannten es[br]"Stufen des Berges Meru".

0:00:18.654,0:00:21.131
Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".

0:00:21.131,0:00:23.738
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".

0:00:23.738,0:00:27.653
In der westlichen Welt ist es meist[br]als Pascalsches Dreieck bekannt.

0:00:28.033,0:00:31.925
Es nach dem französischen Mathematiker[br]Blaise Pascal zu benennen,

0:00:31.925,0:00:35.234
scheint etwas unfair,[br]da er deutlich zu spät dran war;

0:00:35.234,0:00:37.476
doch er hatte noch viel beizutragen.

0:00:37.476,0:00:41.850
Was fasziniert Mathematiker[br]aus aller Welt also so sehr daran?

0:00:42.270,0:00:45.334
Kurz gesagt: Es ist voller[br]Muster und Geheimnisse.

0:00:46.124,0:00:49.148
Zunächst ist da das Muster,[br]nach dem es entsteht.

0:00:49.428,0:00:53.997
Beginne mit Eins und stell dir[br]unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.

0:00:54.477,0:00:58.222
Addiere sie paarweise[br]und schon bildest du die nächste Reihe.

0:00:58.592,0:01:01.176
Das wiederholst du immer wieder.

0:01:02.066,0:01:05.084
Mach weiter, bis so etwas[br]Ähnliches entsteht,

0:01:05.354,0:01:09.325
auch wenn sich das Pascalsche Dreieck[br]eigentlich unendlich fortsetzt.

0:01:09.325,0:01:14.454
Jede Zeile entspricht den sogenannten[br]Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes

0:01:14.914,0:01:18.298
in der Form (x+y)^n,

0:01:18.898,0:01:21.307
bei dem n die Nummer der Zeile ist

0:01:21.307,0:01:23.546
und man bei Null anfängt zu zählen.

0:01:23.746,0:01:26.552
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,

0:01:26.552,0:01:30.537
erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:31.107,0:01:34.023
Die Koeffizienten[br]oder Zahlen vor den Variablen

0:01:34.023,0:01:38.107
sind dieselben wie die Zahlen[br]in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.

0:01:38.397,0:01:42.546
Mit n=3 passiert das Gleiche,[br]was dann so aussieht.

0:01:43.256,0:01:47.943
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten[br]also schnell und einfach ermitteln.

0:01:48.493,0:01:50.037
Aber da ist noch viel mehr.

0:01:50.037,0:01:52.897
Zähle etwa die Zahlen[br]in jeder Zeile zusammen

0:01:52.897,0:01:56.039
und du erhältst nacheinander[br]alle Potenzen von Zwei.

0:01:56.039,0:02:00.781
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile[br]als Teil einer Dezimalentwicklung.

0:02:01.221,0:02:06.405
Anders gesagt, Zeile zwei ist[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:11.591
Man erhält 121, was 11^2 entspricht.

0:02:12.111,0:02:15.912
Sieh dir an, was passiert,[br]wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.

0:02:16.352,0:02:21.816
Die Summe ist 1.771.561,[br]was 11^6 entspricht, usw.

0:02:25.136,0:02:27.890
Es gibt auch geometrische Anwendungen.

0:02:27.890,0:02:29.691
Sieh die Diagonalen an.

0:02:29.691,0:02:31.957
Die ersten beiden sind eher uninteressant:

0:02:31.957,0:02:34.117
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,

0:02:34.117,0:02:36.656
auch als natürliche Zahlen bekannt.

0:02:36.656,0:02:40.707
Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale[br]nennt man Dreieckszahlen.

0:02:40.707,0:02:42.783
Denn mit dieser Anzahl Punkte

0:02:42.783,0:02:46.389
lassen sie sich als[br]gleichseitige Dreiecke anordnen.

0:02:46.389,0:02:49.307
Die nächste Diagonale[br]hat vierflächige Zahlen,

0:02:49.307,0:02:54.232
weil man ebenso viele Kugeln[br]als Tetraeder anordnen kann.

0:02:54.622,0:02:57.996
Oder wie wäre es damit:[br]Markiere alle ungeraden Zahlen.

0:02:57.996,0:03:00.881
Es sieht nach wenig aus[br]wenn das Dreieck klein ist,

0:03:00.881,0:03:03.298
doch wenn man tausende Zeilen addiert

0:03:03.298,0:03:06.829
erhält man ein Fraktal,[br]das man Sierpinski-Dreieck nennt.

0:03:07.439,0:03:10.756
Dieses Dreieck ist nicht nur[br]ein mathematisches Kunstwerk.

0:03:10.756,0:03:12.742
Es ist vor allem sehr nützlich,

0:03:12.742,0:03:17.771
wenn es um Wahrscheinlichkeit[br]und Berechnungen in der Kombinatorik geht.

0:03:18.566,0:03:21.784
Sagen wir, du willst fünf Kinder[br]und möchtest wissen,

0:03:21.784,0:03:26.250
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie[br]von drei Mädchen und zwei Jungen ist.

0:03:26.598,0:03:31.536
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das[br]"Mädchen plus Junge hoch fünf".

0:03:32.116,0:03:34.260
Schauen wir uns also Zeile fünf an,

0:03:34.260,0:03:39.391
wo die erste Zahl fünf Mädchen[br]und die letzte fünf Jungen entspricht

0:03:39.929,0:03:42.352
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.

0:03:42.692,0:03:46.222
Zehn geteilt durch die Summe[br]aller Möglichkeiten der Zeile,

0:03:46.642,0:03:50.500
also 10/32 oder 31,25%.

0:03:51.490,0:03:54.246
Oder wenn du aus einer[br]Gruppe von 12 Freunden

0:03:54.246,0:03:57.454
zufällig fünf Spieler[br]für ein Basketballteam wählst,

0:03:57.454,0:04:00.102
wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?

0:04:00.102,0:04:04.492
Auf dem Gebiet der Kombinatorik[br]hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"

0:04:04.802,0:04:07.417
und ließe sich mit[br]dieser Formel berechnen.

0:04:07.417,0:04:11.488
Oder man sieht sich das sechste Element[br]von Zeile zwölf des Dreiecks an

0:04:11.488,0:04:13.043
und erhält so die Antwort.

0:04:13.383,0:04:15.409
Die Muster im Pascalschen Dreieck

0:04:15.409,0:04:19.387
sind ein Beleg für die elegant[br]verwobenen Strukturen der Mathematik.

0:04:19.387,0:04:22.551
Und es enthüllt[br]bis heute neue Geheimnisse.

0:04:23.271,0:04:26.762
So haben Mathematiker[br]kürzlich einen Weg gefunden,

0:04:26.762,0:04:30.009
es zu dieser Art Polynome zu erweitern.

0:04:30.009,0:04:31.798
Was finden wir wohl als Nächstes?

0:04:31.798,0:04:33.477
Nun, das liegt an dir.