-
Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,
-
azaz a trigonometrikus azonosságokról.
-
Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre,
-
mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom,
-
és most már van jobb felvevő szoftverem is,
-
úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon,
-
felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is.
-
Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,
-
mert már korábban csináltam róluk videókat,
-
és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét.
-
Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa.
-
Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.
-
Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!
-
Mi van akkor, ha azt akarom tudni,
-
hogy mi a sin(a+ (-c))?
-
Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?
-
Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,
-
és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa.
-
És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk,
-
hogy a cos(-c) = cos(c) -vel,
-
A koszinusz az egy páros függvény,
-
ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve.
-
A szinusz pedig egy páratlan függvény.
-
Ezért, sin(-c) = -sinc.
-
Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent,
-
és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,
-
majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,
-
tehát a második fele a -sinc・cosa.
-
Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.
-
Elfogadható.
-
Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,
-
amelyekre szükségem lesz.
-
Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa...
-
Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!
-
Cosa・sinb...bocsánat.
-
Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket.
-
Tehát cosa・cosb - sina・sinb.
-
Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),
-
akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni,
-
a cos(-b) az csak cosb lesz,
-
és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz,
-
aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb,
-
és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb.
-
Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott,
-
és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott.
-
De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,
-
mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.
-
Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)?
-
Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)!
-
Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.
-
A második „a” az nem más mint a „b”,
-
így ez az lesz, hogy cosa・cosa - sina・sina.
-
A „b” is „a” ebben a képletben,
-
amit átírhatok úgy is, hogy cos²a,
-
mivel cosa-t szoroztuk önmagával kétszer,
-
aztán pedig -sin²a.
-
Ez pedig itt nem más, mint az azonosság.
-
A cos(2a) = cos²a - sin²a.
-
Hadd keretezzem be az azonosságokat amiket leírunk ebben a videóban!
-
Ez az, amit most mutattam meg,
-
de mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,
-
és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?
-
Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a trigonometrikus azonosságoknak,
-
ami valójában a legalapvetőbb azonosság,
-
azaz, hogy sin²a + cos²a = 1.
-
Vagy, írhatnánk úgy is,
-
– hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,–
-
írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,
-
aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba.
-
Így átírhatjuk az azonosságot úgy, hogy cos²a-sin²a,
-
és azt tudjuk, hogy a sin²a az ez itt.
-
Így az lesz a második fele, hogy mínusz,
-
–váltok is színt–,
-
tehát - (1-cos²a),
-
Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.
-
Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.
-
Ami pedig összevonva nem más...
-
Itt folytatom jobbra.
-
Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,
-
azaz 2cos²a - 1.
-
Ez mind egyenlő a cos(2a)-val.
-
Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném,
-
amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?
-
Rendezhetjük akár úgy is.
-
Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben...
-
először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság.
-
De ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához,
-
azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.
-
És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,
-
azt kapjuk, hogy cos²a =
-
átrendezhetjük itt a sorrendet, ha akarjuk,
-
tehát cos²a = ½ (1+cos2a).
-
És kész vagyunk!
-
Ez pedig még egy azonosság.
-
Cos²a – úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság” –
-
Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit?
-
Vissza ugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük,
-
hogy a sin²a= 1-cos²a,
-
vagy elindulhattunk volna a másik irányba,
-
és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból
-
és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –
-
ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,
-
azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.
-
Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,
-
és írhatnánk azt – kékkel fogom írni–, hogy cos(2a) =
-
és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,
-
azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.
-
Tehát, a cos(2a) mivel egyenlő?
-
Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,
-
így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.
-
Meg van még egy azonosság:
-
egy másik mód a cos2a kifejezésére.
-
Sok módot felfedeztünk már a cos2a kifejezésére.
-
Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,
-
akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk,
-
és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...
-
lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,
-
ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,
-
azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos2a = 1.
-
Aztán kivonunk mindkét oldalból cos2a-t,
-
és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos2a.
-
Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,
-
és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos2a).
-
Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak.
-
Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.
-
Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,
-
kivéve, hogy +cos2a van a koszinusz négyzetesben,
-
itt pedig -cos2a van a szinusz négyzetesben.
-
Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.
-
Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra.
-
Választok egy másik színt, amit még nem használtam.
-
Már majdnem mindet használtam.
-
Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,
-
hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),
-
ami nem más, mint sina・cosa +
-
és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.
-
Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.
-
Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).
-
Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,
-
úgyhogy ebből 2・sina・cosa lesz.
-
Ez kicsit egyszerűbb volt.
-
Sin2a az egyenlő ezzel.
-
Ez tehát még egy azonosság.
-
Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól,
-
de felelevenítettem mindent, ami a kalkulus feladataimhoz kellett.
-
Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt.
-
Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,
-
de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,
-
hogy el tudsz jutni az összes képlethez
-
ezekből az első azonosságokból itt fent.
-
Akár a többit is be tudnám bizonyítani,
-
az alapvető trigonometrikus függvények segítségével.