[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:03.79,Default,,0000,0000,0000,,Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,
Dialogue: 0,0:00:03.79,0:00:06.40,Default,,0000,0000,0000,,azaz a trigonometrikus azonosságokról.
Dialogue: 0,0:00:06.40,0:00:09.83,Default,,0000,0000,0000,,Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre,
Dialogue: 0,0:00:09.83,0:00:13.08,Default,,0000,0000,0000,,mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom,
Dialogue: 0,0:00:13.08,0:00:15.15,Default,,0000,0000,0000,,és most már van jobb felvevő szoftverem is,
Dialogue: 0,0:00:15.15,0:00:17.62,Default,,0000,0000,0000,,úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon,
Dialogue: 0,0:00:17.62,0:00:22.29,Default,,0000,0000,0000,,felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is.
Dialogue: 0,0:00:22.29,0:00:25.08,Default,,0000,0000,0000,,Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,
Dialogue: 0,0:00:25.08,0:00:26.85,Default,,0000,0000,0000,,mert már korábban csináltam róluk videókat,
Dialogue: 0,0:00:26.85,0:00:30.12,Default,,0000,0000,0000,,és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét.
Dialogue: 0,0:00:30.12,0:00:47.64,Default,,0000,0000,0000,,Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa.
Dialogue: 0,0:00:47.64,0:00:50.58,Default,,0000,0000,0000,,Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.
Dialogue: 0,0:00:50.58,0:00:54.12,Default,,0000,0000,0000,,Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!
Dialogue: 0,0:00:54.12,0:00:56.67,Default,,0000,0000,0000,,Mi van akkor, ha azt akarom tudni,
Dialogue: 0,0:00:56.67,0:01:01.89,Default,,0000,0000,0000,,hogy mi a sin(a+ (-c))?
Dialogue: 0,0:01:01.89,0:01:04.91,Default,,0000,0000,0000,,Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?
Dialogue: 0,0:01:04.91,0:01:07.31,Default,,0000,0000,0000,,Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,
Dialogue: 0,0:01:07.31,0:01:24.02,Default,,0000,0000,0000,,és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa.
Dialogue: 0,0:01:24.02,0:01:28.30,Default,,0000,0000,0000,,És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk,
Dialogue: 0,0:01:28.30,0:01:35.41,Default,,0000,0000,0000,,hogy a cos(-c) = cos(c) -vel,
Dialogue: 0,0:01:35.41,0:01:37.69,Default,,0000,0000,0000,,A koszinusz az egy páros függvény,
Dialogue: 0,0:01:37.69,0:01:43.42,Default,,0000,0000,0000,,ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve.
Dialogue: 0,0:01:43.42,0:01:45.24,Default,,0000,0000,0000,,A szinusz pedig egy páratlan függvény.
Dialogue: 0,0:01:45.24,0:01:53.01,Default,,0000,0000,0000,,Ezért, sin(-c) = -sinc.
Dialogue: 0,0:01:53.01,0:01:57.63,Default,,0000,0000,0000,,Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent,
Dialogue: 0,0:01:57.63,0:02:11.21,Default,,0000,0000,0000,,és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,
Dialogue: 0,0:02:11.21,0:02:16.74,Default,,0000,0000,0000,,majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,
Dialogue: 0,0:02:16.74,0:02:23.22,Default,,0000,0000,0000,,tehát a második fele a -sinc・cosa.
Dialogue: 0,0:02:23.22,0:02:27.59,Default,,0000,0000,0000,,Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.
Dialogue: 0,0:02:27.59,0:02:28.19,Default,,0000,0000,0000,,Elfogadható.
Dialogue: 0,0:02:28.19,0:02:32.48,Default,,0000,0000,0000,,Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,
Dialogue: 0,0:02:32.48,0:02:34.11,Default,,0000,0000,0000,,amelyekre szükségem lesz.
Dialogue: 0,0:02:34.11,0:02:42.10,Default,,0000,0000,0000,,Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa...
Dialogue: 0,0:02:42.10,0:02:45.39,Default,,0000,0000,0000,,Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!
Dialogue: 0,0:02:45.39,0:02:51.12,Default,,0000,0000,0000,,Cosa・sinb...bocsánat.
Dialogue: 0,0:02:51.12,0:02:53.72,Default,,0000,0000,0000,,Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket.
Dialogue: 0,0:02:53.72,0:03:03.01,Default,,0000,0000,0000,,Tehát cosa・cosb - sina・sinb.
Dialogue: 0,0:03:03.01,0:03:08.14,Default,,0000,0000,0000,,Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),
Dialogue: 0,0:03:08.14,0:03:09.89,Default,,0000,0000,0000,,akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni,
Dialogue: 0,0:03:09.89,0:03:12.76,Default,,0000,0000,0000,,a cos(-b) az csak cosb lesz,
Dialogue: 0,0:03:12.76,0:03:20.01,Default,,0000,0000,0000,,és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz,
Dialogue: 0,0:03:20.01,0:03:26.60,Default,,0000,0000,0000,,aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb,
Dialogue: 0,0:03:26.60,0:03:34.07,Default,,0000,0000,0000,,és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb.
Dialogue: 0,0:03:34.07,0:03:37.37,Default,,0000,0000,0000,,Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott,
Dialogue: 0,0:03:37.37,0:03:40.57,Default,,0000,0000,0000,,és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott.
Dialogue: 0,0:03:40.57,0:03:43.47,Default,,0000,0000,0000,,De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,
Dialogue: 0,0:03:43.47,0:03:46.75,Default,,0000,0000,0000,,mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.
Dialogue: 0,0:03:46.75,0:03:53.44,Default,,0000,0000,0000,,Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)?
Dialogue: 0,0:03:53.44,0:04:01.50,Default,,0000,0000,0000,,Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)!
Dialogue: 0,0:04:01.50,0:04:03.48,Default,,0000,0000,0000,,Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.
Dialogue: 0,0:04:03.48,0:04:05.75,Default,,0000,0000,0000,,A második „a” az nem más mint a „b”,
Dialogue: 0,0:04:05.75,0:04:18.01,Default,,0000,0000,0000,,így ez az lesz, hogy cosa・cosa - sina・sina.
Dialogue: 0,0:04:18.01,0:04:21.56,Default,,0000,0000,0000,,A „b” is „a” ebben a képletben,
Dialogue: 0,0:04:21.56,0:04:26.57,Default,,0000,0000,0000,,amit átírhatok úgy is, hogy cos²a,
Dialogue: 0,0:04:26.57,0:04:30.96,Default,,0000,0000,0000,,mivel cosa-t szoroztuk önmagával kétszer,
Dialogue: 0,0:04:30.96,0:04:34.74,Default,,0000,0000,0000,,aztán pedig -sin²a.
Dialogue: 0,0:04:34.74,0:04:37.91,Default,,0000,0000,0000,,Ez pedig itt nem más, mint az azonosság.
Dialogue: 0,0:04:37.91,0:04:42.24,Default,,0000,0000,0000,,A cos(2a) = cos²a - sin²a.
Dialogue: 0,0:04:42.24,0:04:47.41,Default,,0000,0000,0000,,Hadd keretezzem be az azonosságokat amiket leírunk ebben a videóban!
Dialogue: 0,0:04:47.41,0:04:49.78,Default,,0000,0000,0000,,Ez az, amit most mutattam meg,
Dialogue: 0,0:04:49.78,0:04:51.05,Default,,0000,0000,0000,,de mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,
Dialogue: 0,0:04:51.05,0:04:53.70,Default,,0000,0000,0000,,és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?
Dialogue: 0,0:04:53.70,0:04:58.45,Default,,0000,0000,0000,,Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a trigonometrikus azonosságoknak,
Dialogue: 0,0:04:58.45,0:05:00.74,Default,,0000,0000,0000,,ami valójában a legalapvetőbb azonosság,
Dialogue: 0,0:05:00.74,0:05:06.89,Default,,0000,0000,0000,,azaz, hogy sin²a + cos²a = 1.
Dialogue: 0,0:05:06.89,0:05:09.10,Default,,0000,0000,0000,,Vagy, írhatnánk úgy is,
Dialogue: 0,0:05:09.10,0:05:11.40,Default,,0000,0000,0000,,– hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,–
Dialogue: 0,0:05:11.40,0:05:18.67,Default,,0000,0000,0000,,írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,
Dialogue: 0,0:05:18.67,0:05:21.33,Default,,0000,0000,0000,,aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba.
Dialogue: 0,0:05:21.33,0:05:28.61,Default,,0000,0000,0000,,Így átírhatjuk az azonosságot úgy, hogy cos²a-sin²a,
Dialogue: 0,0:05:28.61,0:05:32.06,Default,,0000,0000,0000,,és azt tudjuk, hogy a sin²a az ez itt.
Dialogue: 0,0:05:32.06,0:05:33.96,Default,,0000,0000,0000,,Így az lesz a második fele, hogy mínusz,
Dialogue: 0,0:05:33.96,0:05:35.44,Default,,0000,0000,0000,,–váltok is színt–,
Dialogue: 0,0:05:35.44,0:05:39.02,Default,,0000,0000,0000,,tehát - (1-cos²a),
Dialogue: 0,0:05:39.02,0:05:42.28,Default,,0000,0000,0000,,Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.
Dialogue: 0,0:05:42.28,0:05:49.89,Default,,0000,0000,0000,,Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.
Dialogue: 0,0:05:49.89,0:05:52.27,Default,,0000,0000,0000,,Ami pedig összevonva nem más...
Dialogue: 0,0:05:52.27,0:05:54.03,Default,,0000,0000,0000,,Itt folytatom jobbra.
Dialogue: 0,0:05:54.03,0:05:57.11,Default,,0000,0000,0000,,Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,
Dialogue: 0,0:05:57.11,0:06:02.78,Default,,0000,0000,0000,,azaz 2cos²a - 1.
Dialogue: 0,0:06:02.78,0:06:08.52,Default,,0000,0000,0000,,Ez mind egyenlő a cos(2a)-val.
Dialogue: 0,0:06:08.52,0:06:11.33,Default,,0000,0000,0000,,Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném,
Dialogue: 0,0:06:11.33,0:06:13.71,Default,,0000,0000,0000,,amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?
Dialogue: 0,0:06:13.71,0:06:15.32,Default,,0000,0000,0000,,Rendezhetjük akár úgy is.
Dialogue: 0,0:06:15.32,0:06:17.93,Default,,0000,0000,0000,,Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben...
Dialogue: 0,0:06:17.93,0:06:21.46,Default,,0000,0000,0000,,először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság.
Dialogue: 0,0:06:21.46,0:06:25.92,Default,,0000,0000,0000,,De ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához,
Dialogue: 0,0:06:25.92,0:06:36.75,Default,,0000,0000,0000,,azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.
Dialogue: 0,0:06:36.75,0:06:39.26,Default,,0000,0000,0000,,És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,
Dialogue: 0,0:06:39.26,0:06:43.61,Default,,0000,0000,0000,,azt kapjuk, hogy cos²a =
Dialogue: 0,0:06:43.61,0:06:47.85,Default,,0000,0000,0000,,átrendezhetjük itt a sorrendet, ha akarjuk,
Dialogue: 0,0:06:47.85,0:06:54.48,Default,,0000,0000,0000,,tehát cos²a = ½ (1+cos2a).
Dialogue: 0,0:06:54.48,0:06:56.27,Default,,0000,0000,0000,,És kész vagyunk!
Dialogue: 0,0:06:56.27,0:06:59.57,Default,,0000,0000,0000,,Ez pedig még egy azonosság.
Dialogue: 0,0:06:59.57,0:07:07.12,Default,,0000,0000,0000,,Cos²a – úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság” –
Dialogue: 0,0:07:07.12,0:07:11.08,Default,,0000,0000,0000,,Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit?
Dialogue: 0,0:07:11.08,0:07:15.05,Default,,0000,0000,0000,,Vissza ugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük,
Dialogue: 0,0:07:15.05,0:07:17.75,Default,,0000,0000,0000,,hogy a sin²a= 1-cos²a,
Dialogue: 0,0:07:17.75,0:07:18.93,Default,,0000,0000,0000,,vagy elindulhattunk volna a másik irányba,
Dialogue: 0,0:07:18.93,0:07:22.91,Default,,0000,0000,0000,,és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból
Dialogue: 0,0:07:22.91,0:07:25.00,Default,,0000,0000,0000,,és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –
Dialogue: 0,0:07:25.00,0:07:27.57,Default,,0000,0000,0000,,ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,
Dialogue: 0,0:07:27.57,0:07:34.05,Default,,0000,0000,0000,,azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.
Dialogue: 0,0:07:34.05,0:07:36.98,Default,,0000,0000,0000,,Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,
Dialogue: 0,0:07:36.98,0:07:48.33,Default,,0000,0000,0000,,és írhatnánk azt – kékkel fogom írni–, hogy cos(2a) =
Dialogue: 0,0:07:48.33,0:07:50.75,Default,,0000,0000,0000,,és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,
Dialogue: 0,0:07:50.75,0:07:59.30,Default,,0000,0000,0000,,azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.
Dialogue: 0,0:07:59.30,0:08:05.52,Default,,0000,0000,0000,,Tehát, a cos(2a) mivel egyenlő?
Dialogue: 0,0:08:05.52,0:08:08.42,Default,,0000,0000,0000,,Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,
Dialogue: 0,0:08:08.42,0:08:13.60,Default,,0000,0000,0000,,így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.
Dialogue: 0,0:08:13.60,0:08:15.48,Default,,0000,0000,0000,,Meg van még egy azonosság:
Dialogue: 0,0:08:15.48,0:08:19.19,Default,,0000,0000,0000,,egy másik mód a cos2a kifejezésére.
Dialogue: 0,0:08:19.19,0:08:22.74,Default,,0000,0000,0000,,Sok módot felfedeztünk már a cos2a kifejezésére.
Dialogue: 0,0:08:22.74,0:08:25.47,Default,,0000,0000,0000,,Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,
Dialogue: 0,0:08:25.47,0:08:27.61,Default,,0000,0000,0000,,akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk,
Dialogue: 0,0:08:27.61,0:08:32.55,Default,,0000,0000,0000,,és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...
Dialogue: 0,0:08:32.55,0:08:36.23,Default,,0000,0000,0000,,lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,
Dialogue: 0,0:08:36.23,0:08:40.52,Default,,0000,0000,0000,,ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,
Dialogue: 0,0:08:40.52,0:08:51.15,Default,,0000,0000,0000,,azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos2a = 1.
Dialogue: 0,0:08:51.15,0:08:53.69,Default,,0000,0000,0000,,Aztán kivonunk mindkét oldalból cos2a-t,
Dialogue: 0,0:08:53.69,0:09:01.01,Default,,0000,0000,0000,,és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos2a.
Dialogue: 0,0:09:01.01,0:09:04.02,Default,,0000,0000,0000,,Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,
Dialogue: 0,0:09:04.02,0:09:12.28,Default,,0000,0000,0000,,és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos2a).
Dialogue: 0,0:09:12.28,0:09:18.60,Default,,0000,0000,0000,,Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak.
Dialogue: 0,0:09:18.60,0:09:21.07,Default,,0000,0000,0000,,Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.
Dialogue: 0,0:09:21.07,0:09:23.07,Default,,0000,0000,0000,,Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,
Dialogue: 0,0:09:23.07,0:09:26.32,Default,,0000,0000,0000,,kivéve, hogy +cos2a van a koszinusz négyzetesben,
Dialogue: 0,0:09:26.32,0:09:30.60,Default,,0000,0000,0000,,itt pedig -cos2a van a szinusz négyzetesben.
Dialogue: 0,0:09:30.60,0:09:33.44,Default,,0000,0000,0000,,Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.
Dialogue: 0,0:09:33.44,0:09:40.12,Default,,0000,0000,0000,,Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra.
Dialogue: 0,0:09:40.12,0:09:42.98,Default,,0000,0000,0000,,Választok egy másik színt, amit még nem használtam.
Dialogue: 0,0:09:42.98,0:09:44.88,Default,,0000,0000,0000,,Már majdnem mindet használtam.
Dialogue: 0,0:09:44.88,0:09:49.42,Default,,0000,0000,0000,,Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,
Dialogue: 0,0:09:49.42,0:09:54.38,Default,,0000,0000,0000,,hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),
Dialogue: 0,0:09:54.38,0:10:08.82,Default,,0000,0000,0000,,ami nem más, mint sina・cosa +
Dialogue: 0,0:10:08.82,0:10:12.60,Default,,0000,0000,0000,,és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.
Dialogue: 0,0:10:12.60,0:10:15.60,Default,,0000,0000,0000,,Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.
Dialogue: 0,0:10:15.60,0:10:19.87,Default,,0000,0000,0000,,Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).
Dialogue: 0,0:10:19.87,0:10:21.82,Default,,0000,0000,0000,,Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,
Dialogue: 0,0:10:21.82,0:10:26.37,Default,,0000,0000,0000,,úgyhogy ebből 2・sina・cosa lesz.
Dialogue: 0,0:10:26.37,0:10:27.70,Default,,0000,0000,0000,,Ez kicsit egyszerűbb volt.
Dialogue: 0,0:10:27.70,0:10:32.03,Default,,0000,0000,0000,,Sin2a az egyenlő ezzel.
Dialogue: 0,0:10:32.03,0:10:35.92,Default,,0000,0000,0000,,Ez tehát még egy azonosság.
Dialogue: 0,0:10:35.92,0:10:39.64,Default,,0000,0000,0000,,Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól,
Dialogue: 0,0:10:39.64,0:10:43.03,Default,,0000,0000,0000,,de felelevenítettem mindent, ami a kalkulus feladataimhoz kellett.
Dialogue: 0,0:10:43.03,0:10:48.22,Default,,0000,0000,0000,,Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt.
Dialogue: 0,0:10:48.22,0:10:50.83,Default,,0000,0000,0000,,Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,
Dialogue: 0,0:10:50.83,0:10:53.26,Default,,0000,0000,0000,,de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,
Dialogue: 0,0:10:53.26,0:10:55.44,Default,,0000,0000,0000,,hogy el tudsz jutni az összes képlethez
Dialogue: 0,0:10:55.44,0:11:00.25,Default,,0000,0000,0000,,ezekből az első azonosságokból itt fent.
Dialogue: 0,0:11:00.25,0:11:03.76,Default,,0000,0000,0000,,Akár a többit is be tudnám bizonyítani,
Dialogue: 0,0:11:03.76,0:11:07.00,Default,,0000,0000,0000,,az alapvető trigonometrikus függvények segítségével.