A trigonometrikus azonosságok ismétlése | Trigonometria | Khan Academy magyar

Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,

azaz a trigonometrikus azonosságokról.

Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre,

mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom,

és most már van jobb felvevő szoftverem is,

úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon,

felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is.

Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,

mert már korábban csináltam róluk videókat,

és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét.

Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa.

Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.

Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!

Mi van akkor, ha azt akarom tudni,

hogy mi a sin(a+ (-c))?

Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?

Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,

és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa.

És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk,

hogy a cos(-c) = cos(c) -vel,

A koszinusz az egy páros függvény,

ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve.

A szinusz pedig egy páratlan függvény.

Ezért, sin(-c) = -sinc.

Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent,

és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,

majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,

tehát a második fele a -sinc・cosa.

Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.

Elfogadható.

Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,

amelyekre szükségem lesz.

Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa...

Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!

Cosa・sinb...bocsánat.

Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket.

Tehát cosa・cosb - sina・sinb.

Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),

akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni,

a cos(-b) az csak cosb lesz,

és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz,

aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb,

és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb.

Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott,

és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott.

De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,

mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.

Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)?

Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)!

Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.

A második