WEBVTT 00:00:00.520 --> 00:00:03.790 Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni, 00:00:03.790 --> 00:00:06.400 azaz a trigonometrikus azonosságokról. 00:00:06.400 --> 00:00:09.830 Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre, 00:00:09.830 --> 00:00:13.077 mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom, 00:00:13.077 --> 00:00:15.150 és most már van jobb felvevő szoftverem is, 00:00:15.150 --> 00:00:17.620 úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon, 00:00:17.620 --> 00:00:22.290 felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is. 00:00:22.290 --> 00:00:25.080 Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük, 00:00:25.080 --> 00:00:26.850 mert már korábban csináltam róluk videókat, 00:00:26.850 --> 00:00:30.120 és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét. 00:00:30.120 --> 00:00:47.640 Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa. 00:00:47.640 --> 00:00:50.581 Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk. 00:00:50.581 --> 00:00:54.120 Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit! 00:00:54.120 --> 00:00:56.670 Mi van akkor, ha azt akarom tudni, 00:00:56.670 --> 00:01:01.890 hogy mi a sin(a+ (-c))? 00:01:01.890 --> 00:01:04.910 Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye? 00:01:04.910 --> 00:01:07.310 Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet, 00:01:07.310 --> 00:01:24.020 és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa. 00:01:24.020 --> 00:01:28.301 És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk, 00:01:28.301 --> 00:01:35.410 hogy a cos(-c) = cos(c) -vel, 00:01:35.410 --> 00:01:37.690 A koszinusz az egy páros függvény, 00:01:37.690 --> 00:01:43.420 ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve. 00:01:43.420 --> 00:01:45.240 A szinusz pedig egy páratlan függvény. 00:01:45.240 --> 00:01:53.010 Ezért, sin(-c) = -sinc. 00:01:53.010 --> 00:01:57.630 Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent, 00:01:57.630 --> 00:02:11.210 és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –, 00:02:11.210 --> 00:02:16.740 majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam, 00:02:16.740 --> 00:02:23.220 tehát a második fele a -sinc・cosa. 00:02:23.220 --> 00:02:27.590 Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról. 00:02:27.590 --> 00:02:28.190 Elfogadható. 00:02:28.190 --> 00:02:32.480 Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is, 00:02:32.480 --> 00:02:34.110 amelyekre szükségem lesz. 00:02:34.110 --> 00:02:42.100 Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa... 00:02:42.100 --> 00:02:45.390 Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal! 00:02:45.390 --> 00:02:51.120 Cosa・sinb...bocsánat. 00:02:51.120 --> 00:02:53.720 Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket. 00:02:53.720 --> 00:03:03.010 Tehát cosa・cosb - sina・sinb. 00:03:03.010 --> 00:03:08.140 Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b), 00:03:08.140 --> 00:03:09.890 akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni, 00:03:09.890 --> 00:03:12.760 a cos(-b) az csak cosb lesz, 00:03:12.760 --> 00:03:20.010 és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz, 00:03:20.010 --> 00:03:26.600 aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb, 00:03:26.600 --> 00:03:34.070 és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb. 00:03:34.070 --> 00:03:37.370 Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott, 00:03:37.370 --> 00:03:40.570 és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott. 00:03:40.570 --> 00:03:43.470 De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni, 00:03:43.470 --> 00:03:46.750 mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk. 00:03:46.750 --> 00:03:53.440 Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)? 00:03:53.440 --> 00:04:01.500 Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)! 00:04:01.500 --> 00:04:03.480 Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot. 00:04:03.480 --> 00:04:05.750 A második „a” az nem más mint a „b”, 00:04:05.750 --> 00:04:18.010 így ez az lesz, hogy cosa・cosa - sina・sina. 00:04:18.010 --> 00:04:21.560 A „b” is „a” ebben a képletben, 00:04:21.560 --> 00:04:26.570 amit átírhatok úgy is, hogy cos²a, 00:04:26.570 --> 00:04:30.960 mivel cosa-t szoroztuk önmagával kétszer, 00:04:30.960 --> 00:04:34.740 aztán pedig -sin²a. 00:04:34.740 --> 00:04:37.910 Ez pedig itt nem más, mint az azonosság. 00:04:37.910 --> 00:04:42.240 A cos(2a) = cos²a - sin²a. 00:04:42.240 --> 00:04:47.410 Hadd keretezzem be az azonosságokat amiket leírunk ebben a videóban! 00:04:47.410 --> 00:04:49.780 Ez az, amit most mutattam meg, 00:04:49.780 --> 00:04:51.050 de mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve, 00:04:51.050 --> 00:04:53.700 és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt? 00:04:53.700 --> 00:04:58.450 Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a trigonometrikus azonosságoknak, 00:04:58.450 --> 00:05:00.740 ami valójában a legalapvetőbb azonosság, 00:05:00.740 --> 00:05:06.890 azaz, hogy sin²a + cos²a = 1. 00:05:06.890 --> 00:05:09.103 Vagy, írhatnánk úgy is, 00:05:09.103 --> 00:05:11.400 – hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,– 00:05:11.400 --> 00:05:18.670 írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a, 00:05:18.670 --> 00:05:21.330 aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba. 00:05:21.330 --> 00:05:28.610 Így átírhatjuk az azonosságot úgy, hogy cos²a-sin²a, 00:05:28.610 --> 00:05:32.060 és azt tudjuk, hogy a sin²a az ez itt. 00:05:32.060 --> 00:05:33.960 Így az lesz a második fele, hogy mínusz, 00:05:33.960 --> 00:05:35.440 –váltok is színt–, 00:05:35.440 --> 00:05:39.020 tehát - (1-cos²a), 00:05:39.020 --> 00:05:42.280 Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére. 00:05:42.280 --> 00:05:49.890 Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a. 00:05:49.890 --> 00:05:52.270 Ami pedig összevonva nem más... 00:05:52.270 --> 00:05:54.030 Itt folytatom jobbra. 00:05:54.030 --> 00:05:57.110 Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a, 00:05:57.110 --> 00:06:02.780 azaz 2cos²a - 1. 00:06:02.780 --> 00:06:08.520 Ez mind egyenlő a cos(2a)-val. 00:06:08.520 --> 00:06:11.330 Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném, 00:06:11.330 --> 00:06:13.710 amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből? 00:06:13.710 --> 00:06:15.320 Rendezhetjük akár úgy is. 00:06:15.320 --> 00:06:17.930 Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben... 00:06:17.930 --> 00:06:21.460 először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság. 00:06:21.460 --> 00:06:25.920 De ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához, 00:06:25.920 --> 00:06:36.750 azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1. 00:06:36.750 --> 00:06:39.260 És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel, 00:06:39.260 --> 00:06:43.610 azt kapjuk, hogy cos²a = 00:06:43.610 --> 00:06:47.850 átrendezhetjük itt a sorrendet, ha akarjuk, 00:06:47.850 --> 00:06:54.480 tehát cos²a = ½ (1+cos2a). 00:06:54.480 --> 00:06:56.270 És kész vagyunk! 00:06:56.270 --> 00:06:59.570 Ez pedig még egy azonosság. 00:06:59.570 --> 00:07:07.120 Cos²a – úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság” – 00:07:07.120 --> 00:07:11.080 Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit? 00:07:11.080 --> 00:07:15.050 Vissza ugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük, 00:07:15.050 --> 00:07:17.750 hogy a sin²a= 1-cos²a, 00:07:17.750 --> 00:07:18.930 vagy elindulhattunk volna a másik irányba, 00:07:18.930 --> 00:07:22.910 és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból 00:07:22.910 --> 00:07:25.000 és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom – 00:07:25.000 --> 00:07:27.570 ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból, 00:07:27.570 --> 00:07:34.050 azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a. 00:07:34.050 --> 00:07:36.980 Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt, 00:07:36.980 --> 00:07:48.330 és írhatnánk azt – kékkel fogom írni–, hogy cos(2a) = 00:07:48.330 --> 00:07:50.750 és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt, 00:07:50.750 --> 00:07:59.297 azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a. 00:07:59.297 --> 00:08:05.525 Tehát, a cos(2a) mivel egyenlő? 00:08:05.525 --> 00:08:08.420 Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a, 00:08:08.420 --> 00:08:13.600 így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a. 00:08:13.600 --> 00:08:15.480 Meg van még egy azonosság: 00:08:15.480 --> 00:08:19.190 egy másik mód a cos2a kifejezésére. 00:08:19.190 --> 00:08:22.740 Sok módot felfedeztünk már a cos2a kifejezésére. 00:08:22.740 --> 00:08:25.467 Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni, 00:08:25.467 --> 00:08:27.610 akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk, 00:08:27.610 --> 00:08:32.554 és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak... 00:08:32.554 --> 00:08:36.230 lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk, 00:08:36.230 --> 00:08:40.520 ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t, 00:08:40.520 --> 00:08:51.150 azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos2a = 1. 00:08:51.150 --> 00:08:53.690 Aztán kivonunk mindkét oldalból cos2a-t, 00:08:53.690 --> 00:09:01.010 és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos2a. 00:09:01.010 --> 00:09:04.020 Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel, 00:09:04.020 --> 00:09:12.280 és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos2a). 00:09:12.280 --> 00:09:18.600 Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak. 00:09:18.600 --> 00:09:21.070 Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is. 00:09:21.070 --> 00:09:23.070 Ez például megegyezik a cos²a azonossággal, 00:09:23.070 --> 00:09:26.320 kivéve, hogy +cos2a van a koszinusz négyzetesben, 00:09:26.320 --> 00:09:30.600 itt pedig -cos2a van a szinusz négyzetesben. 00:09:30.600 --> 00:09:33.440 Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot. 00:09:33.440 --> 00:09:40.120 Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra. 00:09:40.120 --> 00:09:42.980 Választok egy másik színt, amit még nem használtam. 00:09:42.980 --> 00:09:44.880 Már majdnem mindet használtam. 00:09:44.880 --> 00:09:49.420 Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom, 00:09:49.420 --> 00:09:54.380 hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a), 00:09:54.380 --> 00:10:08.820 ami nem más, mint sina・cosa + 00:10:08.820 --> 00:10:12.600 és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott. 00:10:12.600 --> 00:10:15.600 Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom. 00:10:15.600 --> 00:10:19.870 Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”). 00:10:19.870 --> 00:10:21.820 Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer, 00:10:21.820 --> 00:10:26.370 úgyhogy ebből 2・sina・cosa lesz. 00:10:26.370 --> 00:10:27.700 Ez kicsit egyszerűbb volt. 00:10:27.700 --> 00:10:32.030 Sin2a az egyenlő ezzel. 00:10:32.030 --> 00:10:35.920 Ez tehát még egy azonosság. 00:10:35.920 --> 00:10:39.640 Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól, 00:10:39.640 --> 00:10:43.030 de felelevenítettem mindent, ami a kalkulus feladataimhoz kellett. 00:10:43.030 --> 00:10:48.220 Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt. 00:10:48.220 --> 00:10:50.830 Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod, 00:10:50.830 --> 00:10:53.260 de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd, 00:10:53.260 --> 00:10:55.440 hogy el tudsz jutni az összes képlethez 00:10:55.440 --> 00:11:00.250 ezekből az első azonosságokból itt fent. 00:11:00.250 --> 00:11:03.760 Akár a többit is be tudnám bizonyítani, 00:11:03.760 --> 00:11:07.000 az alapvető trigonometrikus függvények segítségével.