Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,
azaz a trigonometrikus azonosságokról.
Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre,
mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom,
és most már van jobb felvevő szoftverem is,
úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon,
felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is.
Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,
mert már korábban csináltam róluk videókat,
és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét.
Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa.
Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.
Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!
Mi van akkor, ha azt akarom tudni,
hogy mi a sin(a+ (-c))?
Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?
Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,
és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa.
És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk,
hogy a cos(-c) = cos(c) -vel,
A koszinusz az egy páros függvény,
ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve.
A szinusz pedig egy páratlan függvény.
Ezért, sin(-c) = -sinc.
Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent,
és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,
majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,
tehát a második fele a -sinc・cosa.
Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.
Elfogadható.
Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,
amelyekre szükségem lesz.
Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa...
Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!
Cosa・sinb...bocsánat.
Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket.
Tehát cosa・cosb - sina・sinb.
Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),
akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni,
a cos(-b) az csak cosb lesz,
és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz,
aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb,
és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb.
Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott,
és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott.
De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,
mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.
Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)?
Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)!
Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.
A második „a” az nem más mint a „b”,
így ez az lesz, hogy cosa・cosa - sina・sina.
A „b” is „a” ebben a képletben,
amit átírhatok úgy is, hogy cos²a,
mivel cosa-t szoroztuk önmagával kétszer,
aztán pedig -sin²a.
Ez pedig itt nem más, mint az azonosság.
A cos(2a) = cos²a - sin²a.
Hadd keretezzem be az azonosságokat amiket leírunk ebben a videóban!
Ez az, amit most mutattam meg,
de mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,
és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?
Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a trigonometrikus azonosságoknak,
ami valójában a legalapvetőbb azonosság,
azaz, hogy sin²a + cos²a = 1.
Vagy, írhatnánk úgy is,
– hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,–
írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,
aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba.
Így átírhatjuk az azonosságot úgy, hogy cos²a-sin²a,
és azt tudjuk, hogy a sin²a az ez itt.
Így az lesz a második fele, hogy mínusz,
–váltok is színt–,
tehát - (1-cos²a),
Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.
Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.
Ami pedig összevonva nem más...
Itt folytatom jobbra.
Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,
azaz 2cos²a - 1.
Ez mind egyenlő a cos(2a)-val.
Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném,
amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?
Rendezhetjük akár úgy is.
Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben...
először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság.
De ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához,
azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.
És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,
azt kapjuk, hogy cos²a =
átrendezhetjük itt a sorrendet, ha akarjuk,
tehát cos²a = ½ (1+cos2a).
És kész vagyunk!
Ez pedig még egy azonosság.
Cos²a – úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság” –
Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit?
Vissza ugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük,
hogy a sin²a= 1-cos²a,
vagy elindulhattunk volna a másik irányba,
és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból
és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –
ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,
azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.
Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,
és írhatnánk azt – kékkel fogom írni–, hogy cos(2a) =
és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,
azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.
Tehát, a cos(2a) mivel egyenlő?
Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,
így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.
Meg van még egy azonosság:
egy másik mód a cos2a kifejezésére.
Sok módot felfedeztünk már a cos2a kifejezésére.
Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,
akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk,
és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...
lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,
ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,
azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos2a = 1.
Aztán kivonunk mindkét oldalból cos2a-t,
és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos2a.
Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,
és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos2a).
Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak.
Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.
Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,
kivéve, hogy +cos2a van a koszinusz négyzetesben,
itt pedig -cos2a van a szinusz négyzetesben.
Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.
Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra.
Választok egy másik színt, amit még nem használtam.
Már majdnem mindet használtam.
Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,
hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),
ami nem más, mint sina・cosa +
és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.
Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.
Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).
Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,
úgyhogy ebből 2・sina・cosa lesz.
Ez kicsit egyszerűbb volt.
Sin2a az egyenlő ezzel.
Ez tehát még egy azonosság.
Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól,
de felelevenítettem mindent, ami a kalkulus feladataimhoz kellett.
Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt.
Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,
de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,
hogy el tudsz jutni az összes képlethez
ezekből az első azonosságokból itt fent.
Akár a többit is be tudnám bizonyítani,
az alapvető trigonometrikus függvények segítségével.