1
00:00:00,520 --> 00:00:03,790
Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,

2
00:00:03,790 --> 00:00:06,400
azaz a trigonometrikus azonosságokról.

3
00:00:06,400 --> 00:00:09,830
Azért csinálok még egyet, mert szükségem van az ismétlésre,

4
00:00:09,830 --> 00:00:13,077
mert épp olyan kalkulus feladatokon dolgoztam, amelyekhez ezt jól kellett tudnom,

5
00:00:13,077 --> 00:00:15,150
és most már van jobb felvevő szoftverem is,

6
00:00:15,150 --> 00:00:17,620
úgyhogy gondoltam „két legyet egy csapásra” alapon,

7
00:00:17,620 --> 00:00:22,290
felveszem mégegyszer a videót és így felelevenítem az anyagot az én fejemben is.

8
00:00:22,290 --> 00:00:25,080
Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,

9
00:00:25,080 --> 00:00:26,850
mert már korábban csináltam róluk videókat,

10
00:00:26,850 --> 00:00:30,120
és elég összetettek ahhoz, hogy itt most bizonyítsuk őket ismét.

11
00:00:30,120 --> 00:00:47,640
Mégpedig, hogy sin(a+b)= sina・cosb + sinb・cosa.

12
00:00:47,640 --> 00:00:50,581
Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.

13
00:00:50,581 --> 00:00:54,120
Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!

14
00:00:54,120 --> 00:00:56,670
Mi van akkor, ha azt akarom tudni,

15
00:00:56,670 --> 00:01:01,890
hogy mi a sin(a+ (-c))?

16
00:01:01,890 --> 00:01:04,910
Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?

17
00:01:04,910 --> 00:01:07,310
Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,

18
00:01:07,310 --> 00:01:24,020
és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sina・cos(-c) + sin(-c)・cosa.

19
00:01:24,020 --> 00:01:28,301
És azt már tudjuk, vagy legalábbis ezt is feltételezem ebben a videóban, hogy tudjuk,

20
00:01:28,301 --> 00:01:35,410
hogy a cos(-c) = cos(c) -vel,

21
00:01:35,410 --> 00:01:37,690
A koszinusz az egy páros függvény,

22
00:01:37,690 --> 00:01:43,420
ami felismerhető a függvény grafikonját, vagy akár az egységkört megfigyelve.

23
00:01:43,420 --> 00:01:45,240
A szinusz pedig egy páratlan függvény.

24
00:01:45,240 --> 00:01:53,010
Ezért, sin(-c) = -sinc.

25
00:01:53,010 --> 00:01:57,630
Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy újraírjuk a második sort itt fent,

26
00:01:57,630 --> 00:02:11,210
és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sina・cosc – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,

27
00:02:11,210 --> 00:02:16,740
majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,

28
00:02:16,740 --> 00:02:23,220
tehát a második fele a -sinc・cosa.

29
00:02:23,220 --> 00:02:27,590
Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk azzal, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.

30
00:02:27,590 --> 00:02:28,190
Elfogadható.

31
00:02:28,190 --> 00:02:32,480
Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,

32
00:02:32,480 --> 00:02:34,110
amelyekre szükségem lesz.

33
00:02:34,110 --> 00:02:42,100
Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cosa...

34
00:02:42,100 --> 00:02:45,390
Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!

35
00:02:45,390 --> 00:02:51,120
Cosa・sinb...bocsánat.

36
00:02:51,120 --> 00:02:53,720
Épp most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre pont összekevertem őket.

37
00:02:53,720 --> 00:03:03,010
Tehát cosa・cosb - sina・sinb.

38
00:03:03,010 --> 00:03:08,140
Ha pedig azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),

39
00:03:08,140 --> 00:03:09,890
akkor ugyan ezeket a szabályokat tudod használni,

40
00:03:09,890 --> 00:03:12,760
a cos(-b) az csak cosb lesz,

41
00:03:12,760 --> 00:03:20,010
és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cosb, így ebből cosa・cosb lesz,

42
00:03:20,010 --> 00:03:26,600
aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sinb,

43
00:03:26,600 --> 00:03:34,070
és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sina・sinb.

44
00:03:34,070 --> 00:03:37,370
Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt akkor mínusz lesz ott,

45
00:03:37,370 --> 00:03:40,570
és amikor mínusz van itt akkor plusz lesz ott.

46
00:03:40,570 --> 00:03:43,470
De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,

47
00:03:43,470 --> 00:03:46,750
mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.

48
00:03:46,750 --> 00:03:53,440
Mi lenne, ha azt az azonosságot keresném, hogy mi a cos(2a)?

49
00:03:53,440 --> 00:04:01,500
Cos(2a)? Az ugyanaz, mint a cos(a+a)!

50
00:04:01,500 --> 00:04:03,480
Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.

51
00:04:03,480 --> 00:04:05,750
A második „a” az nem más mint a „b”,

52
00:04:05,750 --> 00:04:18,010
így ez az lesz, hogy cosa・cosa - sina・sina.

53
00:04:18,010 --> 00:04:21,560
A „b” is „a” ebben a képletben,

54
00:04:21,560 --> 00:04:26,570
amit átírhatok úgy is, hogy cos²a,

55
00:04:26,570 --> 00:04:30,960
mivel cosa-t szoroztuk önmagával kétszer,

56
00:04:30,960 --> 00:04:34,740
aztán pedig -sin²a.

57
00:04:34,740 --> 00:04:37,910
Ez pedig itt nem más, mint az azonosság.

58
00:04:37,910 --> 00:04:42,240
A cos(2a) = cos²a - sin²a.

59
00:04:42,240 --> 00:04:47,410
Hadd keretezzem be az azonosságokat amiket leírunk ebben a videóban!

60
00:04:47,410 --> 00:04:49,780
Ez az, amit most mutattam meg,

61
00:04:49,780 --> 00:04:51,050
de mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,

62
00:04:51,050 --> 00:04:53,700
és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?

63
00:04:53,700 --> 00:04:58,450
Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a trigonometrikus azonosságoknak,

64
00:04:58,450 --> 00:05:00,740
ami valójában a legalapvetőbb azonosság,

65
00:05:00,740 --> 00:05:06,890
azaz, hogy sin²a + cos²a = 1.

66
00:05:06,890 --> 00:05:09,103
Vagy, írhatnánk úgy is,

67
00:05:09,103 --> 00:05:11,400
– hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,–

68
00:05:11,400 --> 00:05:18,670
írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,

69
00:05:18,670 --> 00:05:21,330
aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba.

70
00:05:21,330 --> 00:05:28,610
Így átírhatjuk az azonosságot úgy, hogy cos²a-sin²a,

71
00:05:28,610 --> 00:05:32,060
és azt tudjuk, hogy a sin²a az ez itt.

72
00:05:32,060 --> 00:05:33,960
Így az lesz a második fele, hogy mínusz,

73
00:05:33,960 --> 00:05:35,440
–váltok is színt–,

74
00:05:35,440 --> 00:05:39,020
tehát - (1-cos²a),

75
00:05:39,020 --> 00:05:42,280
Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.

76
00:05:42,280 --> 00:05:49,890
Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.

77
00:05:49,890 --> 00:05:52,270
Ami pedig összevonva nem más...

78
00:05:52,270 --> 00:05:54,030
Itt folytatom jobbra.

79
00:05:54,030 --> 00:05:57,110
Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,

80
00:05:57,110 --> 00:06:02,780
azaz 2cos²a - 1.

81
00:06:02,780 --> 00:06:08,520
Ez mind egyenlő a cos(2a)-val.

82
00:06:08,520 --> 00:06:11,330
Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném,

83
00:06:11,330 --> 00:06:13,710
amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?

84
00:06:13,710 --> 00:06:15,320
Rendezhetjük akár úgy is.

85
00:06:15,320 --> 00:06:17,930
Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben...

86
00:06:17,930 --> 00:06:21,460
először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság.

87
00:06:21,460 --> 00:06:25,920
De ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához,

88
00:06:25,920 --> 00:06:36,750
azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.

89
00:06:36,750 --> 00:06:39,260
És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,

90
00:06:39,260 --> 00:06:43,610
azt kapjuk, hogy cos²a =

91
00:06:43,610 --> 00:06:47,850
átrendezhetjük itt a sorrendet, ha akarjuk,

92
00:06:47,850 --> 00:06:54,480
tehát cos²a = ½ (1+cos2a).

93
00:06:54,480 --> 00:06:56,270
És kész vagyunk!

94
00:06:56,270 --> 00:06:59,570
Ez pedig még egy azonosság.

95
00:06:59,570 --> 00:07:07,120
Cos²a – úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság” –

96
00:07:07,120 --> 00:07:11,080
Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit?

97
00:07:11,080 --> 00:07:15,050
Vissza ugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük,

98
00:07:15,050 --> 00:07:17,750
hogy a sin²a= 1-cos²a,

99
00:07:17,750 --> 00:07:18,930
vagy elindulhattunk volna a másik irányba,

100
00:07:18,930 --> 00:07:22,910
és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból

101
00:07:22,910 --> 00:07:25,000
és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –

102
00:07:25,000 --> 00:07:27,570
ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,

103
00:07:27,570 --> 00:07:34,050
azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.

104
00:07:34,050 --> 00:07:36,980
Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,

105
00:07:36,980 --> 00:07:48,330
és írhatnánk azt – kékkel fogom írni–, hogy cos(2a) =

106
00:07:48,330 --> 00:07:50,750
és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,

107
00:07:50,750 --> 00:07:59,297
azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.

108
00:07:59,297 --> 00:08:05,525
Tehát, a cos(2a) mivel egyenlő?

109
00:08:05,525 --> 00:08:08,420
Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,

110
00:08:08,420 --> 00:08:13,600
így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.

111
00:08:13,600 --> 00:08:15,480
Meg van még egy azonosság:

112
00:08:15,480 --> 00:08:19,190
egy másik mód a cos2a kifejezésére.

113
00:08:19,190 --> 00:08:22,740
Sok módot felfedeztünk már a cos2a kifejezésére.

114
00:08:22,740 --> 00:08:25,467
Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,

115
00:08:25,467 --> 00:08:27,610
akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk,

116
00:08:27,610 --> 00:08:32,554
és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...

117
00:08:32,554 --> 00:08:36,230
lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,

118
00:08:36,230 --> 00:08:40,520
ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,

119
00:08:40,520 --> 00:08:51,150
azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos2a = 1.

120
00:08:51,150 --> 00:08:53,690
Aztán kivonunk mindkét oldalból cos2a-t,

121
00:08:53,690 --> 00:09:01,010
és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos2a.

122
00:09:01,010 --> 00:09:04,020
Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,

123
00:09:04,020 --> 00:09:12,280
és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos2a).

124
00:09:12,280 --> 00:09:18,600
Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak.

125
00:09:18,600 --> 00:09:21,070
Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.

126
00:09:21,070 --> 00:09:23,070
Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,

127
00:09:23,070 --> 00:09:26,320
kivéve, hogy +cos2a van a koszinusz négyzetesben,

128
00:09:26,320 --> 00:09:30,600
itt pedig -cos2a van a szinusz négyzetesben.

129
00:09:30,600 --> 00:09:33,440
Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.

130
00:09:33,440 --> 00:09:40,120
Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra.

131
00:09:40,120 --> 00:09:42,980
Választok egy másik színt, amit még nem használtam.

132
00:09:42,980 --> 00:09:44,880
Már majdnem mindet használtam.

133
00:09:44,880 --> 00:09:49,420
Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,

134
00:09:49,420 --> 00:09:54,380
hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),

135
00:09:54,380 --> 00:10:08,820
ami nem más, mint sina・cosa +

136
00:10:08,820 --> 00:10:12,600
és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.

137
00:10:12,600 --> 00:10:15,600
Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.

138
00:10:15,600 --> 00:10:19,870
Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).

139
00:10:19,870 --> 00:10:21,820
Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,

140
00:10:21,820 --> 00:10:26,370
úgyhogy ebből 2・sina・cosa lesz.

141
00:10:26,370 --> 00:10:27,700
Ez kicsit egyszerűbb volt.

142
00:10:27,700 --> 00:10:32,030
Sin2a az egyenlő ezzel.

143
00:10:32,030 --> 00:10:35,920
Ez tehát még egy azonosság.

144
00:10:35,920 --> 00:10:39,640
Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól,

145
00:10:39,640 --> 00:10:43,030
de felelevenítettem mindent, ami a kalkulus feladataimhoz kellett.

146
00:10:43,030 --> 00:10:48,220
Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt.

147
00:10:48,220 --> 00:10:50,830
Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,

148
00:10:50,830 --> 00:10:53,260
de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,

149
00:10:53,260 --> 00:10:55,440
hogy el tudsz jutni az összes képlethez

150
00:10:55,440 --> 00:11:00,250
ezekből az első azonosságokból itt fent.

151
00:11:00,250 --> 00:11:03,760
Akár a többit is be tudnám bizonyítani,

152
00:11:03,760 --> 00:11:07,000
az alapvető trigonometrikus függvények segítségével.