-
Vi skal lage noen ligninger som inneholder absolutte verdier.
-
La oss gjenoppfriske hva det vil si,
-
når vi tar den absolutte verdien av et tall.
-
La oss si at vi skal finne den absolutte verdien av
minus 1.
-
Vi skal spørre oss selv
-
hvor langt tallet er fra 0.
-
Vi tegner en tallinje
-
Vi tegner en tallinje
-
Dette er 0.
-
Dette er minus 1.
-
Minus 1 er 1 plass fra 0.
-
Den absolutte verdien av minus 1 er altså 1.
-
Den absolutte verdien av 1 er også 1.
1 er også 1 plass fra 0.
-
Det er også lik 1.
-
Den absolute verdien er altså,
hvor mange plasser taller er fra 0.
-
En litt enklere måte å tenke på er
-
at det alltid ender med å bli
den positive versjonen av tallet.
-
Den absolutte verdien av minus 7346 er lik 7346.
-
Det skal vi huske
-
når vi løser ligninger med absolutte verdier.
-
Vi har ligningen
-
den absolutte verdi av X minus 5 er lik 10.
-
En måte vi kan tenke på er
-
at det betyr
-
at avstanden mellom X og 5 er lik 10.
-
Hvor mange taller 10 plasser fra 5?
-
Vi kan allerede gjette løsningen.
-
Men vi gjør det systematisk.
-
I to tilfeller vil X være 10 plasser vekk fra 5.
-
Enten er X lik minus 5 eller 10.
-
Hvis det er 10,
-
får vi 10
-
når vi tar den absolutte verdien av det.
-
Når X er minus 5, blir det minus 10.
-
Når vi tar den absolutte verdien av minus 10,
-
får vi igjen 10.
-
X minus 5 kan altså være lik minus 10.
-
Både 10 og minus 5 passer som løsning på ligningen.
-
For å løse den,
-
legger vi til 5 på begge sider av erliktegnet.
-
Vi får x er lik 15.
-
Vi legger altså til 5 på begge sider av denne ligningen.
-
X er lik minus 5.
-
Vi tegner en tallinje
-
Det er altså to x-verdier som passer
som løsning på ligningen.
-
X kan være 15.
-
15 minus 5 er lik 10,
og finner vi den absolutte verdien,
-
får vi 10.
X kan også være minus 5.
-
minus 5, minus 5 erlik minus 10.
-
Tar vi den absolutte verdien av det,
får vi 10.
-
Begge tallene er akkurat
-
10 plasser fra tallet 5.
-
La oss løse en til.
-
Vi lager en ligning til.
-
Vi har ligningen
-
den absolutte verdi av X pluss 2 er lik 6.
-
Hva forteller det oss?
-
Det forteller oss
-
at x pluss 2, som står som den absolutte verdi,
kan være lik 6.
-
Det forteller oss også
-
at x pluss 2 kan være lik minus 6.
-
Hvis det blir minus 6,
-
og vi tar den absolutte verdi av det,
får vi 6.
-
X pluss 2 kan altså være lik minus 6.
-
Vi trekker fra 2 på begge sider,
-
og x kan nå være lik 4.
-
Når vi har trukket fra 2 på begge sider,
-
kan X også være lik minus 8.
-
Det er altså de to løsningene til ligningen.
-
Vi skal huske at den absolutte veriden
-
kan ses som avstanden fra 0.
-
Vi kan skrive om oppgaven
-
til den absolutte verdi av X minus, minus 2 er lik 6.
-
Vi skal altså finne ut av
-
hvilke X-verdier som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.
-
Her oppe spurte vi,
-
hvilke X-verdier som er akkurat ti plasser vekk fra 5.
-
Uansett hvilket tall vi trekker fra 5,
-
vil begge tallene være ti plasser vekk fra 5.
-
Denne spør
-
hva som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.
-
Det vil ensten være 4 eller minus 8.
-
Man kan selv prøve av tallene.
-
La oss lage en til.
-
Vi lager en i lilla.
-
Til å begynne med har vi den absolutte verdi av 4x.
-
Vi føyer til litt i oppgaven.
-
4x minus 1.
-
Den absolutte verdien av 4x minus 1
-
er lik 19.
-
Akkurat som i de forrige oppgavene
-
kan 4x minus 1 være lik 19.
-
Det kan også være lik minus 19.
-
Når vi tar den absolutte verdi av det,
-
er svaret 19 igjen.
-
4x minus 1 kan altså også være lik minus 19.
-
Nå løser vi de to ligningene.
-
Vi legger 1 til å begge sider av erliktegnet.
-
Det gjør vi på begge ligningene.
-
Her legger vi til 1 på begge sider,
og nå er 4 x lik med 20.
-
Her legger vi også til 1 på begge sider,
-
og nå er 4 x lik med minus 18.
-
Nå dividerer vi begge sider med 4,
og x er lik 5.
-
Her dividerer vi også begge sider med 4,
-
og x er lik minus 18/4,
det er det samme som minus 9/2.
-
Begge x-verdiene passer inn i ligningen.
-
Vi prøver.
-
Minus 9/2 ganer 4.
-
Det blir minus 18.
-
Minus 18, minus 1 er lik minus 19.
-
Vi tar den absolutte verdien av minus 19, og får 19.
-
Vi setter inn 5 her.
4 ganger 5 er 20.
-
20 minus 1 er 19.
-
Vi tar den absolutte verdien av det.
-
Igjen blir det 19.
-
La oss for morro skyld tenge en av dem her.
-
Vi tegner en tallinje
-
Vi vet at Y er lik med den absolutte verdien av x pluss 3.
-
Det er altså en funksjon, eller en graf,
-
som inneholder en absolutt verdi.
-
La oss tenke på to muligheter.
-
Den ene muligheten er
-
at tallet i den absolutte verdien er positiv.
-
at tallet i den absolutte verdien er positiv.
-
Vi skriver det her.
X pluss 3 er større enn 0.
-
Det er også en mulighet for at x pluss 3 er mindre enn 0.
-
Når X plus 3 er større enn 0,
-
er denen Grafen eller fuksjonen
-
det samme som y er lik x pluss 3.
-
Hvis dette er større enn 0,
-
er den absolutte verdien irrelevant.
-
I så fall er dette det samme som
-
Y er lik X pluss 3.
-
Når er X pluss 3 over 0?
-
Vi trekker fra 3 på begge sider,
og så står det
-
at X er større enn minus 3.
-
Når X er større enn minus 3,
-
vil grafen se ut som hvis det var
Y er lik X pluss 3.
-
Nå ser vi på når X pluss 3 er mindre enn 0.
-
Når tallet mellom tegnene
-
for absolutt verdi er negativt
-
kommer ligningen tl å si
-
at Y er lik den negative versjonen av X pluss 3.
-
Hvordan vet vi det?
-
Hvis vi går ut fra
-
at X pluss 3 gir et negativt tall,
-
tar vi den absolutte verdi av det,
-
Og så blir det til et positivt tall.
-
Og så blir det til et positivt tall.
-
Det er akkurat som å gange med minus 1.
-
Hvis vi tar den absolutte verdien av et negativt tall,
-
er det akkurat som å gange tallet med minus 1.
-
På den måten blir det positivt.
-
Det er situasjonen her.
-
X pluss 3, er mindre enn 0.
-
Vi trekker fra 3 på begge sider,
-
og så er X mindre enn minus 3.
-
Når X er mindre enn minus 3,
-
ser grafen sånn ut.
-
Når X er større enn minus 3,
-
ser grafen sånn ut.
-
La oss se
-
hvordan hele grafen ser ut.
-
Vi tegner aksene våres.
-
Dette er X-aksen,
og dette er Y-aksen.
-
Vi ganger det ut,
-
så vi har det i forman av ax pluss b
-
Dette er lik minus x, minus 3.
-
La oss finne ut av,
-
hvordan hele grafen ser ut.
-
Minus x minus 3.
-
Skjæringspunktet på y aksen,
er minus 3. 1,2,3.
-
Minus x betyr at grafen helder nedover.
-
Den har en negativ helding på 1.
-
Den ser sånn ut.
-
Den ser sånn ut.
-
Hvis vi sier at Y er lik 0,
-
skjærer Grafen x-aksen, der for x er minus 3.
-
Det er altså igjennom
-
dette punktet.
-
Hvis vi ikke hadde dette kravet,
-
så grafen sånn ut.
-
Dette er hvis vi ikke begrenser den
-
til et bestemt interval på X-aksen.
-
Hvordan der grafen ut?
-
La oss se.
-
Skjæringspunktet på y-aksen er 3.
-
Her.
-
Hvor skjærer Grafen x-aksen?
-
Det gjør den , når y er lik 0.
Så x er lik minus 3.
-
Det går altså også igjennom dette punktet.
-
Og heldingen er på 1.
-
Den ser cirka sånn her ut.
-
Dette er sånn som gafen ser ut.
-
Nå har vi funnet ut av at denne
funksjonen med absolutt verdi
-
ser ut som denne lilla grafen,
-
når x er mindre enn minus 3.
-
Dette er der hvor X er lik minus 3.
-
Når x er mindre enn minus 3,
-
ser grafen ut som denne lilla.
-
ser grafen ut som denne lilla.
-
Dette er når X er mindre enn minus 3.
-
Når x er større enn minus 3,
-
ser funksjonen ut som den grønne grafen.
-
Den ser sånn ut.
-
Grafen ligner altså en underlig V.
-
Når X er større enn minus 3,
er denne positiv.
-
Heldingen er positiv.
-
Når X er mindre enn minus 3,
-
tar vi i virkeligheten den negative funksjonen.
-
Heldingen er negativ.
-
Funksjonen er altså formet som en v,
-
og når den er det betyr det
-
at det er en funksjon med en absolutt verdi.
