1
00:00:00,590 --> 00:00:03,880
Vi skal lage noen ligninger som inneholder absolutte verdier.

2
00:00:03,880 --> 00:00:05,119
La oss gjenoppfriske hva det vil si,

3
00:00:05,119 --> 00:00:07,650
når vi tar den absolutte verdien av et tall.

4
00:00:07,650 --> 00:00:10,680
La oss si at vi skal finne den absolutte verdien av 
minus 1.

5
00:00:10,680 --> 00:00:12,263
Vi skal spørre oss selv

6
00:00:12,263 --> 00:00:16,090
hvor langt tallet er fra 0.

7
00:00:16,090 --> 00:00:20,620
Vi tegner en tallinje

8
00:00:20,620 --> 00:00:23,310
Vi tegner en tallinje

9
00:00:23,310 --> 00:00:26,230
Dette er 0.

10
00:00:26,230 --> 00:00:28,470
Dette er minus 1.

11
00:00:28,470 --> 00:00:30,230
Minus 1 er 1 plass fra 0.

12
00:00:30,230 --> 00:00:33,250
Den absolutte verdien av minus 1 er altså 1.

13
00:00:33,250 --> 00:00:38,850
Den absolutte verdien av 1 er også 1.
1 er også 1 plass fra 0.

14
00:00:38,850 --> 00:00:40,610
Det er også lik 1.

15
00:00:40,610 --> 00:00:43,500
Den absolute verdien er altså,
hvor mange plasser taller er fra 0.

16
00:00:43,500 --> 00:00:45,587
En litt enklere måte å tenke på er

17
00:00:45,587 --> 00:00:48,600
at det alltid ender med å bli
den positive versjonen av tallet.

18
00:00:48,600 --> 00:00:59,360
Den absolutte verdien av minus 7346 er lik 7346.

19
00:00:59,360 --> 00:01:00,779
Det skal vi huske

20
00:01:00,779 --> 00:01:05,050
når vi løser ligninger med absolutte verdier.

21
00:01:05,050 --> 00:01:06,675
Vi har ligningen

22
00:01:06,675 --> 00:01:14,500
den absolutte verdi av X minus 5 er lik 10.

23
00:01:14,500 --> 00:01:15,895
En måte vi kan tenke på er

24
00:01:15,895 --> 00:01:18,161
at det betyr

25
00:01:18,161 --> 00:01:23,120
at avstanden mellom X og 5 er lik 10.

26
00:01:23,120 --> 00:01:26,750
Hvor mange taller 10 plasser fra 5?

27
00:01:26,750 --> 00:01:29,430
Vi kan allerede gjette løsningen.

28
00:01:29,430 --> 00:01:31,960
Men vi gjør det systematisk.

29
00:01:31,960 --> 00:01:36,510
I to tilfeller vil X være 10 plasser vekk fra 5.

30
00:01:36,510 --> 00:01:41,800
Enten er X lik minus 5 eller 10.

31
00:01:41,800 --> 00:01:44,630
Hvis det er 10,

32
00:01:44,630 --> 00:01:46,610
får vi 10

33
00:01:46,610 --> 00:01:48,380
når vi tar den absolutte verdien av det.

34
00:01:48,380 --> 00:01:53,130
Når X er minus 5, blir det minus 10.

35
00:01:53,130 --> 00:01:58,700
Når vi tar den absolutte verdien av minus 10,

36
00:01:58,700 --> 00:01:59,950
får vi igjen 10.

37
00:01:59,950 --> 00:02:04,280
X minus 5 kan altså være lik minus 10.

38
00:02:04,280 --> 00:02:07,730
Både 10 og minus 5 passer som løsning på ligningen.

39
00:02:07,730 --> 00:02:08,958
For å løse den,

40
00:02:08,958 --> 00:02:11,500
legger vi til 5 på begge sider av erliktegnet.

41
00:02:11,500 --> 00:02:14,160
Vi får x er lik 15.

42
00:02:14,160 --> 00:02:17,830
Vi legger altså til 5 på begge sider av denne ligningen.

43
00:02:17,830 --> 00:02:20,900
X er lik minus 5.

44
00:02:20,900 --> 00:02:21,963
Vi tegner en tallinje

45
00:02:21,963 --> 00:02:24,910
Det er altså to x-verdier som passer 
som løsning på ligningen.

46
00:02:24,910 --> 00:02:26,890
X kan være 15.

47
00:02:26,890 --> 00:02:29,502
15 minus 5 er lik 10, 
og finner vi den absolutte verdien,

48
00:02:29,502 --> 00:02:32,690
får vi 10.
X kan også være minus 5.

49
00:02:32,690 --> 00:02:36,060
minus 5, minus 5 erlik minus 10.

50
00:02:36,060 --> 00:02:39,020
Tar vi den absolutte verdien av det,
får vi 10.

51
00:02:39,020 --> 00:02:41,632
Begge tallene er akkurat

52
00:02:41,632 --> 00:02:45,750
10 plasser fra tallet 5.

53
00:02:45,750 --> 00:02:48,050
La oss løse en til.

54
00:02:48,050 --> 00:02:51,130
Vi lager en ligning til.

55
00:02:51,130 --> 00:02:52,182
Vi har ligningen

56
00:02:52,182 --> 00:02:58,580
den absolutte verdi av X pluss 2 er lik 6.

57
00:02:58,580 --> 00:02:59,610
Hva forteller det oss?

58
00:02:59,610 --> 00:03:03,132
Det forteller oss

59
00:03:03,132 --> 00:03:07,030
at x pluss 2, som står som den absolutte verdi,
kan være lik 6.

60
00:03:07,030 --> 00:03:10,380
Det forteller oss også

61
00:03:10,380 --> 00:03:12,050
at x pluss 2 kan være lik minus 6.

62
00:03:12,050 --> 00:03:13,910
Hvis det blir minus 6,

63
00:03:13,910 --> 00:03:16,210
og vi tar den absolutte verdi av det,
får vi 6.

64
00:03:16,210 --> 00:03:20,340
X pluss 2 kan altså være lik minus 6.

65
00:03:20,340 --> 00:03:22,880
Vi trekker fra 2 på begge sider,

66
00:03:22,880 --> 00:03:25,850
og x kan nå være lik 4.

67
00:03:25,850 --> 00:03:29,780
Når vi har trukket fra 2 på begge sider,

68
00:03:29,780 --> 00:03:33,690
kan X også være lik minus 8.

69
00:03:33,690 --> 00:03:37,240
Det er altså de to løsningene til ligningen.

70
00:03:37,240 --> 00:03:39,740
Vi skal huske at den absolutte veriden

71
00:03:39,740 --> 00:03:42,500
kan ses som avstanden fra 0.

72
00:03:42,500 --> 00:03:43,940
Vi kan skrive om oppgaven

73
00:03:43,940 --> 00:03:50,410
til den absolutte verdi av X minus, minus 2 er lik 6.

74
00:03:50,410 --> 00:03:52,759
Vi skal altså finne ut av

75
00:03:52,759 --> 00:03:57,590
hvilke X-verdier som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.

76
00:03:57,590 --> 00:03:59,168
Her oppe spurte vi,

77
00:03:59,168 --> 00:04:03,560
hvilke X-verdier som er akkurat ti plasser vekk fra 5.

78
00:04:03,560 --> 00:04:05,990
Uansett hvilket tall vi trekker fra 5,

79
00:04:05,990 --> 00:04:08,560
vil begge tallene være ti plasser vekk fra 5.

80
00:04:08,560 --> 00:04:09,515
Denne spør

81
00:04:09,515 --> 00:04:13,080
hva som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.

82
00:04:13,080 --> 00:04:15,510
Det vil ensten være 4 eller minus 8.

83
00:04:15,510 --> 00:04:17,959
Man kan selv prøve av tallene.

84
00:04:17,959 --> 00:04:20,459
La oss lage en til.

85
00:04:20,459 --> 00:04:25,330
Vi lager en i lilla.

86
00:04:25,330 --> 00:04:30,190
Til å begynne med har vi den absolutte verdi av 4x.

87
00:04:30,190 --> 00:04:31,430
Vi føyer til litt i oppgaven.

88
00:04:31,430 --> 00:04:33,390
4x minus 1.

89
00:04:33,390 --> 00:04:36,583
Den absolutte verdien av 4x minus 1

90
00:04:36,583 --> 00:04:40,200
er lik 19.

91
00:04:40,200 --> 00:04:41,769
Akkurat som i de forrige oppgavene

92
00:04:41,769 --> 00:04:47,640
kan 4x minus 1 være lik 19.

93
00:04:47,640 --> 00:04:51,670
Det kan også være lik minus 19.

94
00:04:51,670 --> 00:04:53,130
Når vi tar den absolutte verdi av det,

95
00:04:53,130 --> 00:04:54,800
er svaret 19 igjen.

96
00:04:54,800 --> 00:04:59,100
4x minus 1 kan altså også være lik minus 19.

97
00:04:59,100 --> 00:05:00,970
Nå løser vi de to ligningene.

98
00:05:00,970 --> 00:05:02,945
Vi legger 1 til å begge sider av erliktegnet.

99
00:05:02,945 --> 00:05:04,274
Det gjør vi på begge ligningene.

100
00:05:04,274 --> 00:05:08,510
Her legger vi til 1 på begge sider,
og nå er 4 x lik med 20.

101
00:05:08,510 --> 00:05:11,005
Her legger vi også til 1 på begge sider,

102
00:05:11,005 --> 00:05:15,340
og nå er 4 x lik med minus 18.

103
00:05:15,340 --> 00:05:20,210
Nå dividerer vi begge sider med 4,
og x er lik 5.

104
00:05:20,210 --> 00:05:23,920
Her dividerer vi også begge sider med 4,

105
00:05:23,920 --> 00:05:31,770
og x er lik minus 18/4, 
det er det samme som minus 9/2.

106
00:05:31,770 --> 00:05:35,730
Begge x-verdiene passer inn i ligningen.

107
00:05:35,730 --> 00:05:36,587
Vi prøver.

108
00:05:36,587 --> 00:05:39,580
Minus 9/2 ganer 4.

109
00:05:39,580 --> 00:05:41,570
Det blir minus 18.

110
00:05:41,570 --> 00:05:44,200
Minus 18, minus 1 er lik minus 19.

111
00:05:44,200 --> 00:05:46,740
Vi tar den absolutte verdien av minus 19, og får 19.

112
00:05:46,740 --> 00:05:49,920
Vi setter inn 5 her.
4 ganger 5 er 20.

113
00:05:49,920 --> 00:05:51,960
20 minus 1 er 19.

114
00:05:51,960 --> 00:05:53,260
Vi tar den absolutte verdien av det.

115
00:05:53,260 --> 00:05:55,920
Igjen blir det 19.

116
00:05:55,920 --> 00:05:58,580
La oss for morro skyld tenge en av dem her.

117
00:05:58,580 --> 00:05:59,283
Vi tegner en tallinje

118
00:05:59,283 --> 00:06:04,990
Vi vet at Y er lik med den absolutte verdien av x pluss 3.

119
00:06:04,990 --> 00:06:07,840
Det er altså en funksjon, eller en graf,

120
00:06:07,840 --> 00:06:09,410
som inneholder en absolutt verdi.

121
00:06:09,410 --> 00:06:11,820
La oss tenke på to muligheter.

122
00:06:11,820 --> 00:06:13,136
Den ene muligheten er

123
00:06:13,136 --> 00:06:16,430
at tallet i den absolutte verdien er positiv.

124
00:06:16,430 --> 00:06:18,873
at tallet i den absolutte verdien er positiv.

125
00:06:18,873 --> 00:06:23,420
Vi skriver det her. 
X pluss 3 er større enn 0.

126
00:06:23,420 --> 00:06:29,370
Det er også en mulighet for at x pluss 3 er mindre enn 0.

127
00:06:29,370 --> 00:06:32,658
Når X plus 3 er større enn 0,

128
00:06:32,658 --> 00:06:36,490
er denen Grafen eller fuksjonen

129
00:06:36,490 --> 00:06:41,690
det samme som y er lik x pluss 3.

130
00:06:41,690 --> 00:06:44,370
Hvis dette er større enn 0,

131
00:06:44,370 --> 00:06:46,750
er den absolutte verdien irrelevant.

132
00:06:46,750 --> 00:06:48,780
I så fall er dette det samme som

133
00:06:48,780 --> 00:06:50,280
Y er lik X pluss 3.

134
00:06:50,280 --> 00:06:52,590
Når er X pluss 3 over 0?

135
00:06:52,590 --> 00:06:56,366
Vi trekker fra 3 på begge sider,
og så står det

136
00:06:56,366 --> 00:06:59,910
at X er større enn minus 3.

137
00:06:59,910 --> 00:07:02,249
Når X er større enn minus 3,

138
00:07:02,249 --> 00:07:08,460
vil grafen se ut som hvis det var
Y er lik X pluss 3.

139
00:07:08,460 --> 00:07:11,500
Nå ser vi på når X pluss 3 er mindre enn 0.

140
00:07:11,500 --> 00:07:13,328
Når tallet mellom tegnene

141
00:07:13,328 --> 00:07:16,509
for absolutt verdi er negativt

142
00:07:16,509 --> 00:07:20,356
kommer ligningen tl å si

143
00:07:20,356 --> 00:07:26,250
at Y er lik den negative versjonen av X pluss 3.

144
00:07:26,250 --> 00:07:27,540
Hvordan vet vi det?

145
00:07:27,540 --> 00:07:30,520
Hvis vi går ut fra

146
00:07:30,520 --> 00:07:33,060
at X pluss 3 gir et negativt tall,

147
00:07:33,060 --> 00:07:36,010
tar vi den absolutte verdi av det,

148
00:07:36,010 --> 00:07:38,090
Og så blir det til et positivt tall.

149
00:07:38,090 --> 00:07:40,050
Og så blir det til et positivt tall.

150
00:07:40,050 --> 00:07:43,280
Det er akkurat som å gange med minus 1.

151
00:07:43,280 --> 00:07:45,870
Hvis vi tar den absolutte verdien av et negativt tall,

152
00:07:45,870 --> 00:07:48,890
er det akkurat som å gange tallet med minus 1.

153
00:07:48,890 --> 00:07:51,010
På den måten blir det positivt.

154
00:07:51,010 --> 00:07:53,870
Det er situasjonen her.

155
00:07:53,870 --> 00:07:55,840
X pluss 3, er mindre enn 0.

156
00:07:55,840 --> 00:07:59,850
Vi trekker fra 3 på begge sider,

157
00:07:59,850 --> 00:08:01,280
og så er X mindre enn minus 3.

158
00:08:01,280 --> 00:08:03,920
Når X er mindre enn minus 3,

159
00:08:03,920 --> 00:08:05,040
ser grafen sånn ut.

160
00:08:05,040 --> 00:08:08,280
Når X er større enn minus 3,

161
00:08:08,280 --> 00:08:09,600
ser grafen sånn ut.

162
00:08:09,600 --> 00:08:11,300
La oss se

163
00:08:11,300 --> 00:08:13,670
hvordan hele grafen ser ut.

164
00:08:13,670 --> 00:08:21,520
Vi tegner aksene våres.

165
00:08:21,520 --> 00:08:26,070
Dette er X-aksen,
og dette er Y-aksen.

166
00:08:26,070 --> 00:08:29,090
Vi ganger det ut,

167
00:08:29,090 --> 00:08:29,870
så vi har det i forman av ax pluss b

168
00:08:29,870 --> 00:08:36,070
Dette er lik minus x, minus 3.

169
00:08:36,070 --> 00:08:37,409
La oss finne ut av,

170
00:08:37,409 --> 00:08:38,620
hvordan hele grafen ser ut.

171
00:08:38,620 --> 00:08:42,020
Minus x minus 3.

172
00:08:42,020 --> 00:08:47,380
Skjæringspunktet på y aksen, 
er minus 3. 1,2,3.

173
00:08:47,380 --> 00:08:51,060
Minus x betyr at grafen helder nedover.

174
00:08:51,060 --> 00:08:52,290
Den har en negativ helding på 1.

175
00:08:52,290 --> 00:08:53,540
Den ser sånn ut.

176
00:08:56,840 --> 00:09:02,830
Den ser sånn ut.

177
00:09:02,830 --> 00:09:07,740
Hvis vi sier at Y er lik 0,

178
00:09:07,740 --> 00:09:08,575
skjærer Grafen x-aksen, der for x er minus 3.

179
00:09:08,575 --> 00:09:10,380
Det er altså igjennom

180
00:09:10,380 --> 00:09:11,920
dette punktet.

181
00:09:11,920 --> 00:09:14,190
Hvis vi ikke hadde dette kravet,

182
00:09:14,190 --> 00:09:15,600
så grafen sånn ut.

183
00:09:19,890 --> 00:09:22,760
Dette er hvis vi ikke begrenser den

184
00:09:22,760 --> 00:09:23,880
til et bestemt interval på X-aksen.

185
00:09:23,880 --> 00:09:27,080
Hvordan der grafen ut?

186
00:09:27,080 --> 00:09:27,480
La oss se.

187
00:09:27,480 --> 00:09:31,810
Skjæringspunktet på y-aksen er 3.

188
00:09:31,810 --> 00:09:33,230
Her.

189
00:09:33,230 --> 00:09:35,260
Hvor skjærer Grafen x-aksen?

190
00:09:35,260 --> 00:09:37,970
Det gjør den , når y er lik 0.
Så x er lik minus 3.

191
00:09:37,970 --> 00:09:39,760
Det går altså også igjennom dette punktet.

192
00:09:39,760 --> 00:09:40,620
Og heldingen er på 1.

193
00:09:40,620 --> 00:09:43,710
Den ser cirka sånn her ut.

194
00:09:43,710 --> 00:09:45,330
Dette er sånn som gafen ser ut.

195
00:09:45,330 --> 00:09:48,100
Nå har vi funnet ut av at denne 
funksjonen med absolutt verdi

196
00:09:48,100 --> 00:09:52,030
ser ut som denne lilla grafen,

197
00:09:52,030 --> 00:09:53,830
når x er mindre enn minus 3.

198
00:09:53,830 --> 00:09:57,070
Dette er der hvor X er lik minus 3.

199
00:09:57,070 --> 00:09:59,593
Når x er mindre enn minus 3,

200
00:09:59,593 --> 00:10:03,170
ser grafen ut som denne lilla.

201
00:10:03,170 --> 00:10:04,570
ser grafen ut som denne lilla.

202
00:10:04,570 --> 00:10:07,390
Dette er når X er mindre enn minus 3.

203
00:10:07,390 --> 00:10:10,830
Når x er større enn minus 3,

204
00:10:10,830 --> 00:10:12,160
ser funksjonen ut som den grønne grafen.

205
00:10:12,160 --> 00:10:14,640
Den ser sånn ut.

206
00:10:14,640 --> 00:10:17,480
Grafen ligner altså en underlig V.

207
00:10:17,480 --> 00:10:21,430
Når X er større enn minus 3, 
er denne positiv.

208
00:10:21,430 --> 00:10:24,950
Heldingen er positiv.

209
00:10:24,950 --> 00:10:28,270
Når X er mindre enn minus 3,

210
00:10:28,270 --> 00:10:30,550
tar vi i virkeligheten den negative funksjonen.

211
00:10:30,550 --> 00:10:32,280
Heldingen er negativ.

212
00:10:32,280 --> 00:10:35,060
Funksjonen er altså formet som en v,

213
00:10:35,060 --> 00:10:38,250
og når den er det betyr det

214
00:10:38,250 --> 00:10:39,950
at det er en funksjon med en absolutt verdi.