Vi skal lage noen ligninger som inneholder absolutte verdier.
La oss gjenoppfriske hva det vil si,
når vi tar den absolutte verdien av et tall.
La oss si at vi skal finne den absolutte verdien av minus 1.
Vi skal spørre oss selv
hvor langt tallet er fra 0.
Vi tegner en tallinje
Dette er 0.
Dette er minus 1.
Minus 1 er 1 plass fra 0.
Den absolutte verdien av minus 1 er altså 1.
Den absolutte verdien av 1 er også 1. 1 er også 1 plass fra 0.
Det er også lik 1.
Den absolute verdien er altså, hvor mange plasser taller er fra 0.
En litt enklere måte å tenke på er
at det alltid ender med å bli den positive versjonen av tallet.
Den absolutte verdien av minus 7346 er lik 7346.
Det skal vi huske
når vi løser ligninger med absolutte verdier.
Vi har ligningen
den absolutte verdi av X minus 5 er lik 10.
En måte vi kan tenke på er
at det betyr
at avstanden mellom X og 5 er lik 10.
Hvor mange taller 10 plasser fra 5?
Vi kan allerede gjette løsningen.
Men vi gjør det systematisk.
I to tilfeller vil X være 10 plasser vekk fra 5.
Enten er X lik minus 5 eller 10.
Hvis det er 10,
får vi 10
når vi tar den absolutte verdien av det.
Når X er minus 5, blir det minus 10.
Når vi tar den absolutte verdien av minus 10,
får vi igjen 10.
X minus 5 kan altså være lik minus 10.
Både 10 og minus 5 passer som løsning på ligningen.
For å løse den,
legger vi til 5 på begge sider av erliktegnet.
Vi får x er lik 15.
Vi legger altså til 5 på begge sider av denne ligningen.
X er lik minus 5.
Vi tegner en tallinje
Det er altså to x-verdier som passer som løsning på ligningen.
X kan være 15.
15 minus 5 er lik 10, og finner vi den absolutte verdien,
får vi 10. X kan også være minus 5.
minus 5, minus 5 erlik minus 10.
Tar vi den absolutte verdien av det, får vi 10.
Begge tallene er akkurat
10 plasser fra tallet 5.
La oss løse en til.
Vi lager en ligning til.
Vi har ligningen
den absolutte verdi av X pluss 2 er lik 6.
Hva forteller det oss?
Det forteller oss
at x pluss 2, som står som den absolutte verdi, kan være lik 6.
Det forteller oss også
at x pluss 2 kan være lik minus 6.
Hvis det blir minus 6,
og vi tar den absolutte verdi av det, får vi 6.
X pluss 2 kan altså være lik minus 6.
Vi trekker fra 2 på begge sider,
og x kan nå være lik 4.
Når vi har trukket fra 2 på begge sider,
kan X også være lik minus 8.
Det er altså de to løsningene til ligningen.
Vi skal huske at den absolutte veriden
kan ses som avstanden fra 0.
Vi kan skrive om oppgaven
til den absolutte verdi av X minus, minus 2 er lik 6.
Vi skal altså finne ut av
hvilke X-verdier som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.
Her oppe spurte vi,
hvilke X-verdier som er akkurat ti plasser vekk fra 5.
Uansett hvilket tall vi trekker fra 5,
vil begge tallene være ti plasser vekk fra 5.
Denne spør
hva som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.
Det vil ensten være 4 eller minus 8.
Man kan selv prøve av tallene.
La oss lage en til.
Vi lager en i lilla.
Til å begynne med har vi den absolutte verdi av 4x.
Vi føyer til litt i oppgaven.
4x minus 1.
Den absolutte verdien av 4x minus 1
er lik 19.
Akkurat som i de forrige oppgavene
kan 4x minus 1 være lik 19.
Det kan også være lik minus 19.
Når vi tar den absolutte verdi av det,
er svaret 19 igjen.
4x minus 1 kan altså også være lik minus 19.
Nå løser vi de to ligningene.
Vi legger 1 til å begge sider av erliktegnet.
Det gjør vi på begge ligningene.
Her legger vi til 1 på begge sider, og nå er 4 x lik med 20.
Her legger vi også til 1 på begge sider,
og nå er 4 x lik med minus 18.
Nå dividerer vi begge sider med 4, og x er lik 5.
Her dividerer vi også begge sider med 4,
og x er lik minus 18/4, det er det samme som minus 9/2.
Begge x-verdiene passer inn i ligningen.
Vi prøver.
Minus 9/2 ganer 4.
Det blir minus 18.
Minus 18, minus 1 er lik minus 19.
Vi tar den absolutte verdien av minus 19, og får 19.
Vi setter inn 5 her. 4 ganger 5 er 20.
20 minus 1 er 19.
Vi tar den absolutte verdien av det.
Igjen blir det 19.
La oss for morro skyld tenge en av dem her.
Vi tegner en tallinje
Vi vet at Y er lik med den absolutte verdien av x pluss 3.
Det er altså en funksjon, eller en graf,
som inneholder en absolutt verdi.
La oss tenke på to muligheter.
Den ene muligheten er
at tallet i den absolutte verdien er positiv.
Vi skriver det her. X pluss 3 er større enn 0.
Det er også en mulighet for at x pluss 3 er mindre enn 0.
Når X plus 3 er større enn 0,
er denen Grafen eller fuksjonen
det samme som y er lik x pluss 3.
Hvis dette er større enn 0,
er den absolutte verdien irrelevant.
I så fall er dette det samme som
Y er lik X pluss 3.
Når er X pluss 3 over 0?
Vi trekker fra 3 på begge sider, og så står det
at X er større enn minus 3.
Når X er større enn minus 3,
vil grafen se ut som hvis det var Y er lik X pluss 3.
Nå ser vi på når X pluss 3 er mindre enn 0.
Når tallet mellom tegnene
for absolutt verdi er negativt
kommer ligningen tl å si
at Y er lik den negative versjonen av X pluss 3.
Hvordan vet vi det?
Hvis vi går ut fra
at X pluss 3 gir et negativt tall,
tar vi den absolutte verdi av det,
Og så blir det til et positivt tall.
Det er akkurat som å gange med minus 1.
Hvis vi tar den absolutte verdien av et negativt tall,
er det akkurat som å gange tallet med minus 1.
På den måten blir det positivt.
Det er situasjonen her.
X pluss 3, er mindre enn 0.
Vi trekker fra 3 på begge sider,
og så er X mindre enn minus 3.
Når X er mindre enn minus 3,
ser grafen sånn ut.
Når X er større enn minus 3,
ser grafen sånn ut.
La oss se
hvordan hele grafen ser ut.
Vi tegner aksene våres.
Dette er X-aksen, og dette er Y-aksen.
Vi ganger det ut,
så vi har det i forman av ax pluss b
Dette er lik minus x, minus 3.
La oss finne ut av,
hvordan hele grafen ser ut.
Minus x minus 3.
Skjæringspunktet på y aksen, er minus 3. 1,2,3.
Minus x betyr at grafen helder nedover.
Den har en negativ helding på 1.
Den ser sånn ut.
Hvis vi sier at Y er lik 0,
skjærer Grafen x-aksen, der for x er minus 3.
Det er altså igjennom
dette punktet.
Hvis vi ikke hadde dette kravet,
så grafen sånn ut.
Dette er hvis vi ikke begrenser den
til et bestemt interval på X-aksen.
Hvordan der grafen ut?
La oss se.
Skjæringspunktet på y-aksen er 3.
Her.
Hvor skjærer Grafen x-aksen?
Det gjør den , når y er lik 0. Så x er lik minus 3.
Det går altså også igjennom dette punktet.
Og heldingen er på 1.
Den ser cirka sånn her ut.
Dette er sånn som gafen ser ut.
Nå har vi funnet ut av at denne funksjonen med absolutt verdi
ser ut som denne lilla grafen,
når x er mindre enn minus 3.
Dette er der hvor X er lik minus 3.
Når x er mindre enn minus 3,
ser grafen ut som denne lilla.
Dette er når X er mindre enn minus 3.
Når x er større enn minus 3,
ser funksjonen ut som den grønne grafen.
Den ser sånn ut.
Grafen ligner altså en underlig V.
Når X er større enn minus 3, er denne positiv.
Heldingen er positiv.
Når X er mindre enn minus 3,
tar vi i virkeligheten den negative funksjonen.
Heldingen er negativ.
Funksjonen er altså formet som en v,
og når den er det betyr det
at det er en funksjon med en absolutt verdi.