WEBVTT 00:00:00.590 --> 00:00:03.880 Vi skal lage noen ligninger som inneholder absolutte verdier. 00:00:03.880 --> 00:00:05.119 La oss gjenoppfriske hva det vil si, 00:00:05.119 --> 00:00:07.650 når vi tar den absolutte verdien av et tall. 00:00:07.650 --> 00:00:10.680 La oss si at vi skal finne den absolutte verdien av minus 1. 00:00:10.680 --> 00:00:12.263 Vi skal spørre oss selv 00:00:12.263 --> 00:00:16.090 hvor langt tallet er fra 0. 00:00:16.090 --> 00:00:20.620 Vi tegner en tallinje 00:00:20.620 --> 00:00:23.310 Vi tegner en tallinje 00:00:23.310 --> 00:00:26.230 Dette er 0. 00:00:26.230 --> 00:00:28.470 Dette er minus 1. 00:00:28.470 --> 00:00:30.230 Minus 1 er 1 plass fra 0. 00:00:30.230 --> 00:00:33.250 Den absolutte verdien av minus 1 er altså 1. 00:00:33.250 --> 00:00:38.850 Den absolutte verdien av 1 er også 1. 1 er også 1 plass fra 0. 00:00:38.850 --> 00:00:40.610 Det er også lik 1. 00:00:40.610 --> 00:00:43.500 Den absolute verdien er altså, hvor mange plasser taller er fra 0. 00:00:43.500 --> 00:00:45.587 En litt enklere måte å tenke på er 00:00:45.587 --> 00:00:48.600 at det alltid ender med å bli den positive versjonen av tallet. 00:00:48.600 --> 00:00:59.360 Den absolutte verdien av minus 7346 er lik 7346. 00:00:59.360 --> 00:01:00.779 Det skal vi huske 00:01:00.779 --> 00:01:05.050 når vi løser ligninger med absolutte verdier. 00:01:05.050 --> 00:01:06.675 Vi har ligningen 00:01:06.675 --> 00:01:14.500 den absolutte verdi av X minus 5 er lik 10. 00:01:14.500 --> 00:01:15.895 En måte vi kan tenke på er 00:01:15.895 --> 00:01:18.161 at det betyr 00:01:18.161 --> 00:01:23.120 at avstanden mellom X og 5 er lik 10. 00:01:23.120 --> 00:01:26.750 Hvor mange taller 10 plasser fra 5? 00:01:26.750 --> 00:01:29.430 Vi kan allerede gjette løsningen. 00:01:29.430 --> 00:01:31.960 Men vi gjør det systematisk. 00:01:31.960 --> 00:01:36.510 I to tilfeller vil X være 10 plasser vekk fra 5. 00:01:36.510 --> 00:01:41.800 Enten er X lik minus 5 eller 10. 00:01:41.800 --> 00:01:44.630 Hvis det er 10, 00:01:44.630 --> 00:01:46.610 får vi 10 00:01:46.610 --> 00:01:48.380 når vi tar den absolutte verdien av det. 00:01:48.380 --> 00:01:53.130 Når X er minus 5, blir det minus 10. 00:01:53.130 --> 00:01:58.700 Når vi tar den absolutte verdien av minus 10, 00:01:58.700 --> 00:01:59.950 får vi igjen 10. 00:01:59.950 --> 00:02:04.280 X minus 5 kan altså være lik minus 10. 00:02:04.280 --> 00:02:07.730 Både 10 og minus 5 passer som løsning på ligningen. 00:02:07.730 --> 00:02:08.958 For å løse den, 00:02:08.958 --> 00:02:11.500 legger vi til 5 på begge sider av erliktegnet. 00:02:11.500 --> 00:02:14.160 Vi får x er lik 15. 00:02:14.160 --> 00:02:17.830 Vi legger altså til 5 på begge sider av denne ligningen. 00:02:17.830 --> 00:02:20.900 X er lik minus 5. 00:02:20.900 --> 00:02:21.963 Vi tegner en tallinje 00:02:21.963 --> 00:02:24.910 Det er altså to x-verdier som passer som løsning på ligningen. 00:02:24.910 --> 00:02:26.890 X kan være 15. 00:02:26.890 --> 00:02:29.502 15 minus 5 er lik 10, og finner vi den absolutte verdien, 00:02:29.502 --> 00:02:32.690 får vi 10. X kan også være minus 5. 00:02:32.690 --> 00:02:36.060 minus 5, minus 5 erlik minus 10. 00:02:36.060 --> 00:02:39.020 Tar vi den absolutte verdien av det, får vi 10. 00:02:39.020 --> 00:02:41.632 Begge tallene er akkurat 00:02:41.632 --> 00:02:45.750 10 plasser fra tallet 5. 00:02:45.750 --> 00:02:48.050 La oss løse en til. 00:02:48.050 --> 00:02:51.130 Vi lager en ligning til. 00:02:51.130 --> 00:02:52.182 Vi har ligningen 00:02:52.182 --> 00:02:58.580 den absolutte verdi av X pluss 2 er lik 6. 00:02:58.580 --> 00:02:59.610 Hva forteller det oss? 00:02:59.610 --> 00:03:03.132 Det forteller oss 00:03:03.132 --> 00:03:07.030 at x pluss 2, som står som den absolutte verdi, kan være lik 6. 00:03:07.030 --> 00:03:10.380 Det forteller oss også 00:03:10.380 --> 00:03:12.050 at x pluss 2 kan være lik minus 6. 00:03:12.050 --> 00:03:13.910 Hvis det blir minus 6, 00:03:13.910 --> 00:03:16.210 og vi tar den absolutte verdi av det, får vi 6. 00:03:16.210 --> 00:03:20.340 X pluss 2 kan altså være lik minus 6. 00:03:20.340 --> 00:03:22.880 Vi trekker fra 2 på begge sider, 00:03:22.880 --> 00:03:25.850 og x kan nå være lik 4. 00:03:25.850 --> 00:03:29.780 Når vi har trukket fra 2 på begge sider, 00:03:29.780 --> 00:03:33.690 kan X også være lik minus 8. 00:03:33.690 --> 00:03:37.240 Det er altså de to løsningene til ligningen. 00:03:37.240 --> 00:03:39.740 Vi skal huske at den absolutte veriden 00:03:39.740 --> 00:03:42.500 kan ses som avstanden fra 0. 00:03:42.500 --> 00:03:43.940 Vi kan skrive om oppgaven 00:03:43.940 --> 00:03:50.410 til den absolutte verdi av X minus, minus 2 er lik 6. 00:03:50.410 --> 00:03:52.759 Vi skal altså finne ut av 00:03:52.759 --> 00:03:57.590 hvilke X-verdier som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2. 00:03:57.590 --> 00:03:59.168 Her oppe spurte vi, 00:03:59.168 --> 00:04:03.560 hvilke X-verdier som er akkurat ti plasser vekk fra 5. 00:04:03.560 --> 00:04:05.990 Uansett hvilket tall vi trekker fra 5, 00:04:05.990 --> 00:04:08.560 vil begge tallene være ti plasser vekk fra 5. 00:04:08.560 --> 00:04:09.515 Denne spør 00:04:09.515 --> 00:04:13.080 hva som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2. 00:04:13.080 --> 00:04:15.510 Det vil ensten være 4 eller minus 8. 00:04:15.510 --> 00:04:17.959 Man kan selv prøve av tallene. 00:04:17.959 --> 00:04:20.459 La oss lage en til. 00:04:20.459 --> 00:04:25.330 Vi lager en i lilla. 00:04:25.330 --> 00:04:30.190 Til å begynne med har vi den absolutte verdi av 4x. 00:04:30.190 --> 00:04:31.430 Vi føyer til litt i oppgaven. 00:04:31.430 --> 00:04:33.390 4x minus 1. 00:04:33.390 --> 00:04:36.583 Den absolutte verdien av 4x minus 1 00:04:36.583 --> 00:04:40.200 er lik 19. 00:04:40.200 --> 00:04:41.769 Akkurat som i de forrige oppgavene 00:04:41.769 --> 00:04:47.640 kan 4x minus 1 være lik 19. 00:04:47.640 --> 00:04:51.670 Det kan også være lik minus 19. 00:04:51.670 --> 00:04:53.130 Når vi tar den absolutte verdi av det, 00:04:53.130 --> 00:04:54.800 er svaret 19 igjen. 00:04:54.800 --> 00:04:59.100 4x minus 1 kan altså også være lik minus 19. 00:04:59.100 --> 00:05:00.970 Nå løser vi de to ligningene. 00:05:00.970 --> 00:05:02.945 Vi legger 1 til å begge sider av erliktegnet. 00:05:02.945 --> 00:05:04.274 Det gjør vi på begge ligningene. 00:05:04.274 --> 00:05:08.510 Her legger vi til 1 på begge sider, og nå er 4 x lik med 20. 00:05:08.510 --> 00:05:11.005 Her legger vi også til 1 på begge sider, 00:05:11.005 --> 00:05:15.340 og nå er 4 x lik med minus 18. 00:05:15.340 --> 00:05:20.210 Nå dividerer vi begge sider med 4, og x er lik 5. 00:05:20.210 --> 00:05:23.920 Her dividerer vi også begge sider med 4, 00:05:23.920 --> 00:05:31.770 og x er lik minus 18/4, det er det samme som minus 9/2. 00:05:31.770 --> 00:05:35.730 Begge x-verdiene passer inn i ligningen. 00:05:35.730 --> 00:05:36.587 Vi prøver. 00:05:36.587 --> 00:05:39.580 Minus 9/2 ganer 4. 00:05:39.580 --> 00:05:41.570 Det blir minus 18. 00:05:41.570 --> 00:05:44.200 Minus 18, minus 1 er lik minus 19. 00:05:44.200 --> 00:05:46.740 Vi tar den absolutte verdien av minus 19, og får 19. 00:05:46.740 --> 00:05:49.920 Vi setter inn 5 her. 4 ganger 5 er 20. 00:05:49.920 --> 00:05:51.960 20 minus 1 er 19. 00:05:51.960 --> 00:05:53.260 Vi tar den absolutte verdien av det. 00:05:53.260 --> 00:05:55.920 Igjen blir det 19. 00:05:55.920 --> 00:05:58.580 La oss for morro skyld tenge en av dem her. 00:05:58.580 --> 00:05:59.283 Vi tegner en tallinje 00:05:59.283 --> 00:06:04.990 Vi vet at Y er lik med den absolutte verdien av x pluss 3. 00:06:04.990 --> 00:06:07.840 Det er altså en funksjon, eller en graf, 00:06:07.840 --> 00:06:09.410 som inneholder en absolutt verdi. 00:06:09.410 --> 00:06:11.820 La oss tenke på to muligheter. 00:06:11.820 --> 00:06:13.136 Den ene muligheten er 00:06:13.136 --> 00:06:16.430 at tallet i den absolutte verdien er positiv. 00:06:16.430 --> 00:06:18.873 at tallet i den absolutte verdien er positiv. 00:06:18.873 --> 00:06:23.420 Vi skriver det her. X pluss 3 er større enn 0. 00:06:23.420 --> 00:06:29.370 Det er også en mulighet for at x pluss 3 er mindre enn 0. 00:06:29.370 --> 00:06:32.658 Når X plus 3 er større enn 0, 00:06:32.658 --> 00:06:36.490 er denen Grafen eller fuksjonen 00:06:36.490 --> 00:06:41.690 det samme som y er lik x pluss 3. 00:06:41.690 --> 00:06:44.370 Hvis dette er større enn 0, 00:06:44.370 --> 00:06:46.750 er den absolutte verdien irrelevant. 00:06:46.750 --> 00:06:48.780 I så fall er dette det samme som 00:06:48.780 --> 00:06:50.280 Y er lik X pluss 3. 00:06:50.280 --> 00:06:52.590 Når er X pluss 3 over 0? 00:06:52.590 --> 00:06:56.366 Vi trekker fra 3 på begge sider, og så står det 00:06:56.366 --> 00:06:59.910 at X er større enn minus 3. 00:06:59.910 --> 00:07:02.249 Når X er større enn minus 3, 00:07:02.249 --> 00:07:08.460 vil grafen se ut som hvis det var Y er lik X pluss 3. 00:07:08.460 --> 00:07:11.500 Nå ser vi på når X pluss 3 er mindre enn 0. 00:07:11.500 --> 00:07:13.328 Når tallet mellom tegnene 00:07:13.328 --> 00:07:16.509 for absolutt verdi er negativt 00:07:16.509 --> 00:07:20.356 kommer ligningen tl å si 00:07:20.356 --> 00:07:26.250 at Y er lik den negative versjonen av X pluss 3. 00:07:26.250 --> 00:07:27.540 Hvordan vet vi det? 00:07:27.540 --> 00:07:30.520 Hvis vi går ut fra 00:07:30.520 --> 00:07:33.060 at X pluss 3 gir et negativt tall, 00:07:33.060 --> 00:07:36.010 tar vi den absolutte verdi av det, 00:07:36.010 --> 00:07:38.090 Og så blir det til et positivt tall. 00:07:38.090 --> 00:07:40.050 Og så blir det til et positivt tall. 00:07:40.050 --> 00:07:43.280 Det er akkurat som å gange med minus 1. 00:07:43.280 --> 00:07:45.870 Hvis vi tar den absolutte verdien av et negativt tall, 00:07:45.870 --> 00:07:48.890 er det akkurat som å gange tallet med minus 1. 00:07:48.890 --> 00:07:51.010 På den måten blir det positivt. 00:07:51.010 --> 00:07:53.870 Det er situasjonen her. 00:07:53.870 --> 00:07:55.840 X pluss 3, er mindre enn 0. 00:07:55.840 --> 00:07:59.850 Vi trekker fra 3 på begge sider, 00:07:59.850 --> 00:08:01.280 og så er X mindre enn minus 3. 00:08:01.280 --> 00:08:03.920 Når X er mindre enn minus 3, 00:08:03.920 --> 00:08:05.040 ser grafen sånn ut. 00:08:05.040 --> 00:08:08.280 Når X er større enn minus 3, 00:08:08.280 --> 00:08:09.600 ser grafen sånn ut. 00:08:09.600 --> 00:08:11.300 La oss se 00:08:11.300 --> 00:08:13.670 hvordan hele grafen ser ut. 00:08:13.670 --> 00:08:21.520 Vi tegner aksene våres. 00:08:21.520 --> 00:08:26.070 Dette er X-aksen, og dette er Y-aksen. 00:08:26.070 --> 00:08:29.090 Vi ganger det ut, 00:08:29.090 --> 00:08:29.870 så vi har det i forman av ax pluss b 00:08:29.870 --> 00:08:36.070 Dette er lik minus x, minus 3. 00:08:36.070 --> 00:08:37.409 La oss finne ut av, 00:08:37.409 --> 00:08:38.620 hvordan hele grafen ser ut. 00:08:38.620 --> 00:08:42.020 Minus x minus 3. 00:08:42.020 --> 00:08:47.380 Skjæringspunktet på y aksen, er minus 3. 1,2,3. 00:08:47.380 --> 00:08:51.060 Minus x betyr at grafen helder nedover. 00:08:51.060 --> 00:08:52.290 Den har en negativ helding på 1. 00:08:52.290 --> 00:08:53.540 Den ser sånn ut. 00:08:56.840 --> 00:09:02.830 Den ser sånn ut. 00:09:02.830 --> 00:09:07.740 Hvis vi sier at Y er lik 0, 00:09:07.740 --> 00:09:08.575 skjærer Grafen x-aksen, der for x er minus 3. 00:09:08.575 --> 00:09:10.380 Det er altså igjennom 00:09:10.380 --> 00:09:11.920 dette punktet. 00:09:11.920 --> 00:09:14.190 Hvis vi ikke hadde dette kravet, 00:09:14.190 --> 00:09:15.600 så grafen sånn ut. 00:09:19.890 --> 00:09:22.760 Dette er hvis vi ikke begrenser den 00:09:22.760 --> 00:09:23.880 til et bestemt interval på X-aksen. 00:09:23.880 --> 00:09:27.080 Hvordan der grafen ut? 00:09:27.080 --> 00:09:27.480 La oss se. 00:09:27.480 --> 00:09:31.810 Skjæringspunktet på y-aksen er 3. 00:09:31.810 --> 00:09:33.230 Her. 00:09:33.230 --> 00:09:35.260 Hvor skjærer Grafen x-aksen? 00:09:35.260 --> 00:09:37.970 Det gjør den , når y er lik 0. Så x er lik minus 3. 00:09:37.970 --> 00:09:39.760 Det går altså også igjennom dette punktet. 00:09:39.760 --> 00:09:40.620 Og heldingen er på 1. 00:09:40.620 --> 00:09:43.710 Den ser cirka sånn her ut. 00:09:43.710 --> 00:09:45.330 Dette er sånn som gafen ser ut. 00:09:45.330 --> 00:09:48.100 Nå har vi funnet ut av at denne funksjonen med absolutt verdi 00:09:48.100 --> 00:09:52.030 ser ut som denne lilla grafen, 00:09:52.030 --> 00:09:53.830 når x er mindre enn minus 3. 00:09:53.830 --> 00:09:57.070 Dette er der hvor X er lik minus 3. 00:09:57.070 --> 00:09:59.593 Når x er mindre enn minus 3, 00:09:59.593 --> 00:10:03.170 ser grafen ut som denne lilla. 00:10:03.170 --> 00:10:04.570 ser grafen ut som denne lilla. 00:10:04.570 --> 00:10:07.390 Dette er når X er mindre enn minus 3. 00:10:07.390 --> 00:10:10.830 Når x er større enn minus 3, 00:10:10.830 --> 00:10:12.160 ser funksjonen ut som den grønne grafen. 00:10:12.160 --> 00:10:14.640 Den ser sånn ut. 00:10:14.640 --> 00:10:17.480 Grafen ligner altså en underlig V. 00:10:17.480 --> 00:10:21.430 Når X er større enn minus 3, er denne positiv. 00:10:21.430 --> 00:10:24.950 Heldingen er positiv. 00:10:24.950 --> 00:10:28.270 Når X er mindre enn minus 3, 00:10:28.270 --> 00:10:30.550 tar vi i virkeligheten den negative funksjonen. 00:10:30.550 --> 00:10:32.280 Heldingen er negativ. 00:10:32.280 --> 00:10:35.060 Funksjonen er altså formet som en v, 00:10:35.060 --> 00:10:38.250 og når den er det betyr det 00:10:38.250 --> 00:10:39.950 at det er en funksjon med en absolutt verdi.