-
W tym odcinku opowiem o procencie…
o procencie składanym,
-
a potem omówię szybki,
przybliżony sposób obliczania,
-
jak prędko następuje kapitalizacja.
-
I zobaczymy, jak dobre
jest to przybliżenie.
-
Powiedzmy, że prowadzę jakiś bank
-
i proponuję odsetki 10%,
przy rocznej kapitalizacji.
-
Kapitalizacja roczna.
-
W prawdziwych bankach tak nie jest.
Odsetki kapitalizuje się ciągle,
-
ale tu, dla uproszczenia,
zróbmy kapitalizację co roku.
-
Będzie łatwiej liczyć, a o stałej
kapitalizacji jeszcze opowiem.
-
A wszystko to znaczy…
Powiedzmy, że dziś…
-
np. dziś wpłacacie 100$ na konto.
-
Jeśli je tam zostawicie, to po roku
-
będziecie mieć swoje 100$
-
plus 10% odsetek od tego depozytu.
-
10% ze stu to 10$.
-
Po roku będziecie więc mieli 110$.
-
110$. Można powiedzieć,
że dodałem 10% do stu.
-
A po dwóch latach,
-
czyli rok po pierwszym roku,
-
po dwóch latach uzyskacie 10%
-
nie tylko od 100$.
-
Otrzymacie 10% od 110$.
-
A 10% ze 110 to…
Otrzymacie jeszcze 11$,
-
bo 10% od 110 to 11,
uzyskacie więc 110…
-
To był wasz depozyt po wejściu
w drugi rok,
-
i dostajecie jeszcze 10% od tego,
nie od pierwotnego depozytu.
-
Stąd - odsetki składane.
-
Dostajecie odsetki od odsetek
z poprzednich lat.
-
Zatem – 110$ plus 11$.
-
Co roku nasze odsetki,
jeśli nie wypłacamy pieniędzy, rosną.
-
Mamy już 121$.
I mógłbym to robić dalej.
-
Ogólny sposób wyliczenia,
-
ile będziecie mieli po upływie n lat,
polega na mnożeniu.
-
Załatwię sprawę algebraicznie.
-
Powiedzmy, że to mój pierwszy
depozyt,
-
czy kapitał, jak chcecie…
-
Po upływie x lat…
-
Po roku mnożymy… żeby uzyskać
tę kwotę, mnożymy przez 1,1.
-
Zrobię tak.
Nie za bardzo abstrakcyjnie.
-
Obliczę.
Żeby dojść do tej wartości,
-
pomnożyliśmy tę liczbę, 100,
-
przez 1 plus 10%, czyli przez 1,1.
-
A ta liczba, to będzie…
110 razy - znowu - 1,1.
-
To jest 100, razy 1,1,
czyli ta wartość.
-
Teraz znów pomnożymy to przez 1,1.
Pamiętacie, skąd to 1,1 się wzięło?
-
1,1 jest tym samym,
-
co 100% plus jeszcze 10%.
-
Tyle właśnie uzyskujemy.
Mamy 100% pierwotnego depozytu
-
plus jeszcze 10%,
-
czyli mnożymy przez 1,1.
-
A tu robimy to dwukrotnie.
Dwa razy mnożymy przez 1,1.
-
Ile będziemy mieć po trzech latach?
-
Po trzech latach
-
będziemy mieli 100 razy…
-
1,1 do potęgi trzeciej.
-
A po upływie n lat
(bardziej abstrakcyjnie)…
-
Będziemy mieli 100
razy 1,1 do potęgi n-tej.
-
Jak się domyślacie,
niełatwo to obliczyć.
-
W tej sytuacji mieliśmy 10%.
-
Gdyby chodziło o, powiedzmy, 7%…
-
Tutaj sytuacja jest inna.
-
Procent składany - 7% rocznie.
-
Po roku…
-
będziemy więc mieli 100 razy…
-
zamiast 1,1 będzie 100% plus 7%,
-
czyli 1,07.
-
Przejdźmy do trzeciego roku.
-
Po trzecim roku… mogłem zrobić drugi…
-
Byłoby to 100 razy 1,07 do potęgi…
-
trzeciej, czyli 1,07 mnożone
przez siebie 3 razy.
-
A po n latach byłoby to
1,07 do potęgi n.
-
Pewnie już czujecie,
że chociaż zasada jest prosta,
-
to obliczenie odsetek składanych
może być całkiem trudne.
-
A gdybym spytał, ile trzeba czasu…
-
Ile… czasu…
-
zajmie…
-
podwojenie się pieniędzy?
-
Macie zastosować ten wzór.
Powiecie:
-
„Żeby wkład się podwoił…
Zaczynam od 100$.
-
Pomnożę to przez…
przyjmijmy stopę 10%.
-
Mnożę przez 1,1…
-
do potęgi x. Jest to równe…
-
Wkład ma się podwoić,
więc to musi być równe 200$.
-
Teraz muszę wyliczyć x.
Potrzebny będzie logarytm!
-
Podzielę obie strony przez 100.
Zostanie: 1,1 do potęgi x równa się 2.
-
Podzieliłem obie strony przez 100.
-
Teraz wyznaczymy z obu stron
logarytm o podstawie 1,1
-
i uzyskamy x. Celowo pokazuję,
że to dość skomplikowane.
-
Trudne, ale są filmiki
o równaniach logarytmicznych;
-
x to logarytm o podstawie 1,1 z dwóch.
-
Nie obliczymy tego w pamięci!
-
Zasada jest prosta, lecz ile czasu
zajmie podwojenie pieniędzy?
-
Obliczenie dokładnego wyniku
nie jest łatwe.
-
Jeśli macie zwykły kalkulator,
-
możecie dodawać lata,
aż uzyskacie bliską liczbę,
-
ale prostego sposobu nie ma.
-
To przy 10%.
Przy 9,3% byłoby jeszcze trudniej.
-
W następnym odcinku
przedstawię tzw. regułę 72,
-
sposób obliczania w przybliżeniu,
jak długo (to nasze zadanie)…
-
jak długo potrwa, aż podwoją się…
to bardzo ważne…
-
Kiedy podwoją się wasze pieniądze?
-
I sprawdzimy,
jak dokładne jest to przybliżenie.
