1
00:00:00,464 --> 00:00:07,163
W tym odcinku opowiem o procencie…
o procencie składanym,

2
00:00:07,263 --> 00:00:12,781
a potem omówię szybki,
przybliżony sposób obliczania,

3
00:00:12,881 --> 00:00:15,023
jak prędko następuje kapitalizacja.

4
00:00:15,123 --> 00:00:18,947
I zobaczymy, jak dobre
jest to przybliżenie.

5
00:00:19,047 --> 00:00:22,085
Powiedzmy, że prowadzę jakiś bank

6
00:00:22,185 --> 00:00:28,096
i proponuję odsetki 10%,
przy rocznej kapitalizacji.

7
00:00:28,196 --> 00:00:32,360
Kapitalizacja roczna.

8
00:00:33,398 --> 00:00:37,616
W prawdziwych bankach tak nie jest.
Odsetki kapitalizuje się ciągle,

9
00:00:37,716 --> 00:00:41,122
ale tu, dla uproszczenia,
zróbmy kapitalizację co roku.

10
00:00:41,222 --> 00:00:44,914
Będzie łatwiej liczyć, a o stałej
kapitalizacji jeszcze opowiem.

11
00:00:45,014 --> 00:00:48,549
A wszystko to znaczy…
Powiedzmy, że dziś…

12
00:00:49,644 --> 00:00:53,046
np. dziś wpłacacie 100$ na konto.

13
00:00:53,146 --> 00:00:57,349
Jeśli je tam zostawicie, to po roku

14
00:00:57,449 --> 00:01:00,523
będziecie mieć swoje 100$

15
00:01:01,559 --> 00:01:04,690
plus 10% odsetek od tego depozytu.

16
00:01:04,790 --> 00:01:08,823
10% ze stu to 10$.

17
00:01:08,923 --> 00:01:12,612
Po roku będziecie więc mieli 110$.

18
00:01:13,351 --> 00:01:17,194
110$. Można powiedzieć,
że dodałem 10% do stu.

19
00:01:17,294 --> 00:01:18,715
A po dwóch latach,

20
00:01:19,667 --> 00:01:22,105
czyli rok po pierwszym roku,

21
00:01:22,205 --> 00:01:25,310
po dwóch latach uzyskacie 10%

22
00:01:25,410 --> 00:01:27,365
nie tylko od 100$.

23
00:01:27,465 --> 00:01:30,518
Otrzymacie 10% od 110$.

24
00:01:30,618 --> 00:01:34,621
A 10% ze 110 to…
Otrzymacie jeszcze 11$,

25
00:01:34,721 --> 00:01:38,661
bo 10% od 110 to 11,
uzyskacie więc 110…

26
00:01:39,892 --> 00:01:43,521
To był wasz depozyt po wejściu
w drugi rok,

27
00:01:43,621 --> 00:01:47,519
i dostajecie jeszcze 10% od tego,
nie od pierwotnego depozytu.

28
00:01:47,619 --> 00:01:49,535
Stąd - odsetki składane.

29
00:01:49,635 --> 00:01:53,499
Dostajecie odsetki od odsetek
z poprzednich lat.

30
00:01:53,599 --> 00:01:56,703
Zatem – 110$ plus 11$.

31
00:01:56,803 --> 00:02:00,449
Co roku nasze odsetki,
jeśli nie wypłacamy pieniędzy, rosną.

32
00:02:00,549 --> 00:02:06,227
Mamy już 121$.
I mógłbym to robić dalej.

33
00:02:06,327 --> 00:02:08,460
Ogólny sposób wyliczenia,

34
00:02:08,560 --> 00:02:13,554
ile będziecie mieli po upływie n lat,
polega na mnożeniu.

35
00:02:14,125 --> 00:02:17,306
Załatwię sprawę algebraicznie.

36
00:02:17,406 --> 00:02:20,618
Powiedzmy, że to mój pierwszy
depozyt,

37
00:02:20,718 --> 00:02:22,856
czy kapitał, jak chcecie…

38
00:02:23,536 --> 00:02:25,321
Po upływie x lat…

39
00:02:25,421 --> 00:02:30,848
Po roku mnożymy… żeby uzyskać
tę kwotę, mnożymy przez 1,1.

40
00:02:31,556 --> 00:02:34,366
Zrobię tak.
Nie za bardzo abstrakcyjnie.

41
00:02:34,466 --> 00:02:38,754
Obliczę.
Żeby dojść do tej wartości,

42
00:02:38,854 --> 00:02:41,762
pomnożyliśmy tę liczbę, 100,

43
00:02:42,372 --> 00:02:47,695
przez 1 plus 10%, czyli przez 1,1.

44
00:02:48,251 --> 00:02:53,281
A ta liczba, to będzie…
110 razy - znowu - 1,1.

45
00:02:53,381 --> 00:02:59,561
To jest 100, razy 1,1,
czyli ta wartość.

46
00:02:59,977 --> 00:03:05,047
Teraz znów pomnożymy to przez 1,1.
Pamiętacie, skąd to 1,1 się wzięło?

47
00:03:05,147 --> 00:03:08,963
1,1 jest tym samym,

48
00:03:09,063 --> 00:03:13,275
co 100% plus jeszcze 10%.

49
00:03:13,375 --> 00:03:17,114
Tyle właśnie uzyskujemy.
Mamy 100% pierwotnego depozytu

50
00:03:17,214 --> 00:03:19,343
plus jeszcze 10%,

51
00:03:19,443 --> 00:03:21,711
czyli mnożymy przez 1,1.

52
00:03:21,811 --> 00:03:25,148
A tu robimy to dwukrotnie.
Dwa razy mnożymy przez 1,1.

53
00:03:25,248 --> 00:03:28,592
Ile będziemy mieć po trzech latach?

54
00:03:29,076 --> 00:03:30,453
Po trzech latach

55
00:03:31,609 --> 00:03:34,416
będziemy mieli 100 razy…

56
00:03:34,516 --> 00:03:38,871
1,1 do potęgi trzeciej.

57
00:03:38,971 --> 00:03:42,411
A po upływie n lat
(bardziej abstrakcyjnie)…

58
00:03:42,511 --> 00:03:47,346
Będziemy mieli 100
razy 1,1 do potęgi n-tej.

59
00:03:47,446 --> 00:03:50,411
Jak się domyślacie,
niełatwo to obliczyć.

60
00:03:50,511 --> 00:03:54,242
W tej sytuacji mieliśmy 10%.

61
00:03:54,342 --> 00:03:57,865
Gdyby chodziło o, powiedzmy, 7%…

62
00:03:57,965 --> 00:04:00,094
Tutaj sytuacja jest inna.

63
00:04:00,194 --> 00:04:03,646
Procent składany - 7% rocznie.

64
00:04:03,746 --> 00:04:05,713
Po roku…

65
00:04:06,828 --> 00:04:10,334
będziemy więc mieli 100 razy…

66
00:04:10,434 --> 00:04:13,631
zamiast 1,1 będzie 100% plus 7%,

67
00:04:13,731 --> 00:04:15,860
czyli 1,07.

68
00:04:15,960 --> 00:04:18,846
Przejdźmy do trzeciego roku.

69
00:04:18,947 --> 00:04:21,224
Po trzecim roku… mogłem zrobić drugi…

70
00:04:21,324 --> 00:04:25,384
Byłoby to 100 razy 1,07 do potęgi…

71
00:04:26,003 --> 00:04:29,026
trzeciej, czyli 1,07 mnożone
przez siebie 3 razy.

72
00:04:29,126 --> 00:04:31,882
A po n latach byłoby to
1,07 do potęgi n.

73
00:04:31,982 --> 00:04:35,853
Pewnie już czujecie,
że chociaż zasada jest prosta,

74
00:04:35,953 --> 00:04:39,545
to obliczenie odsetek składanych
może być całkiem trudne.

75
00:04:39,645 --> 00:04:43,473
A gdybym spytał, ile trzeba czasu…

76
00:04:44,189 --> 00:04:46,990
Ile… czasu…

77
00:04:48,144 --> 00:04:51,062
zajmie…

78
00:04:52,292 --> 00:04:55,770
podwojenie się pieniędzy?

79
00:04:56,460 --> 00:05:00,373
Macie zastosować ten wzór.
Powiecie:

80
00:05:00,473 --> 00:05:04,428
„Żeby wkład się podwoił…
Zaczynam od 100$.

81
00:05:04,931 --> 00:05:08,739
Pomnożę to przez…
przyjmijmy stopę 10%.

82
00:05:08,839 --> 00:05:12,285
Mnożę przez 1,1…

83
00:05:12,385 --> 00:05:15,841
do potęgi x. Jest to równe…

84
00:05:15,941 --> 00:05:19,390
Wkład ma się podwoić,
więc to musi być równe 200$.

85
00:05:19,490 --> 00:05:24,080
Teraz muszę wyliczyć x.
Potrzebny będzie logarytm!

86
00:05:24,180 --> 00:05:29,166
Podzielę obie strony przez 100.
Zostanie: 1,1 do potęgi x równa się 2.

87
00:05:29,266 --> 00:05:31,604
Podzieliłem obie strony przez 100.

88
00:05:31,704 --> 00:05:35,667
Teraz wyznaczymy z obu stron
logarytm o podstawie 1,1

89
00:05:35,767 --> 00:05:39,498
i uzyskamy x. Celowo pokazuję,
że to dość skomplikowane.

90
00:05:39,598 --> 00:05:43,492
Trudne, ale są filmiki
o równaniach logarytmicznych;

91
00:05:43,592 --> 00:05:47,331
x to logarytm o podstawie 1,1 z dwóch.

92
00:05:47,431 --> 00:05:49,703
Nie obliczymy tego w pamięci!

93
00:05:49,803 --> 00:05:54,104
Zasada jest prosta, lecz ile czasu
zajmie podwojenie pieniędzy?

94
00:05:54,204 --> 00:05:58,778
Obliczenie dokładnego wyniku
nie jest łatwe.

95
00:05:58,878 --> 00:06:02,006
Jeśli macie zwykły kalkulator,

96
00:06:02,106 --> 00:06:06,318
możecie dodawać lata,
aż uzyskacie bliską liczbę,

97
00:06:06,418 --> 00:06:08,129
ale prostego sposobu nie ma.

98
00:06:08,229 --> 00:06:14,677
To przy 10%.
Przy 9,3% byłoby jeszcze trudniej.

99
00:06:14,777 --> 00:06:19,971
W następnym odcinku
przedstawię tzw. regułę 72,

100
00:06:20,071 --> 00:06:24,344
sposób obliczania w przybliżeniu,
jak długo (to nasze zadanie)…

101
00:06:24,444 --> 00:06:28,911
jak długo potrwa, aż podwoją się…
to bardzo ważne…

102
00:06:29,011 --> 00:06:32,254
Kiedy podwoją się wasze pieniądze?

103
00:06:32,354 --> 00:06:35,873
I sprawdzimy,
jak dokładne jest to przybliżenie.