WEBVTT

00:00:00.464 --> 00:00:07.163
W tym odcinku opowiem o procencie…
o procencie składanym,

00:00:07.263 --> 00:00:12.781
a potem omówię szybki,
przybliżony sposób obliczania,

00:00:12.881 --> 00:00:15.023
jak prędko następuje kapitalizacja.

00:00:15.123 --> 00:00:18.947
I zobaczymy, jak dobre
jest to przybliżenie.

00:00:19.047 --> 00:00:22.085
Powiedzmy, że prowadzę jakiś bank

00:00:22.185 --> 00:00:28.096
i proponuję odsetki 10%,
przy rocznej kapitalizacji.

00:00:28.196 --> 00:00:32.360
Kapitalizacja roczna.

00:00:33.398 --> 00:00:37.616
W prawdziwych bankach tak nie jest.
Odsetki kapitalizuje się ciągle,

00:00:37.716 --> 00:00:41.122
ale tu, dla uproszczenia,
zróbmy kapitalizację co roku.

00:00:41.222 --> 00:00:44.914
Będzie łatwiej liczyć, a o stałej
kapitalizacji jeszcze opowiem.

00:00:45.014 --> 00:00:48.549
A wszystko to znaczy…
Powiedzmy, że dziś…

00:00:49.644 --> 00:00:53.046
np. dziś wpłacacie 100$ na konto.

00:00:53.146 --> 00:00:57.349
Jeśli je tam zostawicie, to po roku

00:00:57.449 --> 00:01:00.523
będziecie mieć swoje 100$

00:01:01.559 --> 00:01:04.690
plus 10% odsetek od tego depozytu.

00:01:04.790 --> 00:01:08.823
10% ze stu to 10$.

00:01:08.923 --> 00:01:12.612
Po roku będziecie więc mieli 110$.

00:01:13.351 --> 00:01:17.194
110$. Można powiedzieć,
że dodałem 10% do stu.

00:01:17.294 --> 00:01:18.715
A po dwóch latach,

00:01:19.667 --> 00:01:22.105
czyli rok po pierwszym roku,

00:01:22.205 --> 00:01:25.310
po dwóch latach uzyskacie 10%

00:01:25.410 --> 00:01:27.365
nie tylko od 100$.

00:01:27.465 --> 00:01:30.518
Otrzymacie 10% od 110$.

00:01:30.618 --> 00:01:34.621
A 10% ze 110 to…
Otrzymacie jeszcze 11$,

00:01:34.721 --> 00:01:38.661
bo 10% od 110 to 11,
uzyskacie więc 110…

00:01:39.892 --> 00:01:43.521
To był wasz depozyt po wejściu
w drugi rok,

00:01:43.621 --> 00:01:47.519
i dostajecie jeszcze 10% od tego,
nie od pierwotnego depozytu.

00:01:47.619 --> 00:01:49.535
Stąd - odsetki składane.

00:01:49.635 --> 00:01:53.499
Dostajecie odsetki od odsetek
z poprzednich lat.

00:01:53.599 --> 00:01:56.703
Zatem – 110$ plus 11$.

00:01:56.803 --> 00:02:00.449
Co roku nasze odsetki,
jeśli nie wypłacamy pieniędzy, rosną.

00:02:00.549 --> 00:02:06.227
Mamy już 121$.
I mógłbym to robić dalej.

00:02:06.327 --> 00:02:08.460
Ogólny sposób wyliczenia,

00:02:08.560 --> 00:02:13.554
ile będziecie mieli po upływie n lat,
polega na mnożeniu.

00:02:14.125 --> 00:02:17.306
Załatwię sprawę algebraicznie.

00:02:17.406 --> 00:02:20.618
Powiedzmy, że to mój pierwszy
depozyt,

00:02:20.718 --> 00:02:22.856
czy kapitał, jak chcecie…

00:02:23.536 --> 00:02:25.321
Po upływie x lat…

00:02:25.421 --> 00:02:30.848
Po roku mnożymy… żeby uzyskać
tę kwotę, mnożymy przez 1,1.

00:02:31.556 --> 00:02:34.366
Zrobię tak.
Nie za bardzo abstrakcyjnie.

00:02:34.466 --> 00:02:38.754
Obliczę.
Żeby dojść do tej wartości,

00:02:38.854 --> 00:02:41.762
pomnożyliśmy tę liczbę, 100,

00:02:42.372 --> 00:02:47.695
przez 1 plus 10%, czyli przez 1,1.

00:02:48.251 --> 00:02:53.281
A ta liczba, to będzie…
110 razy - znowu - 1,1.

00:02:53.381 --> 00:02:59.561
To jest 100, razy 1,1,
czyli ta wartość.

00:02:59.977 --> 00:03:05.047
Teraz znów pomnożymy to przez 1,1.
Pamiętacie, skąd to 1,1 się wzięło?

00:03:05.147 --> 00:03:08.963
1,1 jest tym samym,

00:03:09.063 --> 00:03:13.275
co 100% plus jeszcze 10%.

00:03:13.375 --> 00:03:17.114
Tyle właśnie uzyskujemy.
Mamy 100% pierwotnego depozytu

00:03:17.214 --> 00:03:19.343
plus jeszcze 10%,

00:03:19.443 --> 00:03:21.711
czyli mnożymy przez 1,1.

00:03:21.811 --> 00:03:25.148
A tu robimy to dwukrotnie.
Dwa razy mnożymy przez 1,1.

00:03:25.248 --> 00:03:28.592
Ile będziemy mieć po trzech latach?

00:03:29.076 --> 00:03:30.453
Po trzech latach

00:03:31.609 --> 00:03:34.416
będziemy mieli 100 razy…

00:03:34.516 --> 00:03:38.871
1,1 do potęgi trzeciej.

00:03:38.971 --> 00:03:42.411
A po upływie n lat
(bardziej abstrakcyjnie)…

00:03:42.511 --> 00:03:47.346
Będziemy mieli 100
razy 1,1 do potęgi n-tej.

00:03:47.446 --> 00:03:50.411
Jak się domyślacie,
niełatwo to obliczyć.

00:03:50.511 --> 00:03:54.242
W tej sytuacji mieliśmy 10%.

00:03:54.342 --> 00:03:57.865
Gdyby chodziło o, powiedzmy, 7%…

00:03:57.965 --> 00:04:00.094
Tutaj sytuacja jest inna.

00:04:00.194 --> 00:04:03.646
Procent składany - 7% rocznie.

00:04:03.746 --> 00:04:05.713
Po roku…

00:04:06.828 --> 00:04:10.334
będziemy więc mieli 100 razy…

00:04:10.434 --> 00:04:13.631
zamiast 1,1 będzie 100% plus 7%,

00:04:13.731 --> 00:04:15.860
czyli 1,07.

00:04:15.960 --> 00:04:18.846
Przejdźmy do trzeciego roku.

00:04:18.947 --> 00:04:21.224
Po trzecim roku… mogłem zrobić drugi…

00:04:21.324 --> 00:04:25.384
Byłoby to 100 razy 1,07 do potęgi…

00:04:26.003 --> 00:04:29.026
trzeciej, czyli 1,07 mnożone
przez siebie 3 razy.

00:04:29.126 --> 00:04:31.882
A po n latach byłoby to
1,07 do potęgi n.

00:04:31.982 --> 00:04:35.853
Pewnie już czujecie,
że chociaż zasada jest prosta,

00:04:35.953 --> 00:04:39.545
to obliczenie odsetek składanych
może być całkiem trudne.

00:04:39.645 --> 00:04:43.473
A gdybym spytał, ile trzeba czasu…

00:04:44.189 --> 00:04:46.990
Ile… czasu…

00:04:48.144 --> 00:04:51.062
zajmie…

00:04:52.292 --> 00:04:55.770
podwojenie się pieniędzy?

00:04:56.460 --> 00:05:00.373
Macie zastosować ten wzór.
Powiecie:

00:05:00.473 --> 00:05:04.428
„Żeby wkład się podwoił…
Zaczynam od 100$.

00:05:04.931 --> 00:05:08.739
Pomnożę to przez…
przyjmijmy stopę 10%.

00:05:08.839 --> 00:05:12.285
Mnożę przez 1,1…

00:05:12.385 --> 00:05:15.841
do potęgi x. Jest to równe…

00:05:15.941 --> 00:05:19.390
Wkład ma się podwoić,
więc to musi być równe 200$.

00:05:19.490 --> 00:05:24.080
Teraz muszę wyliczyć x.
Potrzebny będzie logarytm!

00:05:24.180 --> 00:05:29.166
Podzielę obie strony przez 100.
Zostanie: 1,1 do potęgi x równa się 2.

00:05:29.266 --> 00:05:31.604
Podzieliłem obie strony przez 100.

00:05:31.704 --> 00:05:35.667
Teraz wyznaczymy z obu stron
logarytm o podstawie 1,1

00:05:35.767 --> 00:05:39.498
i uzyskamy x. Celowo pokazuję,
że to dość skomplikowane.

00:05:39.598 --> 00:05:43.492
Trudne, ale są filmiki
o równaniach logarytmicznych;

00:05:43.592 --> 00:05:47.331
x to logarytm o podstawie 1,1 z dwóch.

00:05:47.431 --> 00:05:49.703
Nie obliczymy tego w pamięci!

00:05:49.803 --> 00:05:54.104
Zasada jest prosta, lecz ile czasu
zajmie podwojenie pieniędzy?

00:05:54.204 --> 00:05:58.778
Obliczenie dokładnego wyniku
nie jest łatwe.

00:05:58.878 --> 00:06:02.006
Jeśli macie zwykły kalkulator,

00:06:02.106 --> 00:06:06.318
możecie dodawać lata,
aż uzyskacie bliską liczbę,

00:06:06.418 --> 00:06:08.129
ale prostego sposobu nie ma.

00:06:08.229 --> 00:06:14.677
To przy 10%.
Przy 9,3% byłoby jeszcze trudniej.

00:06:14.777 --> 00:06:19.971
W następnym odcinku
przedstawię tzw. regułę 72,

00:06:20.071 --> 00:06:24.344
sposób obliczania w przybliżeniu,
jak długo (to nasze zadanie)…

00:06:24.444 --> 00:06:28.911
jak długo potrwa, aż podwoją się…
to bardzo ważne…

00:06:29.011 --> 00:06:32.254
Kiedy podwoją się wasze pieniądze?

00:06:32.354 --> 00:06:35.873
I sprawdzimy,
jak dokładne jest to przybliżenie.