Total distance traveled by a particle

A posição de uma partícula
movendo-se ao longo

de uma linha é dada por s de t igual

a 2/3 t à terceira menos seis t ao
quadrado mais dez t,

para t maior ou igual a zero,

onde t é o tempo em segundos.

A partícula se move pra a esquerda e pra
direita nos primeiros seis segundos.

Qual a distância total percorrida pela
partícula para zero menor ou

igual a t, que é menor ou igual a seis?

Vamos recordar o que queremos

dizer com distância total.

Se eu fosse começar ali, e se fosse

mover três unidades para a direita

e então fosse mover quatro unidades
para a esquerda, -- direi quatro negativo

para mostrar que estou me movendo
para a esquerda --

então minha distância total aqui é sete.

Três para direita e quatro
para esquerda.

Mesmo assim minha posição aqui

será igual a um negativo.

Você poderia dizer que
minha distância líquida,

ou que meu deslocamento é menos um.

Estou um à esquerda de onde iniciei.

A distância total percorrida é sete.

Agora deixamos isto claro.

Encorajo você a pausar o vídeo aqui

e tentar responder a questão.

Qual a distância total percorrida

pela partícula nestes primeiros
seis segundos?

O jeito mais fácil de abordar
este problema

bem, esta partícula está se

movendo para a direita

ou para a esquerda?

Ela estará se movendo para a direita

quando a velocidade for positiva, e

estará se movendo para a esquerda quando
a velocidade for negativa.

Isto resume-se a pensar quando a
velocidade é positiva ou negativa.

E para tanto, vamos traçar

a função da velocidade ou fazer
um esboço disso.

Esta é a função de posição.

A função de velocidade será a

derivada da função de posição
em relação ao tempo.

A derivada de 2/3 t à terceira será

dois t ao quadrado.

Então temos menos doze t mais dez.

Vamos tentar traçar isso.

Isto será uma parábola de
abertura para cima.

Que é claramente uma quadrática.

O coeficiente do termo de segundo grau,
-- do termo t ao quadrado --

é um número positivo, por isso teremos

uma parábola com abertura para cima.

Será algo parecido com isso.

Estamos assumindo que
ela muda de direção.

Ela será positiva durante algum tempo

e negativa o resto.

Então ela deveria cruzar o eixo t
onde ela for negativa.

A função será negativa naquele intervalo,

e será positiva fora dele.

Então o jeito mais fácil para fazer isso

é tentar achar quais são os zeros.

Assim podemos desenhar esta parábola
de abertura para cima.

Para achar os zeros, vamos igualar isto
a zero, de forma que temos

dois t ao quadrado menos doze t
mais dez é igual a zero.

Dividimos ambos os lados por dois,
só para tirar este dois,

tornando este coeficiente um.

Obtemos t ao quadrado menos seis t
mais cinco é igual a zero.

Desta forma fica bem mais fácil fatorar.

Pode ser fatorado em t menos um
vezes t menos cinco.

Um negativo vezes cinco negativo é cinco.

Um negativo mais cinco negativo
é seis negativo.

Isto é igual a zero.

Este lado esquerdo da equação

será igual a zero se algum destes for

igual a zero.

O produto de dois termos
se igualando a zero

quer dizer que um dos dois é zero.

Então ou t é igual a um,
ou t é igual a cinco.

Vamos traçar isso.

Vamos desenhar os eixos.

Posso dizer que este é meu
eixo de velocidade.

E deixe-me desenhar -- nós só
nos importamos

com os valores positivos de tempo.

Então vamos desenhar algo assim.

Tempo positivo.

E vamos ver.

Vamos pegar o um, dois,
três, quatro e cinco.

Poderíamos continuar.

Então este t é igual a um.

Este t é igual a cinco.

Este é nosso eixo t.

Vamos traçar isso.

Será uma parábola de abertura para cima.

E ela vai cruzar estes dois pontos.

E seu topo será quando

t é igual a três entre estes dois pontos.

Então ela vai se parecer com algo assim.

Este é a única forma de fazer uma parábola

com abertura para cima que
cruze o eixo t nestes pontos.

Então ela vai desse jeito, e depois assim.

Vai cruzar aqui. Quando t é igual a zero,
podemos imaginar.

Quando t é igual a zero,
a velocidade é dez.

Então o cruzamento em v
seria em dez bem aqui.

Então isso é como ela se pareceria.

Então vemos que a velocidade é
positiva para o tempo

entre zero e um.

E também é positiva para o tempo
superior a cinco segundos.

E vemos que nossa velocidade é negativa,

ou que estamos no movendo para a esquerda,
entre um e cinco segundos.

A velocidade está abaixo
do eixo t bem aqui.

Ela é negativa.

Vamos pensar sobre qual é nossa posição

em ambos estes pontos, no instante zero,
no instante um e no cinco.

Também nos preocupamos
com o instante seis.

Então pensamos em qual distância ela teria

que ter percorrido para se deslocar
entre estes tempos.

Vamos pensar sobre isso.

Vamos fazer uma pequena tabela aqui.

Isso é tempo e isso é nossa
posição naquele tempo.

Estamos vendo o tempo zero,
tempo um, tempo cinco segundos,

e tempo seis segundos.

Em zero segundos, sabemos que nossa
posição é zero.

S de zero é zero.

Em um segundo, isto será 2/3 menos
seis mais dez.

Então será quatro e 2/3.

Vou anotar quatro e 2/3.

Em cinco segundos, vamos ver, será
2/3 vezes -- vou escrever

isso aqui embaixo --

será 2/3 vezes cento e vinte e cinco.

Que é o mesmo que duzentos
e cinquenta sobre três,

Vamos ver, duzentos e
cinquenta sobre três.

Isto é o mesmo.

Oitenta e três vezes três é duzentos e
quarenta e nove e isto é

oitenta e três e 1/3.

Isto é o primeira termo.

Menos seis vezes vinte e cinco.

Isto será menos cento e cinquenta
mais dez vezes cinco.

Então mais cinquenta.

Isto se simplificará.

Menos cento e cinquenta mais cinquenta,
que é menos cem.

Oitenta e três e 1/3 menos cem.

Isso será menos dezesseis e 2/3.

Então menos dezesseis e 2/3 é a posição
depois de cinco segundos.

E então em seis segundos, ela será

2/3 vezes seis à terceira.

Preciso escrever isso aqui.

2/3 vezes seis à terceira menos seis
vezes seis ao quadrado.

Bem, isso será menos seis
à terceira de novo.

Seis vezes seis ao quadrado mais sessenta.

Vamos ver.

Como podemos simplificar isto?

Essa parte aqui podemos reescrever

como -- poderíamos fatorar
como seis à terceira.

Isto é seis à terceira vezes 2/3
mais um mais sessenta.

Vou descer um pouco para ter mais espaço.

Então teremos seis à terceira vezes
menos 1/3 mais sessenta.

Vamos ver.

Vamos escrever desta forma.

Isto será seis ao quadrado vezes seis
vezes menos 1/3 mais sessenta.

Isto bem aqui é menos dois.

Então temos menos dois
vezes trinta e seis.

E isto é menos setenta e
dois mais sessenta.

Então isso aqui será menos doze.

Agora temos que pensar,
qual a distância percorrida?

Bem, ela começa indo para a direita.

Ela irá para a direita quatro e 2/3.

Deixe-me escrever isso.

Teremos quatro e 2/3.

E então ela caminhará para a esquerda.

Vamos ver, para ir de quatro e 2/3 para
menos dezesseis e 2/3,

significa que ela viajou quatro
e 2/3 de novo.

Ela viajou quatro e 2/3 para a esquerda,

e então mais dezesseis e
2/3 para a esquerda.

Para lembrar, estamos em quatro e
2/3 à direita agora.

Temos que ir 4 e 2/3 para a esquerda
voltando à origem,

e então temos que ir dezesseis e 2/3
a mais para a esquerda.

Por isso nos movemos daqui para aqui.

Será quatro e 2/3 para a esquerda seguido
de mais dezesseis e 2/3

para a esquerda.

Outra forma de pensar nisso, seria qual

a diferença entre estes dois pontos?

Será quatro e 2/3 mais dezesseis e 2/3.

Se você fizer quatro e 2/3 menos negativo
de dezesseis e 2/3,

terá o mesmo que quatro e 2/3 mais

dezesseis e 2/3.

E então para ir de dezesseis e 2/3
negativo para doze negativo,

significa que você se moveu outros quatro
e 2/3 agora para a direita.

Então agora isso é quatro e 2/3.

Agora você está se movendo quatro e
2/3 para a direita.

E então só temos que somar todos estes.

Somar todos estes valores.

O que teremos?

Teremos 2/3 vezes quatro,
isto é parte disso

aqui, a parte de fração disto.

2/3 vezes quatro é oito sobre três.

E vejamos, quatro mais quatro mais
dezesseis mais quatro é vinte e oito.

Então vinte e oito e 8/3. Isso é um jeito
estranho de escrever isto.

Porque 8/3 é o mesmo que dois e 2/3.

Então vinte e oito mais dois
e 2/3 é trinta e 2/3.

Então a distância total percorrida durante
os seis segundos

é trinta e 2/3 unidades de distância.

Traduzido por: [Sérgio Fleury]
Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]