A posição de uma partícula movendo-se ao longo
de uma linha é dada por s de t igual
a 2/3 t à terceira menos seis t ao quadrado mais dez t,
para t maior ou igual a zero,
onde t é o tempo em segundos.
A partícula se move pra a esquerda e pra direita nos primeiros seis segundos.
Qual a distância total percorrida pela partícula para zero menor ou
igual a t, que é menor ou igual a seis?
Vamos recordar o que queremos
dizer com distância total.
Se eu fosse começar ali, e se fosse
mover três unidades para a direita
e então fosse mover quatro unidades para a esquerda, -- direi quatro negativo
para mostrar que estou me movendo para a esquerda --
então minha distância total aqui é sete.
Três para direita e quatro para esquerda.
Mesmo assim minha posição aqui
será igual a um negativo.
Você poderia dizer que minha distância líquida,
ou que meu deslocamento é menos um.
Estou um à esquerda de onde iniciei.
A distância total percorrida é sete.
Agora deixamos isto claro.
Encorajo você a pausar o vídeo aqui
e tentar responder a questão.
Qual a distância total percorrida
pela partícula nestes primeiros seis segundos?
O jeito mais fácil de abordar este problema
bem, esta partícula está se
movendo para a direita
ou para a esquerda?
Ela estará se movendo para a direita
quando a velocidade for positiva, e
estará se movendo para a esquerda quando a velocidade for negativa.
Isto resume-se a pensar quando a velocidade é positiva ou negativa.
E para tanto, vamos traçar
a função da velocidade ou fazer um esboço disso.
Esta é a função de posição.
A função de velocidade será a
derivada da função de posição em relação ao tempo.
A derivada de 2/3 t à terceira será
dois t ao quadrado.
Então temos menos doze t mais dez.
Vamos tentar traçar isso.
Isto será uma parábola de abertura para cima.
Que é claramente uma quadrática.
O coeficiente do termo de segundo grau, -- do termo t ao quadrado --
é um número positivo, por isso teremos
uma parábola com abertura para cima.
Será algo parecido com isso.
Estamos assumindo que ela muda de direção.
Ela será positiva durante algum tempo
e negativa o resto.
Então ela deveria cruzar o eixo t onde ela for negativa.
A função será negativa naquele intervalo,
e será positiva fora dele.
Então o jeito mais fácil para fazer isso
é tentar achar quais são os zeros.
Assim podemos desenhar esta parábola de abertura para cima.
Para achar os zeros, vamos igualar isto a zero, de forma que temos
dois t ao quadrado menos doze t mais dez é igual a zero.
Dividimos ambos os lados por dois, só para tirar este dois,
tornando este coeficiente um.
Obtemos t ao quadrado menos seis t mais cinco é igual a zero.
Desta forma fica bem mais fácil fatorar.
Pode ser fatorado em t menos um vezes t menos cinco.
Um negativo vezes cinco negativo é cinco.
Um negativo mais cinco negativo é seis negativo.
Isto é igual a zero.
Este lado esquerdo da equação
será igual a zero se algum destes for
igual a zero.
O produto de dois termos se igualando a zero
quer dizer que um dos dois é zero.
Então ou t é igual a um, ou t é igual a cinco.
Vamos traçar isso.
Vamos desenhar os eixos.
Posso dizer que este é meu eixo de velocidade.
E deixe-me desenhar -- nós só nos importamos
com os valores positivos de tempo.
Então vamos desenhar algo assim.
Tempo positivo.
E vamos ver.
Vamos pegar o um, dois, três, quatro e cinco.
Poderíamos continuar.
Então este t é igual a um.
Este t é igual a cinco.
Este é nosso eixo t.
Vamos traçar isso.
Será uma parábola de abertura para cima.
E ela vai cruzar estes dois pontos.
E seu topo será quando
t é igual a três entre estes dois pontos.
Então ela vai se parecer com algo assim.
Este é a única forma de fazer uma parábola
com abertura para cima que cruze o eixo t nestes pontos.
Então ela vai desse jeito, e depois assim.
Vai cruzar aqui. Quando t é igual a zero, podemos imaginar.
Quando t é igual a zero, a velocidade é dez.
Então o cruzamento em v seria em dez bem aqui.
Então isso é como ela se pareceria.
Então vemos que a velocidade é positiva para o tempo
entre zero e um.
E também é positiva para o tempo superior a cinco segundos.
E vemos que nossa velocidade é negativa,
ou que estamos no movendo para a esquerda, entre um e cinco segundos.
A velocidade está abaixo do eixo t bem aqui.
Ela é negativa.
Vamos pensar sobre qual é nossa posição
em ambos estes pontos, no instante zero, no instante um e no cinco.
Também nos preocupamos com o instante seis.
Então pensamos em qual distância ela teria
que ter percorrido para se deslocar entre estes tempos.
Vamos pensar sobre isso.
Vamos fazer uma pequena tabela aqui.
Isso é tempo e isso é nossa posição naquele tempo.
Estamos vendo o tempo zero, tempo um, tempo cinco segundos,
e tempo seis segundos.
Em zero segundos, sabemos que nossa posição é zero.
S de zero é zero.
Em um segundo, isto será 2/3 menos seis mais dez.
Então será quatro e 2/3.
Vou anotar quatro e 2/3.
Em cinco segundos, vamos ver, será 2/3 vezes -- vou escrever
isso aqui embaixo --
será 2/3 vezes cento e vinte e cinco.
Que é o mesmo que duzentos e cinquenta sobre três,
Vamos ver, duzentos e cinquenta sobre três.
Isto é o mesmo.
Oitenta e três vezes três é duzentos e quarenta e nove e isto é
oitenta e três e 1/3.
Isto é o primeira termo.
Menos seis vezes vinte e cinco.
Isto será menos cento e cinquenta mais dez vezes cinco.
Então mais cinquenta.
Isto se simplificará.
Menos cento e cinquenta mais cinquenta, que é menos cem.
Oitenta e três e 1/3 menos cem.
Isso será menos dezesseis e 2/3.
Então menos dezesseis e 2/3 é a posição depois de cinco segundos.
E então em seis segundos, ela será
2/3 vezes seis à terceira.
Preciso escrever isso aqui.
2/3 vezes seis à terceira menos seis vezes seis ao quadrado.
Bem, isso será menos seis à terceira de novo.
Seis vezes seis ao quadrado mais sessenta.
Vamos ver.
Como podemos simplificar isto?
Essa parte aqui podemos reescrever
como -- poderíamos fatorar como seis à terceira.
Isto é seis à terceira vezes 2/3 mais um mais sessenta.
Vou descer um pouco para ter mais espaço.
Então teremos seis à terceira vezes menos 1/3 mais sessenta.
Vamos ver.
Vamos escrever desta forma.
Isto será seis ao quadrado vezes seis vezes menos 1/3 mais sessenta.
Isto bem aqui é menos dois.
Então temos menos dois vezes trinta e seis.
E isto é menos setenta e dois mais sessenta.
Então isso aqui será menos doze.
Agora temos que pensar, qual a distância percorrida?
Bem, ela começa indo para a direita.
Ela irá para a direita quatro e 2/3.
Deixe-me escrever isso.
Teremos quatro e 2/3.
E então ela caminhará para a esquerda.
Vamos ver, para ir de quatro e 2/3 para menos dezesseis e 2/3,
significa que ela viajou quatro e 2/3 de novo.
Ela viajou quatro e 2/3 para a esquerda,
e então mais dezesseis e 2/3 para a esquerda.
Para lembrar, estamos em quatro e 2/3 à direita agora.
Temos que ir 4 e 2/3 para a esquerda voltando à origem,
e então temos que ir dezesseis e 2/3 a mais para a esquerda.
Por isso nos movemos daqui para aqui.
Será quatro e 2/3 para a esquerda seguido de mais dezesseis e 2/3
para a esquerda.
Outra forma de pensar nisso, seria qual
a diferença entre estes dois pontos?
Será quatro e 2/3 mais dezesseis e 2/3.
Se você fizer quatro e 2/3 menos negativo de dezesseis e 2/3,
terá o mesmo que quatro e 2/3 mais
dezesseis e 2/3.
E então para ir de dezesseis e 2/3 negativo para doze negativo,
significa que você se moveu outros quatro e 2/3 agora para a direita.
Então agora isso é quatro e 2/3.
Agora você está se movendo quatro e 2/3 para a direita.
E então só temos que somar todos estes.
Somar todos estes valores.
O que teremos?
Teremos 2/3 vezes quatro, isto é parte disso
aqui, a parte de fração disto.
2/3 vezes quatro é oito sobre três.
E vejamos, quatro mais quatro mais dezesseis mais quatro é vinte e oito.
Então vinte e oito e 8/3. Isso é um jeito estranho de escrever isto.
Porque 8/3 é o mesmo que dois e 2/3.
Então vinte e oito mais dois e 2/3 é trinta e 2/3.
Então a distância total percorrida durante os seis segundos
é trinta e 2/3 unidades de distância.
Traduzido por: [Sérgio Fleury] Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]