-
Pozice částice pohybující se
po číselné ose je dána funkcí:
-
s(t) je rovno 2/3(t na třetí)
minus 6(t na druhou) plus 10t,
-
kde ‚t‛ je větší nebo rovno 0
a ‚t‛ se rovná času v sekundách.
-
Částice se pohybuje vlevo i vpravo
v prvních 6 sekundách.
-
Jaká je celková
dráha uražená částicí,
-
je-li ‚t‛ větší nebo rovno 0
a menší nebo rovno 6?
-
Připomeňme si, co se myslí
pod pojmem celková dráha.
-
Kdybych začal zde
a posunul se o 3 jednotky doprava,
-
a pak zpět o 4 jednotky doleva,
což zapíši jako −4,
-
pak by moje
celková dráha byla 7.
-
3 doprava a 4 doleva.
-
I když se nacházím zde
na souřadnici −1.
-
Nebo bychom řekli,
že celkové posunutí je −1.
-
Jsme o 1 jednotku
vlevo od počátku.
-
Celková dráha je přitom 7.
-
To jsme si tedy ujasnili.
-
Nyní vás povzbudím, abyste zastavili
video a zkusili zodpovědět naši otázku.
-
Jaká je tedy celková dráha
uražená částicí v prvních 6 sekundách?
-
Nejjednodušší způsob,
jak příjít s odpovědí, je uvědomit si,
-
kdy se částice pohybuje vpravo
a kdy se pohybuje vlevo.
-
A bude se pohybovat vpravo,
když naše rychlost je kladná
-
a vlevo, když bude
rychlost záporná.
-
Ve výsledku tedy musíme přijít na to,
kdy je rychlost kladná či záporná.
-
A abychom si to ujasnili, načrtneme si
graf závislosti rychlosti na čase.
-
Toto je tedy funkce dráhy
-
a funkci rychlosti získáme derivováním
funkce dráhy vzhledem k času.
-
Derivace 2/3 krát t na třetí
je 2 krát t na druhou.
-
A potom dostaneme
−12t plus 10.
-
Takže si to zkusme načrtnout.
-
Bude se jednat o shora
otevřenou parabolu.
-
Očividně se jedná
o kvadratickou funkci.
-
A koeficient před největším členem,
před členem t na druhou, je kladný,
-
tudíž parabola je
shora otevřená.
-
Bude to vypadat zhruba takto.
-
Navíc předpokládáme,
že částice mění směr.
-
Takže rychlost je nějaký čas
kladná a nějaký čas záporná.
-
Mělo by to protnout osu ‚t‛ v místě,
kde mění směr.
-
Funkce bude v tomto intervalu záporná
a mimo tento interval bude kladná.
-
Nejjednodušší způsob bude,
když najdeme naše 0.
-
Pak si můžeme
načrtnout naši parabolu.
-
Abychom našli kořeny,
stačí tento výraz položit rovno 0,
-
takže dostaneme 2 krát t na druhou
minus 12t plus 10 se rovná 0.
-
Vydělíme obě strany 2, takže
koeficient nejvyššího členu je 1.
-
Dostaneme t na druhou minus
6t plus 5 se rovná 0.
-
Teď to bude jednodušší.
-
Můžeme to upravit na tvar
(t minus 1) krát (t minus 5).
-
−1 krát −5 je 5.
−1 plus −5 je −6.
-
To je rovno 0.
-
Tato levá strana
rovnice se bude rovnat 0,
-
pokud jeden z těchto
členů je roven 0.
-
Dva členy v součinu se budou rovnat 0,
pokud se jeden z nich rovná 0.
-
Takže buď ‚t‛ se
rovná 1 nebo 5.
-
Teď si to načrtněme.
-
Zde máme naše osy.
-
Toto je moje osa pro rychlost.
-
A druhá osa pro čas,
která je pouze kladná.
-
Načrtneme něco takového.
-
Kladný čas.
-
Označme 1; 2; 3; 4; 5.
-
Mohli bychom pokračovat.
-
Takže ‚t‛ je rovno 1.
-
Tady je ‚t‛ rovno 5.
-
Toto je naše osa času.
-
Nakresleme parabolu.
-
Jedná se o shora otevřenou parabolu,
která bude procházet oběma těmito body.
-
Vrchol bude, když ‚t‛ je rovno 3,
mezi našimi kořeny.
-
Takže parabola bude
vypadat zhruba takto.
-
Jedině takto nakreslíme
shora otevřenou parabolu,
-
která protíná osu ‚t‛
v obou těchto bodech.
-
Takže to bude takto a takto.
-
Bude se to protínat.
-
Když ‚t‛ je rovno 0,
můžeme zjistit…
-
Když ‚t‛ je rovno 0,
pak rychlost je 10.
-
Parabola protne osu ‚v‛
zde nahoře v 10.
-
Takto vypadá naše parabola.
-
Vidíme, že rychlost je
kladná pro časy mezi 0 a 1.
-
A zároveň je kladná
pro čas větší než 5 sekund.
-
A vidíme, že naše
rychlost je záporná,
-
nebo-li se pohybujeme doleva,
v čase mezi 1 a 5 sekundami.
-
Naše rychlost je pod osou ‚t‛,
právě tady a je záporná.
-
Zamysleme se, jaká je pozice
pro každý z těchto bodů.
-
V čase 0; 1; 5 a v čase 6.
-
A pak se podíváme na dráhu
uraženou mezi těmito časy.
-
Takže se na to podívejme.
-
Udělejme si zde
malou tabulku.
-
Toto je čas, a toto
je pozice v tom čase.
-
Zajímají nás časy
0; 1; 5 a čas 6 sekund.
-
Víme, že v bodě 0 je
naše pozice 0.
-
s(f) je rovno 0.
-
V čase 1 sekunda,
to bude 2/3 minus 6 plus 10.
-
Nebo-li 4 a 2/3.
-
Zapíšeme 4 a 2/3.
-
V čase 5 sekund,
to je 2/3 krát…
-
Toto si raději rozepíši.
-
...2/3 krát 125,
což je 250 děleno 3,
-
to je to samé jako 83 krát 3, a to je 249,
takže se to rovná 83 a 1/3.
-
To je první člen.
-
Minus 6 krát 25.
-
To je −150 plus 10 krát 5,
takže plus 50.
-
A to se zjednoduší.
-
−150 plus 50 bude −100.
-
83 a 1/3 minus 100,
to je −16 a 2/3.
-
−16 a 2/3 je naše pozice
v čase 5 sekund.
-
A pak v čase 6 sekund,
to bude 2/3 krát 6 na třetí…
-
Toto si musím rozepsat.
-
2/3 krát 6 na třetí
minus 6 krát 6 na druhou.
-
To bude jen minus 6 na třetí,
6 krát 6 na druhou, plus 60.
-
Podívejme se, jak to
můžeme zjednodušit?
-
Tuto část můžeme zapsat jako…
-
Když vytkneme 6 na třetí.
-
6 na třetí krát
(2/3 minus 1) plus 60.
-
Potřebuji trochu více místa.
-
6 na třetí krát −1/3 plus 60.
-
A teď uvidíme,
zapišme to takto.
-
To bude 6 na druhou
krát 6 krát (−1/3) plus 60.
-
Toto je rovno −2, takže −2 krát 36.
což je −72 plus 60.
-
Toto tedy bude −12.
-
Teď se zamysleme,
jakou dráhu částice urazila?
-
Začne cestovat doprava a
urazí dráhu 4 a 2/3 doprava.
-
Takže si to zapišme.
-
Zde máme 4 a 2/3.
-
A pak se začne
pohybovat doleva.
-
Z 4 a 2/3 se posunete do −16 a 2/3,
takže se posunete o dalších 4 a 2/3.
-
Posunete se o 4 a 2/3 doleva
a pak o dalších 16 a 2/3 doleva.
-
Takže popořadě,
teď jsme v 4 a 2/3.
-
Odtud musíme zpět na 0 a pak
musíme jít doleva do −16 a 2/3.
-
Proto pohyb odtud sem je 4 a 2/3 doleva,
který následuje pohybem doleva o 16 a 2/3.
-
Další způsob,
jak tomu porozumět,
-
je podívat se na rozdíl
mezi těmito dvěma body.
-
To bude 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.
-
Nebo 4 a 2/3 minus −16 2/3,
což vám dá stejný výsledek,
-
jako 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.
-
A pak jdete z −16
a 2/3 do −12.
-
To znamená, že jste urazili
další 4 a 2/3 doprava.
-
Takže to je 4 a 2/3.
-
Teď se pohybujete
4 a 2/3 směrem doprava.
-
A teď jenom musíme
všechno sečíst.
-
Sečteme všechny hodnoty.
-
Kolik to tedy bude?
-
Bude to 2/3 krát 4,
ta část pravé strany, ty zlomky.
-
2/3 krát 4 je 8/3.
-
A tak, 4 plus 4 plus
16 plus 4 je 28.
-
28 a 8/3,
to je divný způsob zápisu,
-
jelikož 8/3 se dá
přepsat jako 2 a 2/3.
-
Takže 28 plus 2 plus 2/3
se rovná 30 a 2/3.
-
Celková dráha uražená částicí během
prvních 6 sekund je 30 a 2/3 jednotek.
Khan Academy
