1
00:00:00,620 --> 00:00:03,910
Pozice částice pohybující se
po číselné ose je dána funkcí:

2
00:00:03,910 --> 00:00:08,810
s(t) je rovno 2/3(t na třetí)
minus 6(t na druhou) plus 10t,

3
00:00:08,810 --> 00:00:12,850
kde ‚t‛ je větší nebo rovno 0
a ‚t‛ se rovná času v sekundách.

4
00:00:12,850 --> 00:00:16,340
Částice se pohybuje vlevo i vpravo
v prvních 6 sekundách.

5
00:00:16,340 --> 00:00:19,020
Jaká je celková
dráha uražená částicí,

6
00:00:19,020 --> 00:00:23,042
je-li ‚t‛ větší nebo rovno 0
a menší nebo rovno 6?

7
00:00:23,042 --> 00:00:26,800
Připomeňme si, co se myslí
pod pojmem celková dráha.

8
00:00:26,800 --> 00:00:32,680
Kdybych začal zde
a posunul se o 3 jednotky doprava,

9
00:00:32,689 --> 00:00:40,120
a pak zpět o 4 jednotky doleva,
což zapíši jako −4,

10
00:00:40,120 --> 00:00:46,002
pak by moje
celková dráha byla 7.

11
00:00:46,002 --> 00:00:47,720
3 doprava a 4 doleva.

12
00:00:47,720 --> 00:00:53,630
I když se nacházím zde
na souřadnici −1.

13
00:00:53,630 --> 00:00:58,170
Nebo bychom řekli,
že celkové posunutí je −1.

14
00:00:58,170 --> 00:01:00,990
Jsme o 1 jednotku
vlevo od počátku.

15
00:01:00,990 --> 00:01:02,815
Celková dráha je přitom 7.

16
00:01:02,815 --> 00:01:04,140
To jsme si tedy ujasnili.

17
00:01:04,140 --> 00:01:07,709
Nyní vás povzbudím, abyste zastavili
video a zkusili zodpovědět naši otázku.

18
00:01:07,709 --> 00:01:13,640
Jaká je tedy celková dráha
uražená částicí v prvních 6 sekundách?

19
00:01:13,640 --> 00:01:17,384
Nejjednodušší způsob,
jak příjít s odpovědí, je uvědomit si,

20
00:01:17,384 --> 00:01:20,584
kdy se částice pohybuje vpravo
a kdy se pohybuje vlevo.

21
00:01:20,590 --> 00:01:23,760
A bude se pohybovat vpravo,
když naše rychlost je kladná

22
00:01:23,760 --> 00:01:26,639
a vlevo, když bude
rychlost záporná.

23
00:01:26,639 --> 00:01:30,270
Ve výsledku tedy musíme přijít na to,
kdy je rychlost kladná či záporná.

24
00:01:30,270 --> 00:01:34,810
A abychom si to ujasnili, načrtneme si
graf závislosti rychlosti na čase.

25
00:01:34,810 --> 00:01:36,400
Toto je tedy funkce dráhy

26
00:01:36,400 --> 00:01:41,309
a funkci rychlosti získáme derivováním
funkce dráhy vzhledem k času.

27
00:01:41,309 --> 00:01:48,100
Derivace 2/3 krát t na třetí
je 2 krát t na druhou.

28
00:01:48,100 --> 00:01:54,020
A potom dostaneme
−12t plus 10.

29
00:01:54,020 --> 00:01:56,715
Takže si to zkusme načrtnout.

30
00:01:56,715 --> 00:01:59,410
Bude se jednat o shora
otevřenou parabolu.

31
00:01:59,410 --> 00:02:01,520
Očividně se jedná
o kvadratickou funkci.

32
00:02:01,520 --> 00:02:06,380
A koeficient před největším členem,
před členem t na druhou, je kladný,

33
00:02:06,380 --> 00:02:08,228
tudíž parabola je
shora otevřená.

34
00:02:08,228 --> 00:02:10,440
Bude to vypadat zhruba takto.

35
00:02:10,440 --> 00:02:12,636
Navíc předpokládáme,
že částice mění směr.

36
00:02:12,636 --> 00:02:16,190
Takže rychlost je nějaký čas
kladná a nějaký čas záporná.

37
00:02:16,190 --> 00:02:22,240
Mělo by to protnout osu ‚t‛ v místě,
kde mění směr.

38
00:02:22,240 --> 00:02:27,430
Funkce bude v tomto intervalu záporná
a mimo tento interval bude kladná.

39
00:02:27,430 --> 00:02:31,480
Nejjednodušší způsob bude,
když najdeme naše 0.

40
00:02:31,480 --> 00:02:34,100
Pak si můžeme
načrtnout naši parabolu.

41
00:02:34,100 --> 00:02:37,700
Abychom našli kořeny,
stačí tento výraz položit rovno 0,

42
00:02:37,700 --> 00:02:43,390
takže dostaneme 2 krát t na druhou
minus 12t plus 10 se rovná 0.

43
00:02:43,390 --> 00:02:47,664
Vydělíme obě strany 2, takže
koeficient nejvyššího členu je 1.

44
00:02:47,664 --> 00:02:51,890
Dostaneme t na druhou minus
6t plus 5 se rovná 0.

45
00:02:51,890 --> 00:02:53,440
Teď to bude jednodušší.

46
00:02:53,440 --> 00:02:59,690
Můžeme to upravit na tvar
(t minus 1) krát (t minus 5).

47
00:02:59,690 --> 00:03:05,070
−1 krát −5 je 5.
−1 plus −5 je −6.

48
00:03:05,070 --> 00:03:06,590
To je rovno 0.

49
00:03:06,590 --> 00:03:10,700
Tato levá strana
rovnice se bude rovnat 0,

50
00:03:10,700 --> 00:03:13,110
pokud jeden z těchto
členů je roven 0.

51
00:03:13,110 --> 00:03:17,430
Dva členy v součinu se budou rovnat 0,
pokud se jeden z nich rovná 0.

52
00:03:17,430 --> 00:03:22,160
Takže buď ‚t‛ se
rovná 1 nebo 5.

53
00:03:22,160 --> 00:03:23,860
Teď si to načrtněme.

54
00:03:23,860 --> 00:03:26,200
Zde máme naše osy.

55
00:03:26,200 --> 00:03:29,100
Toto je moje osa pro rychlost.

56
00:03:29,100 --> 00:03:33,910
A druhá osa pro čas,
která je pouze kladná.

57
00:03:33,910 --> 00:03:37,160
Načrtneme něco takového.

58
00:03:37,160 --> 00:03:39,065
Kladný čas.

59
00:03:39,065 --> 00:03:44,450
Označme 1; 2; 3; 4; 5.

60
00:03:44,450 --> 00:03:45,820
Mohli bychom pokračovat.

61
00:03:45,820 --> 00:03:47,360
Takže ‚t‛ je rovno 1.

62
00:03:47,360 --> 00:03:48,900
Tady je ‚t‛ rovno 5.

63
00:03:48,900 --> 00:03:50,445
Toto je naše osa času.

64
00:03:50,445 --> 00:03:51,990
Nakresleme parabolu.

65
00:03:51,990 --> 00:03:56,610
Jedná se o shora otevřenou parabolu,
která bude procházet oběma těmito body.

66
00:03:56,610 --> 00:04:00,220
Vrchol bude, když ‚t‛ je rovno 3,
mezi našimi kořeny.

67
00:04:00,220 --> 00:04:03,362
Takže parabola bude
vypadat zhruba takto.

68
00:04:03,362 --> 00:04:05,670
Jedině takto nakreslíme
shora otevřenou parabolu,

69
00:04:05,670 --> 00:04:10,140
která protíná osu ‚t‛
v obou těchto bodech.

70
00:04:10,140 --> 00:04:13,290
Takže to bude takto a takto.

71
00:04:13,290 --> 00:04:14,260
Bude se to protínat.

72
00:04:14,260 --> 00:04:16,149
Když ‚t‛ je rovno 0, 
můžeme zjistit…

73
00:04:16,149 --> 00:04:18,050
Když ‚t‛ je rovno 0,
pak rychlost je 10.

74
00:04:18,050 --> 00:04:21,810
Parabola protne osu ‚v‛
zde nahoře v 10.

75
00:04:21,810 --> 00:04:23,440
Takto vypadá naše parabola.

76
00:04:23,440 --> 00:04:32,430
Vidíme, že rychlost je
kladná pro časy mezi 0 a 1.

77
00:04:32,430 --> 00:04:37,250
A zároveň je kladná
pro čas větší než 5 sekund.

78
00:04:37,250 --> 00:04:39,450
A vidíme, že naše
rychlost je záporná,

79
00:04:39,450 --> 00:04:46,000
nebo-li se pohybujeme doleva,
v čase mezi 1 a 5 sekundami.

80
00:04:46,000 --> 00:04:50,400
Naše rychlost je pod osou ‚t‛,
právě tady a je záporná.

81
00:04:50,400 --> 00:04:53,640
Zamysleme se, jaká je pozice
pro každý z těchto bodů.

82
00:04:53,640 --> 00:05:00,700
V čase 0; 1; 5 a v čase 6.

83
00:05:00,700 --> 00:05:06,170
A pak se podíváme na dráhu
uraženou mezi těmito časy.

84
00:05:06,170 --> 00:05:07,780
Takže se na to podívejme.

85
00:05:07,780 --> 00:05:12,240
Udělejme si zde
malou tabulku.

86
00:05:12,240 --> 00:05:15,240
Toto je čas, a toto
je pozice v tom čase.

87
00:05:15,240 --> 00:05:22,460
Zajímají nás časy
0; 1; 5 a čas 6 sekund.

88
00:05:22,460 --> 00:05:25,820
Víme, že v bodě 0 je
naše pozice 0.

89
00:05:25,820 --> 00:05:29,180
s(f) je rovno 0.

90
00:05:29,180 --> 00:05:35,260
V čase 1 sekunda,
to bude 2/3 minus 6 plus 10.

91
00:05:35,260 --> 00:05:37,570
Nebo-li 4 a 2/3.

92
00:05:37,570 --> 00:05:41,310
Zapíšeme 4 a 2/3.

93
00:05:41,310 --> 00:05:44,865
V čase 5 sekund,
to je 2/3 krát…

94
00:05:44,865 --> 00:05:46,360
Toto si raději rozepíši.

95
00:05:46,360 --> 00:05:58,700
...2/3 krát 125,
což je 250 děleno 3,

96
00:05:58,700 --> 00:06:12,880
to je to samé jako 83 krát 3, a to je 249,
takže se to rovná 83 a 1/3.

97
00:06:12,880 --> 00:06:14,300
To je první člen.

98
00:06:14,300 --> 00:06:23,530
Minus 6 krát 25.

99
00:06:23,530 --> 00:06:31,460
To je −150 plus 10 krát 5,
takže plus 50.

100
00:06:31,460 --> 00:06:33,410
A to se zjednoduší.

101
00:06:33,410 --> 00:06:38,795
−150 plus 50 bude −100.

102
00:06:38,795 --> 00:06:46,740
83 a 1/3 minus 100,
to je −16 a 2/3.

103
00:06:46,740 --> 00:06:52,690
−16 a 2/3 je naše pozice
v čase 5 sekund.

104
00:06:52,690 --> 00:06:57,390
A pak v čase 6 sekund,
to bude 2/3 krát 6 na třetí…

105
00:06:57,390 --> 00:06:58,870
Toto si musím rozepsat.

106
00:06:58,870 --> 00:07:05,820
2/3 krát 6 na třetí
minus 6 krát 6 na druhou.

107
00:07:05,820 --> 00:07:15,110
To bude jen minus 6 na třetí,
6 krát 6 na druhou, plus 60.

108
00:07:15,110 --> 00:07:18,750
Podívejme se, jak to
můžeme zjednodušit?

109
00:07:18,750 --> 00:07:21,605
Tuto část můžeme zapsat jako…

110
00:07:21,605 --> 00:07:23,020
Když vytkneme 6 na třetí.

111
00:07:23,020 --> 00:07:28,389
6 na třetí krát
(2/3 minus 1) plus 60.

112
00:07:28,389 --> 00:07:30,430
Potřebuji trochu více místa.

113
00:07:30,430 --> 00:07:36,130
6 na třetí krát −1/3 plus 60.

114
00:07:36,130 --> 00:07:38,601
A teď uvidíme,
zapišme to takto.

115
00:07:38,601 --> 00:07:47,150
To bude 6 na druhou
krát 6 krát (−1/3) plus 60.

116
00:07:47,150 --> 00:07:53,970
Toto je rovno −2, takže −2 krát 36.
což je −72 plus 60.

117
00:07:53,970 --> 00:08:01,154
Toto tedy bude −12.

118
00:08:01,154 --> 00:08:03,320
Teď se zamysleme,
jakou dráhu částice urazila?

119
00:08:03,320 --> 00:08:07,700
Začne cestovat doprava a
urazí dráhu 4 a 2/3 doprava.

120
00:08:07,700 --> 00:08:09,035
Takže si to zapišme.

121
00:08:09,035 --> 00:08:11,830
Zde máme 4 a 2/3.

122
00:08:11,830 --> 00:08:14,365
A pak se začne
pohybovat doleva.

123
00:08:14,365 --> 00:08:22,060
Z 4 a 2/3 se posunete do −16 a 2/3,
takže se posunete o dalších 4 a 2/3.

124
00:08:22,060 --> 00:08:29,110
Posunete se o 4 a 2/3 doleva
a pak o dalších 16 a 2/3 doleva.

125
00:08:29,110 --> 00:08:31,709
Takže popořadě, 
teď jsme v 4 a 2/3.

126
00:08:31,709 --> 00:08:36,590
Odtud musíme zpět na 0 a pak
musíme jít doleva do −16 a 2/3.

127
00:08:36,590 --> 00:08:43,870
Proto pohyb odtud sem je 4 a 2/3 doleva,
který následuje pohybem doleva o 16 a 2/3.

128
00:08:43,870 --> 00:08:45,480
Další způsob,
jak tomu porozumět,

129
00:08:45,480 --> 00:08:49,120
je podívat se na rozdíl
mezi těmito dvěma body.

130
00:08:49,120 --> 00:08:52,500
To bude 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

131
00:08:52,500 --> 00:08:56,917
Nebo 4 a 2/3 minus −16 2/3,
což vám dá stejný výsledek,

132
00:08:56,917 --> 00:08:59,800
jako 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

133
00:08:59,800 --> 00:09:09,710
A pak jdete z −16
a 2/3 do −12.

134
00:09:09,710 --> 00:09:15,150
To znamená, že jste urazili
další 4 a 2/3 doprava.

135
00:09:15,150 --> 00:09:17,750
Takže to je 4 a 2/3.

136
00:09:17,750 --> 00:09:21,220
Teď se pohybujete
4 a 2/3 směrem doprava.

137
00:09:21,220 --> 00:09:24,850
A teď jenom musíme
všechno sečíst.

138
00:09:24,850 --> 00:09:27,485
Sečteme všechny hodnoty.

139
00:09:27,485 --> 00:09:29,080
Kolik to tedy bude?

140
00:09:29,080 --> 00:09:36,062
Bude to 2/3 krát 4,
ta část pravé strany, ty zlomky.

141
00:09:36,062 --> 00:09:39,860
2/3 krát 4 je 8/3.

142
00:09:39,860 --> 00:09:44,840
A tak, 4 plus 4 plus
16 plus 4 je 28.

143
00:09:44,840 --> 00:09:47,390
28 a 8/3, 
to je divný způsob zápisu,

144
00:09:47,390 --> 00:09:54,320
jelikož 8/3 se dá
přepsat jako 2 a 2/3.

145
00:09:54,320 --> 00:09:58,790
Takže 28 plus 2 plus 2/3
se rovná 30 a 2/3.

146
00:09:58,790 --> 00:10:08,170
Celková dráha uražená částicí během
prvních 6 sekund je 30 a 2/3 jednotek.