0:00:00.620,0:00:03.910
Pozice částice pohybující se[br]po číselné ose je dána funkcí:

0:00:03.910,0:00:08.810
s(t) je rovno 2/3(t na třetí)[br]minus 6(t na druhou) plus 10t,

0:00:08.810,0:00:12.850
kde ‚t‛ je větší nebo rovno 0[br]a ‚t‛ se rovná času v sekundách.

0:00:12.850,0:00:16.340
Částice se pohybuje vlevo i vpravo[br]v prvních 6 sekundách.

0:00:16.340,0:00:19.020
Jaká je celková[br]dráha uražená částicí,

0:00:19.020,0:00:23.042
je-li ‚t‛ větší nebo rovno 0[br]a menší nebo rovno 6?

0:00:23.042,0:00:26.800
Připomeňme si, co se myslí[br]pod pojmem celková dráha.

0:00:26.800,0:00:32.680
Kdybych začal zde[br]a posunul se o 3 jednotky doprava,

0:00:32.689,0:00:40.120
a pak zpět o 4 jednotky doleva,[br]což zapíši jako −4,

0:00:40.120,0:00:46.002
pak by moje[br]celková dráha byla 7.

0:00:46.002,0:00:47.720
3 doprava a 4 doleva.

0:00:47.720,0:00:53.630
I když se nacházím zde[br]na souřadnici −1.

0:00:53.630,0:00:58.170
Nebo bychom řekli,[br]že celkové posunutí je −1.

0:00:58.170,0:01:00.990
Jsme o 1 jednotku[br]vlevo od počátku.

0:01:00.990,0:01:02.815
Celková dráha je přitom 7.

0:01:02.815,0:01:04.140
To jsme si tedy ujasnili.

0:01:04.140,0:01:07.709
Nyní vás povzbudím, abyste zastavili[br]video a zkusili zodpovědět naši otázku.

0:01:07.709,0:01:13.640
Jaká je tedy celková dráha[br]uražená částicí v prvních 6 sekundách?

0:01:13.640,0:01:17.384
Nejjednodušší způsob,[br]jak příjít s odpovědí, je uvědomit si,

0:01:17.384,0:01:20.584
kdy se částice pohybuje vpravo[br]a kdy se pohybuje vlevo.

0:01:20.590,0:01:23.760
A bude se pohybovat vpravo,[br]když naše rychlost je kladná

0:01:23.760,0:01:26.639
a vlevo, když bude[br]rychlost záporná.

0:01:26.639,0:01:30.270
Ve výsledku tedy musíme přijít na to,[br]kdy je rychlost kladná či záporná.

0:01:30.270,0:01:34.810
A abychom si to ujasnili, načrtneme si[br]graf závislosti rychlosti na čase.

0:01:34.810,0:01:36.400
Toto je tedy funkce dráhy

0:01:36.400,0:01:41.309
a funkci rychlosti získáme derivováním[br]funkce dráhy vzhledem k času.

0:01:41.309,0:01:48.100
Derivace 2/3 krát t na třetí[br]je 2 krát t na druhou.

0:01:48.100,0:01:54.020
A potom dostaneme[br]−12t plus 10.

0:01:54.020,0:01:56.715
Takže si to zkusme načrtnout.

0:01:56.715,0:01:59.410
Bude se jednat o shora[br]otevřenou parabolu.

0:01:59.410,0:02:01.520
Očividně se jedná[br]o kvadratickou funkci.

0:02:01.520,0:02:06.380
A koeficient před největším členem,[br]před členem t na druhou, je kladný,

0:02:06.380,0:02:08.228
tudíž parabola je[br]shora otevřená.

0:02:08.228,0:02:10.440
Bude to vypadat zhruba takto.

0:02:10.440,0:02:12.636
Navíc předpokládáme,[br]že částice mění směr.

0:02:12.636,0:02:16.190
Takže rychlost je nějaký čas[br]kladná a nějaký čas záporná.

0:02:16.190,0:02:22.240
Mělo by to protnout osu ‚t‛ v místě,[br]kde mění směr.

0:02:22.240,0:02:27.430
Funkce bude v tomto intervalu záporná[br]a mimo tento interval bude kladná.

0:02:27.430,0:02:31.480
Nejjednodušší způsob bude,[br]když najdeme naše 0.

0:02:31.480,0:02:34.100
Pak si můžeme[br]načrtnout naši parabolu.

0:02:34.100,0:02:37.700
Abychom našli kořeny,[br]stačí tento výraz položit rovno 0,

0:02:37.700,0:02:43.390
takže dostaneme 2 krát t na druhou[br]minus 12t plus 10 se rovná 0.

0:02:43.390,0:02:47.664
Vydělíme obě strany 2, takže[br]koeficient nejvyššího členu je 1.

0:02:47.664,0:02:51.890
Dostaneme t na druhou minus[br]6t plus 5 se rovná 0.

0:02:51.890,0:02:53.440
Teď to bude jednodušší.

0:02:53.440,0:02:59.690
Můžeme to upravit na tvar[br](t minus 1) krát (t minus 5).

0:02:59.690,0:03:05.070
−1 krát −5 je 5.[br]−1 plus −5 je −6.

0:03:05.070,0:03:06.590
To je rovno 0.

0:03:06.590,0:03:10.700
Tato levá strana[br]rovnice se bude rovnat 0,

0:03:10.700,0:03:13.110
pokud jeden z těchto[br]členů je roven 0.

0:03:13.110,0:03:17.430
Dva členy v součinu se budou rovnat 0,[br]pokud se jeden z nich rovná 0.

0:03:17.430,0:03:22.160
Takže buď ‚t‛ se[br]rovná 1 nebo 5.

0:03:22.160,0:03:23.860
Teď si to načrtněme.

0:03:23.860,0:03:26.200
Zde máme naše osy.

0:03:26.200,0:03:29.100
Toto je moje osa pro rychlost.

0:03:29.100,0:03:33.910
A druhá osa pro čas,[br]která je pouze kladná.

0:03:33.910,0:03:37.160
Načrtneme něco takového.

0:03:37.160,0:03:39.065
Kladný čas.

0:03:39.065,0:03:44.450
Označme 1; 2; 3; 4; 5.

0:03:44.450,0:03:45.820
Mohli bychom pokračovat.

0:03:45.820,0:03:47.360
Takže ‚t‛ je rovno 1.

0:03:47.360,0:03:48.900
Tady je ‚t‛ rovno 5.

0:03:48.900,0:03:50.445
Toto je naše osa času.

0:03:50.445,0:03:51.990
Nakresleme parabolu.

0:03:51.990,0:03:56.610
Jedná se o shora otevřenou parabolu,[br]která bude procházet oběma těmito body.

0:03:56.610,0:04:00.220
Vrchol bude, když ‚t‛ je rovno 3,[br]mezi našimi kořeny.

0:04:00.220,0:04:03.362
Takže parabola bude[br]vypadat zhruba takto.

0:04:03.362,0:04:05.670
Jedině takto nakreslíme[br]shora otevřenou parabolu,

0:04:05.670,0:04:10.140
která protíná osu ‚t‛[br]v obou těchto bodech.

0:04:10.140,0:04:13.290
Takže to bude takto a takto.

0:04:13.290,0:04:14.260
Bude se to protínat.

0:04:14.260,0:04:16.149
Když ‚t‛ je rovno 0, [br]můžeme zjistit…

0:04:16.149,0:04:18.050
Když ‚t‛ je rovno 0,[br]pak rychlost je 10.

0:04:18.050,0:04:21.810
Parabola protne osu ‚v‛[br]zde nahoře v 10.

0:04:21.810,0:04:23.440
Takto vypadá naše parabola.

0:04:23.440,0:04:32.430
Vidíme, že rychlost je[br]kladná pro časy mezi 0 a 1.

0:04:32.430,0:04:37.250
A zároveň je kladná[br]pro čas větší než 5 sekund.

0:04:37.250,0:04:39.450
A vidíme, že naše[br]rychlost je záporná,

0:04:39.450,0:04:46.000
nebo-li se pohybujeme doleva,[br]v čase mezi 1 a 5 sekundami.

0:04:46.000,0:04:50.400
Naše rychlost je pod osou ‚t‛,[br]právě tady a je záporná.

0:04:50.400,0:04:53.640
Zamysleme se, jaká je pozice[br]pro každý z těchto bodů.

0:04:53.640,0:05:00.700
V čase 0; 1; 5 a v čase 6.

0:05:00.700,0:05:06.170
A pak se podíváme na dráhu[br]uraženou mezi těmito časy.

0:05:06.170,0:05:07.780
Takže se na to podívejme.

0:05:07.780,0:05:12.240
Udělejme si zde[br]malou tabulku.

0:05:12.240,0:05:15.240
Toto je čas, a toto[br]je pozice v tom čase.

0:05:15.240,0:05:22.460
Zajímají nás časy[br]0; 1; 5 a čas 6 sekund.

0:05:22.460,0:05:25.820
Víme, že v bodě 0 je[br]naše pozice 0.

0:05:25.820,0:05:29.180
s(f) je rovno 0.

0:05:29.180,0:05:35.260
V čase 1 sekunda,[br]to bude 2/3 minus 6 plus 10.

0:05:35.260,0:05:37.570
Nebo-li 4 a 2/3.

0:05:37.570,0:05:41.310
Zapíšeme 4 a 2/3.

0:05:41.310,0:05:44.865
V čase 5 sekund,[br]to je 2/3 krát…

0:05:44.865,0:05:46.360
Toto si raději rozepíši.

0:05:46.360,0:05:58.700
...2/3 krát 125,[br]což je 250 děleno 3,

0:05:58.700,0:06:12.880
to je to samé jako 83 krát 3, a to je 249,[br]takže se to rovná 83 a 1/3.

0:06:12.880,0:06:14.300
To je první člen.

0:06:14.300,0:06:23.530
Minus 6 krát 25.

0:06:23.530,0:06:31.460
To je −150 plus 10 krát 5,[br]takže plus 50.

0:06:31.460,0:06:33.410
A to se zjednoduší.

0:06:33.410,0:06:38.795
−150 plus 50 bude −100.

0:06:38.795,0:06:46.740
83 a 1/3 minus 100,[br]to je −16 a 2/3.

0:06:46.740,0:06:52.690
−16 a 2/3 je naše pozice[br]v čase 5 sekund.

0:06:52.690,0:06:57.390
A pak v čase 6 sekund,[br]to bude 2/3 krát 6 na třetí…

0:06:57.390,0:06:58.870
Toto si musím rozepsat.

0:06:58.870,0:07:05.820
2/3 krát 6 na třetí[br]minus 6 krát 6 na druhou.

0:07:05.820,0:07:15.110
To bude jen minus 6 na třetí,[br]6 krát 6 na druhou, plus 60.

0:07:15.110,0:07:18.750
Podívejme se, jak to[br]můžeme zjednodušit?

0:07:18.750,0:07:21.605
Tuto část můžeme zapsat jako…

0:07:21.605,0:07:23.020
Když vytkneme 6 na třetí.

0:07:23.020,0:07:28.389
6 na třetí krát[br](2/3 minus 1) plus 60.

0:07:28.389,0:07:30.430
Potřebuji trochu více místa.

0:07:30.430,0:07:36.130
6 na třetí krát −1/3 plus 60.

0:07:36.130,0:07:38.601
A teď uvidíme,[br]zapišme to takto.

0:07:38.601,0:07:47.150
To bude 6 na druhou[br]krát 6 krát (−1/3) plus 60.

0:07:47.150,0:07:53.970
Toto je rovno −2, takže −2 krát 36.[br]což je −72 plus 60.

0:07:53.970,0:08:01.154
Toto tedy bude −12.

0:08:01.154,0:08:03.320
Teď se zamysleme,[br]jakou dráhu částice urazila?

0:08:03.320,0:08:07.700
Začne cestovat doprava a[br]urazí dráhu 4 a 2/3 doprava.

0:08:07.700,0:08:09.035
Takže si to zapišme.

0:08:09.035,0:08:11.830
Zde máme 4 a 2/3.

0:08:11.830,0:08:14.365
A pak se začne[br]pohybovat doleva.

0:08:14.365,0:08:22.060
Z 4 a 2/3 se posunete do −16 a 2/3,[br]takže se posunete o dalších 4 a 2/3.

0:08:22.060,0:08:29.110
Posunete se o 4 a 2/3 doleva[br]a pak o dalších 16 a 2/3 doleva.

0:08:29.110,0:08:31.709
Takže popořadě, [br]teď jsme v 4 a 2/3.

0:08:31.709,0:08:36.590
Odtud musíme zpět na 0 a pak[br]musíme jít doleva do −16 a 2/3.

0:08:36.590,0:08:43.870
Proto pohyb odtud sem je 4 a 2/3 doleva,[br]který následuje pohybem doleva o 16 a 2/3.

0:08:43.870,0:08:45.480
Další způsob,[br]jak tomu porozumět,

0:08:45.480,0:08:49.120
je podívat se na rozdíl[br]mezi těmito dvěma body.

0:08:49.120,0:08:52.500
To bude 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

0:08:52.500,0:08:56.917
Nebo 4 a 2/3 minus −16 2/3,[br]což vám dá stejný výsledek,

0:08:56.917,0:08:59.800
jako 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

0:08:59.800,0:09:09.710
A pak jdete z −16[br]a 2/3 do −12.

0:09:09.710,0:09:15.150
To znamená, že jste urazili[br]další 4 a 2/3 doprava.

0:09:15.150,0:09:17.750
Takže to je 4 a 2/3.

0:09:17.750,0:09:21.220
Teď se pohybujete[br]4 a 2/3 směrem doprava.

0:09:21.220,0:09:24.850
A teď jenom musíme[br]všechno sečíst.

0:09:24.850,0:09:27.485
Sečteme všechny hodnoty.

0:09:27.485,0:09:29.080
Kolik to tedy bude?

0:09:29.080,0:09:36.062
Bude to 2/3 krát 4,[br]ta část pravé strany, ty zlomky.

0:09:36.062,0:09:39.860
2/3 krát 4 je 8/3.

0:09:39.860,0:09:44.840
A tak, 4 plus 4 plus[br]16 plus 4 je 28.

0:09:44.840,0:09:47.390
28 a 8/3, [br]to je divný způsob zápisu,

0:09:47.390,0:09:54.320
jelikož 8/3 se dá[br]přepsat jako 2 a 2/3.

0:09:54.320,0:09:58.790
Takže 28 plus 2 plus 2/3[br]se rovná 30 a 2/3.

0:09:58.790,0:10:08.170
Celková dráha uražená částicí během[br]prvních 6 sekund je 30 a 2/3 jednotek.