WEBVTT

00:00:00.620 --> 00:00:03.910
Pozice částice pohybující se
po číselné ose je dána funkcí:

00:00:03.910 --> 00:00:08.810
s(t) je rovno 2/3(t na třetí)
minus 6(t na druhou) plus 10t,

00:00:08.810 --> 00:00:12.850
kde ‚t‛ je větší nebo rovno 0
a ‚t‛ se rovná času v sekundách.

00:00:12.850 --> 00:00:16.340
Částice se pohybuje vlevo i vpravo
v prvních 6 sekundách.

00:00:16.340 --> 00:00:19.020
Jaká je celková
dráha uražená částicí,

00:00:19.020 --> 00:00:23.042
je-li ‚t‛ větší nebo rovno 0
a menší nebo rovno 6?

00:00:23.042 --> 00:00:26.800
Připomeňme si, co se myslí
pod pojmem celková dráha.

00:00:26.800 --> 00:00:32.680
Kdybych začal zde
a posunul se o 3 jednotky doprava,

00:00:32.689 --> 00:00:40.120
a pak zpět o 4 jednotky doleva,
což zapíši jako −4,

00:00:40.120 --> 00:00:46.002
pak by moje
celková dráha byla 7.

00:00:46.002 --> 00:00:47.720
3 doprava a 4 doleva.

00:00:47.720 --> 00:00:53.630
I když se nacházím zde
na souřadnici −1.

00:00:53.630 --> 00:00:58.170
Nebo bychom řekli,
že celkové posunutí je −1.

00:00:58.170 --> 00:01:00.990
Jsme o 1 jednotku
vlevo od počátku.

00:01:00.990 --> 00:01:02.815
Celková dráha je přitom 7.

00:01:02.815 --> 00:01:04.140
To jsme si tedy ujasnili.

00:01:04.140 --> 00:01:07.709
Nyní vás povzbudím, abyste zastavili
video a zkusili zodpovědět naši otázku.

00:01:07.709 --> 00:01:13.640
Jaká je tedy celková dráha
uražená částicí v prvních 6 sekundách?

00:01:13.640 --> 00:01:17.384
Nejjednodušší způsob,
jak příjít s odpovědí, je uvědomit si,

00:01:17.384 --> 00:01:20.584
kdy se částice pohybuje vpravo
a kdy se pohybuje vlevo.

00:01:20.590 --> 00:01:23.760
A bude se pohybovat vpravo,
když naše rychlost je kladná

00:01:23.760 --> 00:01:26.639
a vlevo, když bude
rychlost záporná.

00:01:26.639 --> 00:01:30.270
Ve výsledku tedy musíme přijít na to,
kdy je rychlost kladná či záporná.

00:01:30.270 --> 00:01:34.810
A abychom si to ujasnili, načrtneme si
graf závislosti rychlosti na čase.

00:01:34.810 --> 00:01:36.400
Toto je tedy funkce dráhy

00:01:36.400 --> 00:01:41.309
a funkci rychlosti získáme derivováním
funkce dráhy vzhledem k času.

00:01:41.309 --> 00:01:48.100
Derivace 2/3 krát t na třetí
je 2 krát t na druhou.

00:01:48.100 --> 00:01:54.020
A potom dostaneme
−12t plus 10.

00:01:54.020 --> 00:01:56.715
Takže si to zkusme načrtnout.

00:01:56.715 --> 00:01:59.410
Bude se jednat o shora
otevřenou parabolu.

00:01:59.410 --> 00:02:01.520
Očividně se jedná
o kvadratickou funkci.

00:02:01.520 --> 00:02:06.380
A koeficient před největším členem,
před členem t na druhou, je kladný,

00:02:06.380 --> 00:02:08.228
tudíž parabola je
shora otevřená.

00:02:08.228 --> 00:02:10.440
Bude to vypadat zhruba takto.

00:02:10.440 --> 00:02:12.636
Navíc předpokládáme,
že částice mění směr.

00:02:12.636 --> 00:02:16.190
Takže rychlost je nějaký čas
kladná a nějaký čas záporná.

00:02:16.190 --> 00:02:22.240
Mělo by to protnout osu ‚t‛ v místě,
kde mění směr.

00:02:22.240 --> 00:02:27.430
Funkce bude v tomto intervalu záporná
a mimo tento interval bude kladná.

00:02:27.430 --> 00:02:31.480
Nejjednodušší způsob bude,
když najdeme naše 0.

00:02:31.480 --> 00:02:34.100
Pak si můžeme
načrtnout naši parabolu.

00:02:34.100 --> 00:02:37.700
Abychom našli kořeny,
stačí tento výraz položit rovno 0,

00:02:37.700 --> 00:02:43.390
takže dostaneme 2 krát t na druhou
minus 12t plus 10 se rovná 0.

00:02:43.390 --> 00:02:47.664
Vydělíme obě strany 2, takže
koeficient nejvyššího členu je 1.

00:02:47.664 --> 00:02:51.890
Dostaneme t na druhou minus
6t plus 5 se rovná 0.

00:02:51.890 --> 00:02:53.440
Teď to bude jednodušší.

00:02:53.440 --> 00:02:59.690
Můžeme to upravit na tvar
(t minus 1) krát (t minus 5).

00:02:59.690 --> 00:03:05.070
−1 krát −5 je 5.
−1 plus −5 je −6.

00:03:05.070 --> 00:03:06.590
To je rovno 0.

00:03:06.590 --> 00:03:10.700
Tato levá strana
rovnice se bude rovnat 0,

00:03:10.700 --> 00:03:13.110
pokud jeden z těchto
členů je roven 0.

00:03:13.110 --> 00:03:17.430
Dva členy v součinu se budou rovnat 0,
pokud se jeden z nich rovná 0.

00:03:17.430 --> 00:03:22.160
Takže buď ‚t‛ se
rovná 1 nebo 5.

00:03:22.160 --> 00:03:23.860
Teď si to načrtněme.

00:03:23.860 --> 00:03:26.200
Zde máme naše osy.

00:03:26.200 --> 00:03:29.100
Toto je moje osa pro rychlost.

00:03:29.100 --> 00:03:33.910
A druhá osa pro čas,
která je pouze kladná.

00:03:33.910 --> 00:03:37.160
Načrtneme něco takového.

00:03:37.160 --> 00:03:39.065
Kladný čas.

00:03:39.065 --> 00:03:44.450
Označme 1; 2; 3; 4; 5.

00:03:44.450 --> 00:03:45.820
Mohli bychom pokračovat.

00:03:45.820 --> 00:03:47.360
Takže ‚t‛ je rovno 1.

00:03:47.360 --> 00:03:48.900
Tady je ‚t‛ rovno 5.

00:03:48.900 --> 00:03:50.445
Toto je naše osa času.

00:03:50.445 --> 00:03:51.990
Nakresleme parabolu.

00:03:51.990 --> 00:03:56.610
Jedná se o shora otevřenou parabolu,
která bude procházet oběma těmito body.

00:03:56.610 --> 00:04:00.220
Vrchol bude, když ‚t‛ je rovno 3,
mezi našimi kořeny.

00:04:00.220 --> 00:04:03.362
Takže parabola bude
vypadat zhruba takto.

00:04:03.362 --> 00:04:05.670
Jedině takto nakreslíme
shora otevřenou parabolu,

00:04:05.670 --> 00:04:10.140
která protíná osu ‚t‛
v obou těchto bodech.

00:04:10.140 --> 00:04:13.290
Takže to bude takto a takto.

00:04:13.290 --> 00:04:14.260
Bude se to protínat.

00:04:14.260 --> 00:04:16.149
Když ‚t‛ je rovno 0, 
můžeme zjistit…

00:04:16.149 --> 00:04:18.050
Když ‚t‛ je rovno 0,
pak rychlost je 10.

00:04:18.050 --> 00:04:21.810
Parabola protne osu ‚v‛
zde nahoře v 10.

00:04:21.810 --> 00:04:23.440
Takto vypadá naše parabola.

00:04:23.440 --> 00:04:32.430
Vidíme, že rychlost je
kladná pro časy mezi 0 a 1.

00:04:32.430 --> 00:04:37.250
A zároveň je kladná
pro čas větší než 5 sekund.

00:04:37.250 --> 00:04:39.450
A vidíme, že naše
rychlost je záporná,

00:04:39.450 --> 00:04:46.000
nebo-li se pohybujeme doleva,
v čase mezi 1 a 5 sekundami.

00:04:46.000 --> 00:04:50.400
Naše rychlost je pod osou ‚t‛,
právě tady a je záporná.

00:04:50.400 --> 00:04:53.640
Zamysleme se, jaká je pozice
pro každý z těchto bodů.

00:04:53.640 --> 00:05:00.700
V čase 0; 1; 5 a v čase 6.

00:05:00.700 --> 00:05:06.170
A pak se podíváme na dráhu
uraženou mezi těmito časy.

00:05:06.170 --> 00:05:07.780
Takže se na to podívejme.

00:05:07.780 --> 00:05:12.240
Udělejme si zde
malou tabulku.

00:05:12.240 --> 00:05:15.240
Toto je čas, a toto
je pozice v tom čase.

00:05:15.240 --> 00:05:22.460
Zajímají nás časy
0; 1; 5 a čas 6 sekund.

00:05:22.460 --> 00:05:25.820
Víme, že v bodě 0 je
naše pozice 0.

00:05:25.820 --> 00:05:29.180
s(f) je rovno 0.

00:05:29.180 --> 00:05:35.260
V čase 1 sekunda,
to bude 2/3 minus 6 plus 10.

00:05:35.260 --> 00:05:37.570
Nebo-li 4 a 2/3.

00:05:37.570 --> 00:05:41.310
Zapíšeme 4 a 2/3.

00:05:41.310 --> 00:05:44.865
V čase 5 sekund,
to je 2/3 krát…

00:05:44.865 --> 00:05:46.360
Toto si raději rozepíši.

00:05:46.360 --> 00:05:58.700
...2/3 krát 125,
což je 250 děleno 3,

00:05:58.700 --> 00:06:12.880
to je to samé jako 83 krát 3, a to je 249,
takže se to rovná 83 a 1/3.

00:06:12.880 --> 00:06:14.300
To je první člen.

00:06:14.300 --> 00:06:23.530
Minus 6 krát 25.

00:06:23.530 --> 00:06:31.460
To je −150 plus 10 krát 5,
takže plus 50.

00:06:31.460 --> 00:06:33.410
A to se zjednoduší.

00:06:33.410 --> 00:06:38.795
−150 plus 50 bude −100.

00:06:38.795 --> 00:06:46.740
83 a 1/3 minus 100,
to je −16 a 2/3.

00:06:46.740 --> 00:06:52.690
−16 a 2/3 je naše pozice
v čase 5 sekund.

00:06:52.690 --> 00:06:57.390
A pak v čase 6 sekund,
to bude 2/3 krát 6 na třetí…

00:06:57.390 --> 00:06:58.870
Toto si musím rozepsat.

00:06:58.870 --> 00:07:05.820
2/3 krát 6 na třetí
minus 6 krát 6 na druhou.

00:07:05.820 --> 00:07:15.110
To bude jen minus 6 na třetí,
6 krát 6 na druhou, plus 60.

00:07:15.110 --> 00:07:18.750
Podívejme se, jak to
můžeme zjednodušit?

00:07:18.750 --> 00:07:21.605
Tuto část můžeme zapsat jako…

00:07:21.605 --> 00:07:23.020
Když vytkneme 6 na třetí.

00:07:23.020 --> 00:07:28.389
6 na třetí krát
(2/3 minus 1) plus 60.

00:07:28.389 --> 00:07:30.430
Potřebuji trochu více místa.

00:07:30.430 --> 00:07:36.130
6 na třetí krát −1/3 plus 60.

00:07:36.130 --> 00:07:38.601
A teď uvidíme,
zapišme to takto.

00:07:38.601 --> 00:07:47.150
To bude 6 na druhou
krát 6 krát (−1/3) plus 60.

00:07:47.150 --> 00:07:53.970
Toto je rovno −2, takže −2 krát 36.
což je −72 plus 60.

00:07:53.970 --> 00:08:01.154
Toto tedy bude −12.

00:08:01.154 --> 00:08:03.320
Teď se zamysleme,
jakou dráhu částice urazila?

00:08:03.320 --> 00:08:07.700
Začne cestovat doprava a
urazí dráhu 4 a 2/3 doprava.

00:08:07.700 --> 00:08:09.035
Takže si to zapišme.

00:08:09.035 --> 00:08:11.830
Zde máme 4 a 2/3.

00:08:11.830 --> 00:08:14.365
A pak se začne
pohybovat doleva.

00:08:14.365 --> 00:08:22.060
Z 4 a 2/3 se posunete do −16 a 2/3,
takže se posunete o dalších 4 a 2/3.

00:08:22.060 --> 00:08:29.110
Posunete se o 4 a 2/3 doleva
a pak o dalších 16 a 2/3 doleva.

00:08:29.110 --> 00:08:31.709
Takže popořadě, 
teď jsme v 4 a 2/3.

00:08:31.709 --> 00:08:36.590
Odtud musíme zpět na 0 a pak
musíme jít doleva do −16 a 2/3.

00:08:36.590 --> 00:08:43.870
Proto pohyb odtud sem je 4 a 2/3 doleva,
který následuje pohybem doleva o 16 a 2/3.

00:08:43.870 --> 00:08:45.480
Další způsob,
jak tomu porozumět,

00:08:45.480 --> 00:08:49.120
je podívat se na rozdíl
mezi těmito dvěma body.

00:08:49.120 --> 00:08:52.500
To bude 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

00:08:52.500 --> 00:08:56.917
Nebo 4 a 2/3 minus −16 2/3,
což vám dá stejný výsledek,

00:08:56.917 --> 00:08:59.800
jako 4 a 2/3 plus 16 a 2/3.

00:08:59.800 --> 00:09:09.710
A pak jdete z −16
a 2/3 do −12.

00:09:09.710 --> 00:09:15.150
To znamená, že jste urazili
další 4 a 2/3 doprava.

00:09:15.150 --> 00:09:17.750
Takže to je 4 a 2/3.

00:09:17.750 --> 00:09:21.220
Teď se pohybujete
4 a 2/3 směrem doprava.

00:09:21.220 --> 00:09:24.850
A teď jenom musíme
všechno sečíst.

00:09:24.850 --> 00:09:27.485
Sečteme všechny hodnoty.

00:09:27.485 --> 00:09:29.080
Kolik to tedy bude?

00:09:29.080 --> 00:09:36.062
Bude to 2/3 krát 4,
ta část pravé strany, ty zlomky.

00:09:36.062 --> 00:09:39.860
2/3 krát 4 je 8/3.

00:09:39.860 --> 00:09:44.840
A tak, 4 plus 4 plus
16 plus 4 je 28.

00:09:44.840 --> 00:09:47.390
28 a 8/3, 
to je divný způsob zápisu,

00:09:47.390 --> 00:09:54.320
jelikož 8/3 se dá
přepsat jako 2 a 2/3.

00:09:54.320 --> 00:09:58.790
Takže 28 plus 2 plus 2/3
se rovná 30 a 2/3.

00:09:58.790 --> 00:10:08.170
Celková dráha uražená částicí během
prvních 6 sekund je 30 a 2/3 jednotek.