画对数函数
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0:01 - 0:06题目要求我们画y等于以5为底x的对数。
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0:06 - 0:08提醒一下我们这是在说什么，
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0:08 - 0:10这就是说y等于
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0:10 - 0:135为了等于x需要的幂。
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0:13 - 0:16或者如果我把这个对数方程
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0:16 - 0:20写做指数方程，5是我的底,，
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0:20 - 0:24y是我需要得到的指数，
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0:24 - 0:28然后x是当我有5的y次方得到的数
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0:28 - 0:33所以这个方程的另一种写法是
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0:33 - 0:415的y次方等于x，
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0:41 - 0:43它们是一样的。
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0:43 - 0:45在这里，我们有y是x的函数。
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0:45 - 0:49这里，我们有x是y的函数。
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0:49 - 0:51但它们真的是一样的，
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0:51 - 0:545的y次方得到x。
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0:54 - 0:56当你把它当作一个对数，你说，好吧，
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0:56 - 0:58那我需要5的几次方去得到x？
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0:58 - 0:59我们要5的y次方。
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0:59 - 1:035的y次方是多少？
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1:03 - 1:04我得到x。
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1:04 - 1:07这个问题解决了，让我们画一个小表格
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1:07 - 1:09来取一些点，
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1:09 - 1:10然后我们把这些点连起来
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1:10 - 1:12看看曲线是什么样的。
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1:12 - 1:14让我取一些x值和y值。
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1:18 - 1:21一般来说，我们想选一些能给出整数的数，
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1:21 - 1:25一些非常简单的数，
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1:25 - 1:26这样我们就不用
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1:26 - 1:28用计算器了。
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1:28 - 1:30所以一般来说，你要选的x值
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1:30 - 1:34是一个非常直接的5的次幂
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1:34 - 1:38能够得到的x值。
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1:38 - 1:40或者另一种考虑方法，
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1:40 - 1:42你可以考虑不同的
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1:42 - 1:455的y次方的值，
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1:45 - 1:46然后你就可以得到x的值。
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1:46 - 1:49所以我们可以用这个
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1:49 - 1:53来求出实际的x值。
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1:53 - 1:56但我们要清楚，当我们这样表达，
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1:56 - 2:00自变量是x，因变量是
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2:00 - 2:00y。
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2:00 - 2:04说不定我们可以看这一个去选择一些不错的
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2:04 - 2:10可以给我们简单明了的y值的x值。
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2:10 - 2:13那么这里，我要先填写y，
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2:13 - 2:15得到简单明了的x。
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2:15 - 2:16假设我们要取5的次方，
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2:16 - 2:19让我要选一些新的颜色——
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2:19 - 2:24负2次方——
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2:24 - 2:30让我换个颜色——负1、0、1。
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2:30 - 2:34再写一个，2。
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2:34 - 2:37这有点非传统，
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2:37 - 2:39我先填了因变量。
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2:39 - 2:40但是根据这里的写法，
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2:40 - 2:42自变量其实是已知的，
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2:42 - 2:45所以很容易求出这个对数函数的
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2:45 - 2:47自变量是多少。
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2:47 - 2:50多少的x值可以给我-2的y值？
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2:50 - 2:53x等于多少
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2:53 - 2:55使得y等于-2？
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2:55 - 3:005的-2次方等于x。
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3:00 - 3:045的-2次方等于1/25。
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3:04 - 3:07得到1/25。
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3:07 - 3:09如果我们回到前面的那个，
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3:09 - 3:13如果我们说log以5为底1/25的对数，
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3:13 - 3:17也就是5的几次方等于1/25？
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3:17 - 3:19我们要取它的-2次方。
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3:19 - 3:22或者你可以说5的-2次方
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3:22 - 3:24等于1/25。
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3:24 - 3:28它们说的是完全一样的事情。
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3:28 - 3:30现在让我们再做一个。
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3:30 - 3:345的-1次方会怎样？
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3:34 - 3:35我得到1/5。
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3:35 - 3:37我们看一下原本的这个，
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3:37 - 3:43也就是log以5为底1/5的对数。
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3:43 - 3:44要小心。
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3:44 - 3:47也就是说，取5的几次方
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3:47 - 3:48才能得到1/5。
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3:48 - 3:51我们要取它的-1次方。
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3:53 - 3:55取5的0次方会怎样？
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3:55 - 3:57我得到1。
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3:57 - 3:59这个关系——也就是
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3:59 - 4:03log以5为底1的对数。
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4:03 - 4:055的几次方等于1？
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4:05 - 4:09我只需要取0次方。
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4:09 - 4:11让我们来做下面两个。
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4:11 - 4:135的一次方会怎样？
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4:13 - 4:17我得到5，如果你看这里，
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4:17 - 4:20也就是5的几次方等于5？
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4:20 - 4:24我们只需要取它的一次方。
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4:24 - 4:29最后，取5的平方，得到25。
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4:29 - 4:32从对数的角度来看，
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4:32 - 4:345的几次方
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4:34 - 4:36等于25呢？
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4:36 - 4:39我们要取它的2次方。
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4:39 - 4:42所以我取对数的反函数。
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4:42 - 4:44我把它写成指数函数。
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4:44 - 4:47我把因变量和自变量互换了，
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4:47 - 4:51这样我就可以得到简洁明了的x，从而得到
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4:51 - 4:52简洁明了的y。
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4:52 - 4:54现在这个问题解决了，但是我想提醒你，
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4:54 - 4:57我可以在这里随便选一些数，
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4:57 - 5:00但是我可能会在这里得到不那么
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5:00 - 5:00简洁明了的数。
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5:00 - 5:02我就得用计算器了。
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5:02 - 5:03我这样做的唯一原因是，
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5:03 - 5:07这样我可以得到简洁的可以用手画的结果。
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5:07 - 5:09让我们来画一下。
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5:09 - 5:11让我们把它画在这里。
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5:11 - 5:14y在-2和2之间。
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5:14 - 5:19x从1/25一直到25。
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5:19 - 5:23让我们把它画出来。
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5:23 - 5:30这是y轴，这是x轴。
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5:30 - 5:32像这样画。
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5:32 - 5:34这是x轴。
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5:34 - 5:37然后y从0开始。
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5:37 - 5:43然后是1、2。
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5:43 - 5:45然后是-1。
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5:45 - 5:47然后-2。
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5:47 - 5:50然后在x轴上，都是正的。
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5:50 - 5:53想一下这个定义域
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5:53 - 5:56是否为一个对数函数
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5:56 - 5:58定义了一个
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5:58 - 6:03非正的x？
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6:03 - 6:075的几次方有可能得到0？
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6:07 - 6:08不可能。
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6:08 - 6:11你可以取5的无穷负次方来得到一个
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6:11 - 6:14非常非常非常非常小的接近于0的数，
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6:14 - 6:16但是你不可能得到
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6:16 - 6:18能等于0的5的次幂。
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6:18 - 6:20所以x不可能是0。
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6:20 - 6:22也没有5的次幂可以得到
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6:22 - 6:24另一个负数。
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6:24 - 6:26所以x也不能是负数。
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6:26 - 6:28所以这个函数的定义域——这是相关的，
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6:28 - 6:30因为我们要考虑我们要画出什么——
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6:30 - 6:34这里的定义域是x必须大于0。
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6:34 - 6:35让我写下来。
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6:35 - 6:40定义域是x必须大于0。
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6:40 - 6:41所以我们只能在
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6:41 - 6:46x轴正方向画出这个函数的图像。
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6:46 - 6:48解决了这个，x就变成了25。
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6:48 - 6:51让我把这些点画出来。
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6:51 - 6:57这是5、10、15、20、25。
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6:57 - 6:59然后把这些代入。
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6:59 - 7:00第一个是蓝色的。
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7:00 - 7:03当x是1/25，y是-2，
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7:03 - 7:06当x是1/25，1在这里——
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7:06 - 7:101/25很接近这里——y是-2。
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7:10 - 7:13大概在这里，
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7:13 - 7:14不完全在y轴上。
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7:14 - 7:17在y轴右边1/25处。
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7:17 - 7:18但相当靠近。
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7:18 - 7:19在这里。
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7:19 - 7:24也就是（1/25，-2）。
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7:24 - 7:26然后，当x是1/5，稍微往右一点，
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7:26 - 7:311/5y等于-1。
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7:31 - 7:33就在这里。
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7:33 - 7:37所以这是（1/5，-1）。
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7:37 - 7:40当x=1，y=0。
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7:40 - 7:43所以1可能在这里。
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7:43 - 7:47这是点（1，0）。
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7:47 - 7:51当x=5，y=1。
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7:51 - 7:53当x=5时，我写在这里，当这是5时，
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7:53 - 7:57y是1。
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7:57 - 7:59这是点（5，1）。
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7:59 - 8:02最后，当x=25，y=2。
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8:08 - 8:11这是（25，2）。
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8:11 - 8:13然后我可以画出这个函数的图像。
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8:13 - 8:17让我用一种颜色，我用粉色。
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8:17 - 8:24当x变得非常非常非常小，
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8:24 - 8:26y趋于负无穷。
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8:26 - 8:30它会变得非常小——为了得到x或者说当x变成——
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8:30 - 8:345的几次方
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8:34 - 8:37才能得到0.0001？
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8:37 - 8:39它必须是非常非常非常负的次幂。
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8:39 - 8:43所以当趋近于0时，y是负的。
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8:43 - 8:47然后像这样向上移动。
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8:47 - 8:53然后开始像这样向右弯曲。
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8:53 - 8:55而这个，
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8:55 - 8:59会以越来越陡的速度下降。
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8:59 - 9:03它永远不会完全接触到
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9:03 - 9:04y轴。
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9:04 - 9:06它会越来越接近y轴。
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9:06 - 9:10但它永远不会完全触碰到它。
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