1
00:00:00,590 --> 00:00:05,690
题目要求我们画y等于以5为底x的对数。

2
00:00:05,690 --> 00:00:07,780
提醒一下我们这是在说什么，

3
00:00:07,780 --> 00:00:10,240
这就是说y等于

4
00:00:10,240 --> 00:00:13,460
5为了等于x需要的幂。

5
00:00:13,460 --> 00:00:15,980
或者如果我把这个对数方程

6
00:00:15,980 --> 00:00:19,510
写做指数方程，5是我的底,，

7
00:00:19,510 --> 00:00:23,640
y是我需要得到的指数，

8
00:00:23,640 --> 00:00:28,420
然后x是当我有5的y次方得到的数

9
00:00:28,420 --> 00:00:32,570
所以这个方程的另一种写法是

10
00:00:32,570 --> 00:00:40,710
5的y次方等于x，

11
00:00:40,710 --> 00:00:43,010
它们是一样的。

12
00:00:43,010 --> 00:00:45,480
在这里，我们有y是x的函数。

13
00:00:45,480 --> 00:00:48,550
这里，我们有x是y的函数。

14
00:00:48,550 --> 00:00:50,980
但它们真的是一样的，

15
00:00:50,980 --> 00:00:53,624
5的y次方得到x。

16
00:00:53,624 --> 00:00:55,790
当你把它当作一个对数，你说，好吧，

17
00:00:55,790 --> 00:00:58,010
那我需要5的几次方去得到x？

18
00:00:58,010 --> 00:00:59,440
我们要5的y次方。

19
00:00:59,440 --> 00:01:02,940
5的y次方是多少？

20
00:01:02,940 --> 00:01:04,099
我得到x。

21
00:01:04,099 --> 00:01:07,200
这个问题解决了，让我们画一个小表格

22
00:01:07,200 --> 00:01:08,710
来取一些点，

23
00:01:08,710 --> 00:01:10,335
然后我们把这些点连起来

24
00:01:10,335 --> 00:01:11,980
看看曲线是什么样的。

25
00:01:11,980 --> 00:01:13,940
让我取一些x值和y值。

26
00:01:18,500 --> 00:01:21,100
一般来说，我们想选一些能给出整数的数，

27
00:01:21,100 --> 00:01:24,689
一些非常简单的数，

28
00:01:24,689 --> 00:01:26,230
这样我们就不用

29
00:01:26,230 --> 00:01:27,760
用计算器了。

30
00:01:27,760 --> 00:01:29,590
所以一般来说，你要选的x值

31
00:01:29,590 --> 00:01:34,250
是一个非常直接的5的次幂

32
00:01:34,250 --> 00:01:38,156
能够得到的x值。

33
00:01:38,156 --> 00:01:39,530
或者另一种考虑方法，

34
00:01:39,530 --> 00:01:41,810
你可以考虑不同的

35
00:01:41,810 --> 00:01:44,740
5的y次方的值，

36
00:01:44,740 --> 00:01:46,360
然后你就可以得到x的值。

37
00:01:46,360 --> 00:01:48,590
所以我们可以用这个

38
00:01:48,590 --> 00:01:52,510
来求出实际的x值。

39
00:01:52,510 --> 00:01:56,370
但我们要清楚，当我们这样表达，

40
00:01:56,370 --> 00:01:59,850
自变量是x，因变量是

41
00:01:59,850 --> 00:02:00,480
y。

42
00:02:00,480 --> 00:02:03,660
说不定我们可以看这一个去选择一些不错的

43
00:02:03,660 --> 00:02:10,440
可以给我们简单明了的y值的x值。

44
00:02:10,440 --> 00:02:12,690
那么这里，我要先填写y，

45
00:02:12,690 --> 00:02:14,820
得到简单明了的x。

46
00:02:14,820 --> 00:02:16,500
假设我们要取5的次方，

47
00:02:16,500 --> 00:02:19,120
让我要选一些新的颜色——

48
00:02:19,120 --> 00:02:23,820
负2次方——

49
00:02:23,820 --> 00:02:30,490
让我换个颜色——负1、0、1。

50
00:02:30,490 --> 00:02:33,620
再写一个，2。

51
00:02:33,620 --> 00:02:36,660
这有点非传统，

52
00:02:36,660 --> 00:02:38,890
我先填了因变量。

53
00:02:38,890 --> 00:02:40,300
但是根据这里的写法，

54
00:02:40,300 --> 00:02:42,290
自变量其实是已知的，

55
00:02:42,290 --> 00:02:44,750
所以很容易求出这个对数函数的

56
00:02:44,750 --> 00:02:47,130
自变量是多少。

57
00:02:47,130 --> 00:02:50,420
多少的x值可以给我-2的y值？

58
00:02:50,420 --> 00:02:52,640
x等于多少

59
00:02:52,640 --> 00:02:55,430
使得y等于-2？

60
00:02:55,430 --> 00:02:59,590
5的-2次方等于x。

61
00:02:59,590 --> 00:03:04,480
5的-2次方等于1/25。

62
00:03:04,480 --> 00:03:07,440
得到1/25。

63
00:03:07,440 --> 00:03:09,000
如果我们回到前面的那个，

64
00:03:09,000 --> 00:03:13,200
如果我们说log以5为底1/25的对数，

65
00:03:13,200 --> 00:03:16,530
也就是5的几次方等于1/25？

66
00:03:16,530 --> 00:03:19,420
我们要取它的-2次方。

67
00:03:19,420 --> 00:03:22,110
或者你可以说5的-2次方

68
00:03:22,110 --> 00:03:24,460
等于1/25。

69
00:03:24,460 --> 00:03:27,960
它们说的是完全一样的事情。

70
00:03:27,960 --> 00:03:30,160
现在让我们再做一个。

71
00:03:30,160 --> 00:03:34,100
5的-1次方会怎样？

72
00:03:34,100 --> 00:03:35,487
我得到1/5。

73
00:03:35,487 --> 00:03:37,320
我们看一下原本的这个，

74
00:03:37,320 --> 00:03:42,670
也就是log以5为底1/5的对数。

75
00:03:42,670 --> 00:03:44,210
要小心。

76
00:03:44,210 --> 00:03:46,810
也就是说，取5的几次方

77
00:03:46,810 --> 00:03:48,130
才能得到1/5。

78
00:03:48,130 --> 00:03:50,640
我们要取它的-1次方。

79
00:03:53,150 --> 00:03:55,080
取5的0次方会怎样？

80
00:03:55,080 --> 00:03:57,249
我得到1。

81
00:03:57,249 --> 00:03:59,290
这个关系——也就是

82
00:03:59,290 --> 00:04:02,650
log以5为底1的对数。

83
00:04:02,650 --> 00:04:05,430
5的几次方等于1？

84
00:04:05,430 --> 00:04:08,910
我只需要取0次方。

85
00:04:08,910 --> 00:04:10,660
让我们来做下面两个。

86
00:04:10,660 --> 00:04:13,470
5的一次方会怎样？

87
00:04:13,470 --> 00:04:17,180
我得到5，如果你看这里，

88
00:04:17,180 --> 00:04:20,410
也就是5的几次方等于5？

89
00:04:20,410 --> 00:04:23,880
我们只需要取它的一次方。

90
00:04:23,880 --> 00:04:28,800
最后，取5的平方，得到25。

91
00:04:28,800 --> 00:04:31,680
从对数的角度来看，

92
00:04:31,680 --> 00:04:34,410
5的几次方

93
00:04:34,410 --> 00:04:36,020
等于25呢？

94
00:04:36,020 --> 00:04:38,930
我们要取它的2次方。

95
00:04:38,930 --> 00:04:41,830
所以我取对数的反函数。

96
00:04:41,830 --> 00:04:43,550
我把它写成指数函数。

97
00:04:43,550 --> 00:04:47,270
我把因变量和自变量互换了，

98
00:04:47,270 --> 00:04:50,760
这样我就可以得到简洁明了的x，从而得到

99
00:04:50,760 --> 00:04:51,734
简洁明了的y。

100
00:04:51,734 --> 00:04:54,150
现在这个问题解决了，但是我想提醒你，

101
00:04:54,150 --> 00:04:57,497
我可以在这里随便选一些数，

102
00:04:57,497 --> 00:04:59,830
但是我可能会在这里得到不那么

103
00:04:59,830 --> 00:05:00,260
简洁明了的数。

104
00:05:00,260 --> 00:05:01,510
我就得用计算器了。

105
00:05:01,510 --> 00:05:03,093
我这样做的唯一原因是，

106
00:05:03,093 --> 00:05:06,810
这样我可以得到简洁的可以用手画的结果。

107
00:05:06,810 --> 00:05:08,740
让我们来画一下。

108
00:05:08,740 --> 00:05:10,910
让我们把它画在这里。

109
00:05:10,910 --> 00:05:13,570
y在-2和2之间。

110
00:05:13,570 --> 00:05:18,650
x从1/25一直到25。

111
00:05:18,650 --> 00:05:22,680
让我们把它画出来。

112
00:05:22,680 --> 00:05:30,050
这是y轴，这是x轴。

113
00:05:30,050 --> 00:05:32,116
像这样画。

114
00:05:32,116 --> 00:05:34,190
这是x轴。

115
00:05:34,190 --> 00:05:37,340
然后y从0开始。

116
00:05:37,340 --> 00:05:42,520
然后是1、2。

117
00:05:42,520 --> 00:05:44,940
然后是-1。

118
00:05:44,940 --> 00:05:47,230
然后-2。

119
00:05:47,230 --> 00:05:49,720
然后在x轴上，都是正的。

120
00:05:49,720 --> 00:05:53,180
想一下这个定义域

121
00:05:53,180 --> 00:05:56,080
是否为一个对数函数

122
00:05:56,080 --> 00:05:58,270
定义了一个

123
00:05:58,270 --> 00:06:03,050
非正的x？

124
00:06:03,050 --> 00:06:07,190
5的几次方有可能得到0？

125
00:06:07,190 --> 00:06:08,370
不可能。

126
00:06:08,370 --> 00:06:11,120
你可以取5的无穷负次方来得到一个

127
00:06:11,120 --> 00:06:13,720
非常非常非常非常小的接近于0的数，

128
00:06:13,720 --> 00:06:15,840
但是你不可能得到

129
00:06:15,840 --> 00:06:18,260
能等于0的5的次幂。

130
00:06:18,260 --> 00:06:19,799
所以x不可能是0。

131
00:06:19,799 --> 00:06:21,590
也没有5的次幂可以得到

132
00:06:21,590 --> 00:06:24,030
另一个负数。

133
00:06:24,030 --> 00:06:25,785
所以x也不能是负数。

134
00:06:25,785 --> 00:06:28,160
所以这个函数的定义域——这是相关的，

135
00:06:28,160 --> 00:06:30,410
因为我们要考虑我们要画出什么——

136
00:06:30,410 --> 00:06:33,500
这里的定义域是x必须大于0。

137
00:06:33,500 --> 00:06:35,230
让我写下来。

138
00:06:35,230 --> 00:06:39,675
定义域是x必须大于0。

139
00:06:39,675 --> 00:06:41,300
所以我们只能在

140
00:06:41,300 --> 00:06:45,660
x轴正方向画出这个函数的图像。

141
00:06:45,660 --> 00:06:48,380
解决了这个，x就变成了25。

142
00:06:48,380 --> 00:06:51,150
让我把这些点画出来。

143
00:06:51,150 --> 00:06:57,430
这是5、10、15、20、25。

144
00:06:57,430 --> 00:06:58,884
然后把这些代入。

145
00:06:58,884 --> 00:07:00,050
第一个是蓝色的。

146
00:07:00,050 --> 00:07:02,720
当x是1/25，y是-2，

147
00:07:02,720 --> 00:07:06,090
当x是1/25，1在这里——

148
00:07:06,090 --> 00:07:09,940
1/25很接近这里——y是-2。

149
00:07:09,940 --> 00:07:12,680
大概在这里，

150
00:07:12,680 --> 00:07:14,190
不完全在y轴上。

151
00:07:14,190 --> 00:07:17,040
在y轴右边1/25处。

152
00:07:17,040 --> 00:07:17,996
但相当靠近。

153
00:07:17,996 --> 00:07:19,120
在这里。

154
00:07:19,120 --> 00:07:23,680
也就是（1/25，-2）。

155
00:07:23,680 --> 00:07:26,270
然后，当x是1/5，稍微往右一点，

156
00:07:26,270 --> 00:07:30,550
1/5y等于-1。

157
00:07:30,550 --> 00:07:32,880
就在这里。

158
00:07:32,880 --> 00:07:36,950
所以这是（1/5，-1）。

159
00:07:36,950 --> 00:07:40,290
当x=1，y=0。

160
00:07:40,290 --> 00:07:43,310
所以1可能在这里。

161
00:07:43,310 --> 00:07:46,550
这是点（1，0）。

162
00:07:46,550 --> 00:07:50,630
当x=5，y=1。

163
00:07:50,630 --> 00:07:53,180
当x=5时，我写在这里，当这是5时，

164
00:07:53,180 --> 00:07:56,530
y是1。

165
00:07:56,530 --> 00:07:59,280
这是点（5，1）。

166
00:07:59,280 --> 00:08:02,200
最后，当x=25，y=2。

167
00:08:08,060 --> 00:08:11,140
这是（25，2）。

168
00:08:11,140 --> 00:08:13,050
然后我可以画出这个函数的图像。

169
00:08:13,050 --> 00:08:17,030
让我用一种颜色，我用粉色。

170
00:08:17,030 --> 00:08:23,550
当x变得非常非常非常小，

171
00:08:23,550 --> 00:08:25,820
y趋于负无穷。

172
00:08:25,820 --> 00:08:30,490
它会变得非常小——为了得到x或者说当x变成——

173
00:08:30,490 --> 00:08:34,179
5的几次方

174
00:08:34,179 --> 00:08:36,539
才能得到0.0001？

175
00:08:36,539 --> 00:08:38,530
它必须是非常非常非常负的次幂。

176
00:08:38,530 --> 00:08:43,090
所以当趋近于0时，y是负的。

177
00:08:43,090 --> 00:08:47,390
然后像这样向上移动。

178
00:08:47,390 --> 00:08:53,110
然后开始像这样向右弯曲。

179
00:08:53,110 --> 00:08:54,840
而这个，

180
00:08:54,840 --> 00:08:58,890
会以越来越陡的速度下降。

181
00:08:58,890 --> 00:09:03,160
它永远不会完全接触到

182
00:09:03,160 --> 00:09:04,060
y轴。

183
00:09:04,060 --> 00:09:06,370
它会越来越接近y轴。

184
00:09:06,370 --> 00:09:09,840
但它永远不会完全触碰到它。