0:00:00.590,0:00:05.690
题目要求我们画y等于以5为底x的对数。

0:00:05.690,0:00:07.780
提醒一下我们这是在说什么，

0:00:07.780,0:00:10.240
这就是说y等于

0:00:10.240,0:00:13.460
5为了等于x需要的幂。

0:00:13.460,0:00:15.980
或者如果我把这个对数方程

0:00:15.980,0:00:19.510
写做指数方程，5是我的底,，

0:00:19.510,0:00:23.640
y是我需要得到的指数，

0:00:23.640,0:00:28.420
然后x是当我有5的y次方得到的数

0:00:28.420,0:00:32.570
所以这个方程的另一种写法是

0:00:32.570,0:00:40.710
5的y次方等于x，

0:00:40.710,0:00:43.010
它们是一样的。

0:00:43.010,0:00:45.480
在这里，我们有y是x的函数。

0:00:45.480,0:00:48.550
这里，我们有x是y的函数。

0:00:48.550,0:00:50.980
但它们真的是一样的，

0:00:50.980,0:00:53.624
5的y次方得到x。

0:00:53.624,0:00:55.790
当你把它当作一个对数，你说，好吧，

0:00:55.790,0:00:58.010
那我需要5的几次方去得到x？

0:00:58.010,0:00:59.440
我们要5的y次方。

0:00:59.440,0:01:02.940
5的y次方是多少？

0:01:02.940,0:01:04.099
我得到x。

0:01:04.099,0:01:07.200
这个问题解决了，让我们画一个小表格

0:01:07.200,0:01:08.710
来取一些点，

0:01:08.710,0:01:10.335
然后我们把这些点连起来

0:01:10.335,0:01:11.980
看看曲线是什么样的。

0:01:11.980,0:01:13.940
让我取一些x值和y值。

0:01:18.500,0:01:21.100
一般来说，我们想选一些能给出整数的数，

0:01:21.100,0:01:24.689
一些非常简单的数，

0:01:24.689,0:01:26.230
这样我们就不用

0:01:26.230,0:01:27.760
用计算器了。

0:01:27.760,0:01:29.590
所以一般来说，你要选的x值

0:01:29.590,0:01:34.250
是一个非常直接的5的次幂

0:01:34.250,0:01:38.156
能够得到的x值。

0:01:38.156,0:01:39.530
或者另一种考虑方法，

0:01:39.530,0:01:41.810
你可以考虑不同的

0:01:41.810,0:01:44.740
5的y次方的值，

0:01:44.740,0:01:46.360
然后你就可以得到x的值。

0:01:46.360,0:01:48.590
所以我们可以用这个

0:01:48.590,0:01:52.510
来求出实际的x值。

0:01:52.510,0:01:56.370
但我们要清楚，当我们这样表达，

0:01:56.370,0:01:59.850
自变量是x，因变量是

0:01:59.850,0:02:00.480
y。

0:02:00.480,0:02:03.660
说不定我们可以看这一个去选择一些不错的

0:02:03.660,0:02:10.440
可以给我们简单明了的y值的x值。

0:02:10.440,0:02:12.690
那么这里，我要先填写y，

0:02:12.690,0:02:14.820
得到简单明了的x。

0:02:14.820,0:02:16.500
假设我们要取5的次方，

0:02:16.500,0:02:19.120
让我要选一些新的颜色——

0:02:19.120,0:02:23.820
负2次方——

0:02:23.820,0:02:30.490
让我换个颜色——负1、0、1。

0:02:30.490,0:02:33.620
再写一个，2。

0:02:33.620,0:02:36.660
这有点非传统，

0:02:36.660,0:02:38.890
我先填了因变量。

0:02:38.890,0:02:40.300
但是根据这里的写法，

0:02:40.300,0:02:42.290
自变量其实是已知的，

0:02:42.290,0:02:44.750
所以很容易求出这个对数函数的

0:02:44.750,0:02:47.130
自变量是多少。

0:02:47.130,0:02:50.420
多少的x值可以给我-2的y值？

0:02:50.420,0:02:52.640
x等于多少

0:02:52.640,0:02:55.430
使得y等于-2？

0:02:55.430,0:02:59.590
5的-2次方等于x。

0:02:59.590,0:03:04.480
5的-2次方等于1/25。

0:03:04.480,0:03:07.440
得到1/25。

0:03:07.440,0:03:09.000
如果我们回到前面的那个，

0:03:09.000,0:03:13.200
如果我们说log以5为底1/25的对数，

0:03:13.200,0:03:16.530
也就是5的几次方等于1/25？

0:03:16.530,0:03:19.420
我们要取它的-2次方。

0:03:19.420,0:03:22.110
或者你可以说5的-2次方

0:03:22.110,0:03:24.460
等于1/25。

0:03:24.460,0:03:27.960
它们说的是完全一样的事情。

0:03:27.960,0:03:30.160
现在让我们再做一个。

0:03:30.160,0:03:34.100
5的-1次方会怎样？

0:03:34.100,0:03:35.487
我得到1/5。

0:03:35.487,0:03:37.320
我们看一下原本的这个，

0:03:37.320,0:03:42.670
也就是log以5为底1/5的对数。

0:03:42.670,0:03:44.210
要小心。

0:03:44.210,0:03:46.810
也就是说，取5的几次方

0:03:46.810,0:03:48.130
才能得到1/5。

0:03:48.130,0:03:50.640
我们要取它的-1次方。

0:03:53.150,0:03:55.080
取5的0次方会怎样？

0:03:55.080,0:03:57.249
我得到1。

0:03:57.249,0:03:59.290
这个关系——也就是

0:03:59.290,0:04:02.650
log以5为底1的对数。

0:04:02.650,0:04:05.430
5的几次方等于1？

0:04:05.430,0:04:08.910
我只需要取0次方。

0:04:08.910,0:04:10.660
让我们来做下面两个。

0:04:10.660,0:04:13.470
5的一次方会怎样？

0:04:13.470,0:04:17.180
我得到5，如果你看这里，

0:04:17.180,0:04:20.410
也就是5的几次方等于5？

0:04:20.410,0:04:23.880
我们只需要取它的一次方。

0:04:23.880,0:04:28.800
最后，取5的平方，得到25。

0:04:28.800,0:04:31.680
从对数的角度来看，

0:04:31.680,0:04:34.410
5的几次方

0:04:34.410,0:04:36.020
等于25呢？

0:04:36.020,0:04:38.930
我们要取它的2次方。

0:04:38.930,0:04:41.830
所以我取对数的反函数。

0:04:41.830,0:04:43.550
我把它写成指数函数。

0:04:43.550,0:04:47.270
我把因变量和自变量互换了，

0:04:47.270,0:04:50.760
这样我就可以得到简洁明了的x，从而得到

0:04:50.760,0:04:51.734
简洁明了的y。

0:04:51.734,0:04:54.150
现在这个问题解决了，但是我想提醒你，

0:04:54.150,0:04:57.497
我可以在这里随便选一些数，

0:04:57.497,0:04:59.830
但是我可能会在这里得到不那么

0:04:59.830,0:05:00.260
简洁明了的数。

0:05:00.260,0:05:01.510
我就得用计算器了。

0:05:01.510,0:05:03.093
我这样做的唯一原因是，

0:05:03.093,0:05:06.810
这样我可以得到简洁的可以用手画的结果。

0:05:06.810,0:05:08.740
让我们来画一下。

0:05:08.740,0:05:10.910
让我们把它画在这里。

0:05:10.910,0:05:13.570
y在-2和2之间。

0:05:13.570,0:05:18.650
x从1/25一直到25。

0:05:18.650,0:05:22.680
让我们把它画出来。

0:05:22.680,0:05:30.050
这是y轴，这是x轴。

0:05:30.050,0:05:32.116
像这样画。

0:05:32.116,0:05:34.190
这是x轴。

0:05:34.190,0:05:37.340
然后y从0开始。

0:05:37.340,0:05:42.520
然后是1、2。

0:05:42.520,0:05:44.940
然后是-1。

0:05:44.940,0:05:47.230
然后-2。

0:05:47.230,0:05:49.720
然后在x轴上，都是正的。

0:05:49.720,0:05:53.180
想一下这个定义域

0:05:53.180,0:05:56.080
是否为一个对数函数

0:05:56.080,0:05:58.270
定义了一个

0:05:58.270,0:06:03.050
非正的x？

0:06:03.050,0:06:07.190
5的几次方有可能得到0？

0:06:07.190,0:06:08.370
不可能。

0:06:08.370,0:06:11.120
你可以取5的无穷负次方来得到一个

0:06:11.120,0:06:13.720
非常非常非常非常小的接近于0的数，

0:06:13.720,0:06:15.840
但是你不可能得到

0:06:15.840,0:06:18.260
能等于0的5的次幂。

0:06:18.260,0:06:19.799
所以x不可能是0。

0:06:19.799,0:06:21.590
也没有5的次幂可以得到

0:06:21.590,0:06:24.030
另一个负数。

0:06:24.030,0:06:25.785
所以x也不能是负数。

0:06:25.785,0:06:28.160
所以这个函数的定义域——这是相关的，

0:06:28.160,0:06:30.410
因为我们要考虑我们要画出什么——

0:06:30.410,0:06:33.500
这里的定义域是x必须大于0。

0:06:33.500,0:06:35.230
让我写下来。

0:06:35.230,0:06:39.675
定义域是x必须大于0。

0:06:39.675,0:06:41.300
所以我们只能在

0:06:41.300,0:06:45.660
x轴正方向画出这个函数的图像。

0:06:45.660,0:06:48.380
解决了这个，x就变成了25。

0:06:48.380,0:06:51.150
让我把这些点画出来。

0:06:51.150,0:06:57.430
这是5、10、15、20、25。

0:06:57.430,0:06:58.884
然后把这些代入。

0:06:58.884,0:07:00.050
第一个是蓝色的。

0:07:00.050,0:07:02.720
当x是1/25，y是-2，

0:07:02.720,0:07:06.090
当x是1/25，1在这里——

0:07:06.090,0:07:09.940
1/25很接近这里——y是-2。

0:07:09.940,0:07:12.680
大概在这里，

0:07:12.680,0:07:14.190
不完全在y轴上。

0:07:14.190,0:07:17.040
在y轴右边1/25处。

0:07:17.040,0:07:17.996
但相当靠近。

0:07:17.996,0:07:19.120
在这里。

0:07:19.120,0:07:23.680
也就是（1/25，-2）。

0:07:23.680,0:07:26.270
然后，当x是1/5，稍微往右一点，

0:07:26.270,0:07:30.550
1/5y等于-1。

0:07:30.550,0:07:32.880
就在这里。

0:07:32.880,0:07:36.950
所以这是（1/5，-1）。

0:07:36.950,0:07:40.290
当x=1，y=0。

0:07:40.290,0:07:43.310
所以1可能在这里。

0:07:43.310,0:07:46.550
这是点（1，0）。

0:07:46.550,0:07:50.630
当x=5，y=1。

0:07:50.630,0:07:53.180
当x=5时，我写在这里，当这是5时，

0:07:53.180,0:07:56.530
y是1。

0:07:56.530,0:07:59.280
这是点（5，1）。

0:07:59.280,0:08:02.200
最后，当x=25，y=2。

0:08:08.060,0:08:11.140
这是（25，2）。

0:08:11.140,0:08:13.050
然后我可以画出这个函数的图像。

0:08:13.050,0:08:17.030
让我用一种颜色，我用粉色。

0:08:17.030,0:08:23.550
当x变得非常非常非常小，

0:08:23.550,0:08:25.820
y趋于负无穷。

0:08:25.820,0:08:30.490
它会变得非常小——为了得到x或者说当x变成——

0:08:30.490,0:08:34.179
5的几次方

0:08:34.179,0:08:36.539
才能得到0.0001？

0:08:36.539,0:08:38.530
它必须是非常非常非常负的次幂。

0:08:38.530,0:08:43.090
所以当趋近于0时，y是负的。

0:08:43.090,0:08:47.390
然后像这样向上移动。

0:08:47.390,0:08:53.110
然后开始像这样向右弯曲。

0:08:53.110,0:08:54.840
而这个，

0:08:54.840,0:08:58.890
会以越来越陡的速度下降。

0:08:58.890,0:09:03.160
它永远不会完全接触到

0:09:03.160,0:09:04.060
y轴。

0:09:04.060,0:09:06.370
它会越来越接近y轴。

0:09:06.370,0:09:09.840
但它永远不会完全触碰到它。